Distribución estable

En teoría de probabilidad, se dice que una distribución es estable si una combinación lineal de dos variables aleatorias independientes con esta distribución tiene la misma distribución, hasta los parámetros de ubicación y escala. Se dice que una variable aleatoria es estable si su distribución es estable. La familia de distribuciones estables también se denomina a veces distribución alfa estable de Lévy, en honor a Paul Lévy, el primer matemático que la estudió.

De los cuatro parámetros que definen a la familia, la mayor atención se ha centrado en el parámetro de estabilidad, ${displaystyle alpha }$ (véase el panel). Las distribuciones estables tienen ${displaystyle 0 realizadasalpha leq 2}$, con el límite superior correspondiente a la distribución normal, y ${displaystyle alpha =1}$ a la distribución Cauchy. Las distribuciones tienen una diferencia indefinida para ${displaystyle alpha - No.$, y medio indefinido para ${displaystyle alpha leq 1}$. La importancia de las distribuciones estables de probabilidad es que sean "atractores" para las sumas debidamente ordenadas de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid). La distribución normal define una familia de distribuciones estables. Por el teorema del límite central clásico, la suma debidamente ordenada de un conjunto de variables aleatorias, cada una con varianza finita, tenderá a una distribución normal a medida que el número de variables aumenta. Sin la suposición de la varianza finita, el límite puede ser una distribución estable que no es normal. Mandelbrot se refirió a tales distribuciones como "distribuciones estables de Parecia", después de Vilfredo Pareto. En particular, se refirió a los que se inclinaban al máximo en la dirección positiva con ${displaystyle 1 = 0}.$ como "Pareto-Lévy distribuciones", que consideraba mejores descripciones de los precios de las acciones y los productos básicos que las distribuciones normales.

Definición

Una distribución no degenerada es una distribución estable si satisface la siguiente propiedad:

Dado que la distribución normal, la distribución de Cauchy y la distribución de Lévy tienen la propiedad anterior, se deduce que son casos especiales de distribuciones estables.

Estas distribuciones forman una familia de cuatro parámetros de distribución continua de probabilidad parametrizada por parámetros de ubicación y escala μ y c, respectivamente, y dos parámetros de forma ${displaystyle beta }$ y ${displaystyle alpha }$, aproximadamente correspondiente a las medidas de asimetría y concentración, respectivamente (ver las cifras).

Función característica ${displaystyle varphi (t)}$ de cualquier distribución de probabilidad es la transformación Fourier de su función de densidad de probabilidad ${displaystyle f(x)}$. La función de densidad es, por tanto, la inversa transformación Fourier de la función característica:

$${displaystyle f(x)={2pi}int _{-infty }{infty }varphi (t)e^{-ixt},dt.}$$

Aunque la función de densidad de probabilidad para una distribución estable general no se puede escribir analíticamente, la función característica general se puede expresar analíticamente. Una variable aleatoria X se llama estable si su función característica se puede escribir como

$${displaystyle varphi (t;alphabetac,mu)=expleft(itmu - vidas eternas^{alpha }left(1-ibeta operatorname {sgn}(t)Phiright)}}}$$

$${displaystyle Phi ={begin{cases}tan left({frac {pi alpha {2} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}log Нель нель нельногоныхalpha =1end{cases}}$$

${displaystyle beta in [-1,1]}$

${displaystyle alpha - No.$

La razón por la que esto da una distribución estable es que la función característica de la suma de dos variables aleatorias independientes equivale al producto de las dos funciones características correspondientes. Agregar dos variables aleatorias de una distribución estable da algo con los mismos valores ${displaystyle alpha }$ y ${displaystyle beta }$, pero posiblemente diferentes valores de μ y c.

No todas las funciones son funciones características de una distribución de probabilidad legítima (es decir, una cuya función de distribución acumulativa es real y va de 0 a 1 sin disminuir), pero las funciones características dadas anteriormente serán legítimas siempre que los parámetros están en sus rangos. El valor de la función característica en algún valor t es el conjugado complejo de su valor en −t como debería ser para que la función de distribución de probabilidad sea real.

En el caso más simple ${displaystyle beta =0}$, la función característica es sólo una función exponencial estirada; la distribución es simétrica sobre μ y se conoce como un (Lévy) distribución simétrica alfa-estable, a menudo abreviado SαS.

Cuando ${displaystyle alpha.$ y ${displaystyle beta =1}$, la distribución es apoyada por [μ, ∞).

El parámetro c ■ 0 es un factor de escala que es una medida del ancho de la distribución mientras ${displaystyle alpha }$ es el exponente o índice de la distribución y especifica el comportamiento asintotico de la distribución.

