Divisor topológico de cero

En matemáticas, un elemento z{displaystyle z} de un álgebra de Banach A{displaystyle A} se llama divisor topológico de cero si existe una secuencia x1,x2,x3,...{displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},} de elementos de A{displaystyle A} tales que

1. La secuencia zxn{displaystyle zx_{n} converge al elemento cero, pero
2. La secuencia xn{displaystyle x_{n} no converge al elemento cero.

Si tal secuencia existe, entonces uno puede asumir que . xn.=1{displaystyle left Vert x_{n}rightspeda=1} para todos n{displaystyle n}.

Si A{displaystyle A} no es conmutativo, entonces z{displaystyle z} se llama "izquierda" divisor topológico de cero, y uno puede definir "derecha" divisores topológicos de cero de forma similar.

Ejemplos

• Si A{displaystyle A} tiene un elemento de unidad, luego los elementos invertibles A{displaystyle A} forma un subconjunto abierto de A{displaystyle A}, mientras que los elementos no invertibles son el subconjunto cerrado complementario. Cualquier punto en el límite entre estos dos conjuntos es un divisor topológico izquierdo y derecho de cero.
• En particular, cualquier elemento quasinilpotent es un divisor topológico de cero (por ejemplo, el operador Volterra).
• Un operador en un espacio de Banach X{displaystyle X}, que es inyectable, no subjetivo, pero cuya imagen es densa en X{displaystyle X}, es un divisor topológico izquierdo de cero.

Generalización

La noción de un divisor topológico de cero puede generalizarse a cualquier álgebra topológica. Si el álgebra en cuestión no es contable en primer lugar, se deben sustituir las secuencias utilizadas en la definición por redes.