Parametrizaciones

La definición anterior es sólo una de las parametrizaciones en uso para distribuciones estables; es la más común pero su densidad de probabilidad no es continua en los parámetros a ${displaystyle alpha =1}$.

Una parametrización continua es

$${displaystyle varphi (t;alphabetagammadelta)=exp left(itdelta - perpetuagamma t WordPress^{alpha }left(1-ibeta operatorname {sgn}(t)Phi right)}right)}$$

$${displaystyle Phi ={begin{cases}left {gamma t WordPress^{1-alpha }-1right)tan left({tfrac {pialpha }{2}right) limitealpha neq 1\-{fracfrac {2}{pi} ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

Los rangos de ${displaystyle alpha }$ y ${displaystyle beta }$ son los mismos que antes, γ (como c) debe ser positivo, y δ (como μDebería ser real.

En la parametrización uno puede hacer una transformación lineal de la variable aleatoria para obtener una variable aleatoria cuya densidad es ${displaystyle f(y;alphabeta1,0)}$. En la primera parametrización, esto se hace definiendo la nueva variable:

$${displaystyle y={begin{cases}{frac {x-mu }{gamma } {alpha neq 1\{frac {x-mu }{gamma }-beta {frac {2}{pi} }ln gamma =1end{cases}}$$

Para la segunda parametrización, simplemente usamos

$${displaystyle y={frac {x-delta ♫{gamma }$$

${displaystyle alpha }$

${displaystyle alpha œ1}$

${displaystyle delta -beta gamma tan left({tfrac {pi alpha }{2}right). }$

La distribución

Por lo tanto, la distribución estable se especifica en los cuatro parámetros anteriores. Se puede demostrar que cualquier distribución estable no degenerada tiene una función de densidad suave (infinitamente diferenciable). Si ${displaystyle f(x;alphabetac,mu)}$ denota la densidad de X y Y es la suma de copias independientes de X:

$${displaystyle Y=sum ¿Qué?$$

${displaystyle {tfrac {1}{s}f(y/s;alphabetac,0)}$

$${displaystyle s=left(sum) ¿Por qué? {1}{alpha }$$

El comportamiento asintotico se describe, para ${displaystyle alpha - No.$, por:

$${displaystyle f(x)sim {1}{Principio en inglés}{1+alpha }}left(c^{alpha }(1+operatorname {sgn}(x)beta)sin left({frac {pi alpha {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

${displaystyle alpha geq 1}$

${displaystyle beta =pm 1}$

${displaystyle alpha - No.$

Cuando ${displaystyle alpha =2}$, la distribución es Gaussian (ver abajo), con cola asintotica a exp(−x²/4c²)/(2)cπ).

Distribución estable unilateral y distribución de recuento estable

Cuando ${displaystyle alpha.$ y ${displaystyle beta =1}$, la distribución es apoyada por [μ, ∞). Esta familia se llama Distribución estable unilateral. Su distribución estándar (μ=0) se define como

${displaystyle L_{alpha }(x)=f{left(x;alpha1,cos left({frac {alpha pi}{2}right)}{1/alpha },0right)}}$, donde ${displaystyle alpha.$.

Vamos. ${displaystyle q=exp(-ialpha pi /2)}$, su función característica es ${displaystyle varphi (t;alpha)=exp left(-q sometidat habit^{alpha }right)}$. Así la forma integral de su PDF es (nota: ${displaystyle operatorname {Im} (q) made0}$)

$${displaystyle {begin{aligned}L_{alpha }(x) {1}{pi} }Re left[int _{-infty } {infty }e^{itx}e^{-q habitt habit^{alpha }},dtright]\\q={frac {2}{pi }}int ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

La integral doble es más eficaz para muy pequeña ${displaystyle x}$.

Considerar la suma de Lévy ${textstyle Y=sum ¿Qué?$ Donde ${textstyle X_{i}sim L_{alpha }(x)}$Entonces Y tiene la densidad ${fnMicroc} {fnK} {fnK}}}}}$ Donde ${textstyle nu =N^{1/alpha }$. Set ${textstyle x=1}$, llegamos al Distribución del conteo estable. Su distribución estándar se define como

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} ¿Qué? ¿Qué?$, donde ${displaystyle nu >0}$ y ${displaystyle alpha.$.

La distribución de recuento estable es la priorización conjugada de la distribución estable unilateral. Su familia de escala de ubicación se define como

${displaystyle {mathfrak {}_{alpha }(nu;nu _{0},theta)={frac {alpha ¿Qué? {1}{nu} -nu ¿Por qué?$, donde ${displaystyle nu >nu _{0}$, ${displaystyle theta >0}$, y ${displaystyle alpha.$.

También es una distribución unilateral apoyada por ${displaystyle [nu _{0},infty)}$. El parámetro de ubicación ${displaystyle nu _{0}$ es la ubicación de corte, mientras ${displaystyle theta }$ define su escala.

Cuando ${textstyle alpha ={frac {1}{2}}}$, ${textstyle L_{frac {2}(x)}$ es la distribución Lévy que es una distribución gamma inversa. Así ${displaystyle {mathfrak {}_{frac {1} {nu;nu _{0},theta)}$ es una distribución de gamma cambiada de forma 3/2 y escala ${displaystyle 4theta}$,

${displaystyle {mathfrak {}frac {1}{2} {nu;nu _{0},theta)={frac {1}{4{sqrt {pi} ♪♪ ¿Qué? -nu {0}{4theta }$, donde ${displaystyle nu >nu _{0}$, ${displaystyle theta >0}$.

Su significado es ${displaystyle nu _{0}+6theta }$ y su desviación estándar ${displaystyle {sqrt {24}theta}$. Es hipotetizado que VIX se distribuye como ${fnMicrok} {N}_{frac {1} {nu;nu _{0}theta)}$ con ${displaystyle nu _{0}=10.4}$ y ${displaystyle theta = 1,6}$ (Véase Sección 7 de). Así, la distribución estable de la cuenta es la distribución marginal de primer orden de un proceso de volatilidad. En este contexto, ${displaystyle nu _{0}$ se llama "la volatilidad del suelo".

Otro método para derivar la distribución de recuento estable es utilizar la transformada de Laplace de la distribución estable unilateral (Sección 2.4 de)

${displaystyle int _{0} {infty }e^{-zx}L_{alpha }(x)dx=e^{-z^{alpha }$, donde ${displaystyle alpha.$.

Vamos. ${displaystyle x=1/nu }$, y se puede descomponer la integral en el lado izquierdo como una distribución de producto de una distribución estándar Laplace y una distribución de cuenta estable estándar,f

${displaystyle int _{0}{infty }{frac {1}{nu }left({frac {1}{2}}}e^{-{frac {f}{nu }}right)left({frac {alphac {alphac {fnMicroc {f}}}}}}}{f}}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fl}fl}fl}fl}fl}fl}f}f}f}f}f}f}fl}fnh]fnh]fl}fnh]fnh]fnh]fl}fnh]fnh]fnh]fl}fnKf}fnhnh}m}fn {fnK}} {fnMicroc {fn}}} {fnMicroc {1}{nu} {fnMicroc} {fnMicroc}}right)dnu ={frac {1}{2}{frac {alpha {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} }$, donde ${displaystyle alpha.$.

Esto se llama "lambda descomposition" (Ver Sección 4 de) ya que el lado derecho fue nombrado como "distribución de lambda simétrica" en las obras anteriores de Lihn. Sin embargo, tiene varios nombres más populares como la "distribución de potencia exponencial", o el "error generalizado/distribución normal", a menudo referido cuando ${displaystyle alpha œ1}$.

El n-momento de ${displaystyle {mathfrak {fn} {fnMicrosoft Sans Serif}$ es ${displaystyle -(n+1)}$- el momento de ${displaystyle L_{alpha }(x)}$Y todos los momentos positivos son finitos.

Propiedades

• Todas las distribuciones estables son infinitamente divisibles.
• Con excepción de la distribución normal (${displaystyle alpha =2}$), distribuciones estables son distribuciones leptokurtoticas y de cola pesada.
• Closure under convolution

Las distribuciones estables están cerradas bajo convolución por un valor fijo ${displaystyle alpha }$. Puesto que la convolución es equivalente a la multiplicación de la función Fourier-transformed, sigue que el producto de dos funciones características estables con la misma ${displaystyle alpha }$ producirá otra función tan característica. El producto de dos funciones características estables es dado por:

$${displaystyle exp left(itmu ¿Qué? _{2}-vivc_{1}t habit^{alpha }-vivirc_{2}t habit^{alpha }+ibeta - ¿Por qué? - No. - ¿Por qué?$$

Desde CCPR no es una función de la μ, c o ${displaystyle beta }$ variables que sigue que estos parámetros para la función convolvida son dados por:

$${displaystyle {begin{aligned}mu} ##mu _{1}+mu _{2}\fnMicrosoft Sans Serpientes=left(Pric_{1} }¿Qué? '{frac {beta _{1}tuvos. ¿Qué? ♫ {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} }end{aligned}}$$

En cada caso, se puede demostrar que los parámetros resultantes se encuentran dentro de los intervalos requeridos para una distribución estable.

El teorema del límite central generalizado

El Teorema del Límite Central Generalizado (GCLT) fue un esfuerzo de múltiples matemáticos (Berstein, Lindeberg, Lévy, Feller, Kolmogorov y otros) durante el período de 1920 a 1937. La primera prueba completa publicada (en francés) de la GCLT fue en 1937 por Paul Lévy. Una versión en inglés de la prueba completa de la GCLT está disponible en la traducción del libro de 1954 de Gnedenko y Kolmogorov.

La declaración de la GLCT es la siguiente:

Una variable aleatoria no degenerada Z es α-estable para algunos 0 α ≤ 2 si y sólo si hay una secuencia independiente, distribuida idénticamente de variables aleatorias X₁, X₂, X₃, y constantes a_n Ø 0, b_n Alternativa R

a_n (X₁ +... + X_n- b_n → Z.

Aquí → significa la secuencia de las sumas variables aleatorias converge en la distribución; es decir, las distribuciones correspondientes satisfacen F_n(y) → F(y) en todos los puntos de continuidad de F.

En otras palabras, si sumas de variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente convergen en su distribución a algún Z, entonces Z debe ser una distribución estable.

Un teorema del límite central generalizado

Referencia general: por Gnedenko.

Otra propiedad importante de las distribuciones estables es el papel que desempeñan en un teorema del límite central generalizado. El teorema del límite central establece que la suma de un número de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) con varianzas finitas distintas de cero tenderá a una distribución normal a medida que crece el número de variables.

Una generalización debida a Gnedenko y Kolmogorov indica que la suma de una serie de variables aleatorias con distribuciones simétricas que tienen colas de autor (puertas parrecianas), disminuyendo como ${displaystyle Silencioso -1}$ Donde ${displaystyle 0 realizadasalpha leqslant 2}$ (y por lo tanto tener varianza infinita), tenderá a una distribución estable ${displaystyle f(x;alpha0,c,0)}$ a medida que crece el número de sumos. Si ${displaystyle alpha >2}$ entonces la suma converge a una distribución estable con parámetro de estabilidad igual a 2, es decir, una distribución Gausiana.

También hay otras posibilidades. Por ejemplo, si la función característica de la variable aleatoria es asintotica a ${displaystyle 1+a sometidat sometida^{alpha }ln TENSIFICADO$ para pequeños t (positivo o negativo), entonces podemos preguntar cómo t varies con n cuando el valor de la función característica para la suma de n tales variables aleatorias equivalen a un valor dado u:

$${displaystyle varphi _{text{sum}=varphi ^{n}=u}$$

Asumiendo por el momento que t → 0, tomamos el límite de lo anterior como n → ∞:

$${displaystyle ln u=lim _{nto infty }nln varphi =lim _{nto infty }na sometidat soporta^{alpha }ln Неле невателивывывый.}$$

Por lo tanto:

$${lnfn}nnnnncH00}nnnnncH00}nnnnnnnnnnnnnnncH00}nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnncipennnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn$$

Esto demuestra que ${displaystyle ln Новывывыеных}$ es asintotico a ${displaystyle {tfrac}{alpha }ln n,}$ así que usando la ecuación anterior que tenemos

$${fnMicrosoft Sans Serif}}derecho)}derecho }$$

Esto implica que la suma dividida por

$${displaystyle left({frac {nln}{alpha }right)^{frac {1}{alpha }$$

${displaystyle t'=(-ln u)}{1}/{alpha }}$

${displaystyle exp(-(t')^{alpha }}$

$${displaystyle left({frac {nln}{alpha }right)^{frac {1}{alpha }$$

converge en distribución a la distribución simétrica alfa-estable con parámetro de estabilidad ${displaystyle alpha }$ y parámetro de escala 1.

Esto se puede aplicar a una variable aleatoria cuyas colas disminuyen como ${displaystyle Silencioso$. Esta variable aleatoria tiene una media pero la varianza es infinita. Tomemos la siguiente distribución:

$${displaystyle f(x)={begin{cases}{frac {1}{3} {3} {3}}x^{3} {3} {3}}ximidadx insistente1end{cases}}}$$

Podemos escribir esto como

$${displaystyle f(x)=int _{1}{infty }{frac {2}{4}hleft({frac} {x} {w}right)dw}$$