Distribución degenerada

En matemáticas, una distribución degenerada es, según algunos, una distribución de probabilidad en un espacio con apoyo solo en una variedad de menor dimensión, y según otros una distribución con apoyo solo en un único punto. Según la última definición, es una distribución determinista y toma un solo valor. Los ejemplos incluyen una moneda de dos caras y lanzar un dado cuyos lados muestran el mismo número. Esta distribución satisface la definición de "variable aleatoria" aunque no parezca casualidad en el sentido cotidiano de la palabra; por lo tanto, se considera degenerado.

En el caso de una variable aleatoria de valor real, la distribución degenerada es una distribución de un punto, localizada en un punto k₀ en la línea real. La función de masa de probabilidad es igual a 1 en este punto y 0 en cualquier otro lugar.

La distribución univariante degenerada se puede ver como el caso límite de una distribución continua cuya varianza llega a 0, lo que provoca que la función de densidad de probabilidad sea una función delta en k₀, con altura infinita allí pero área igual a 1.

La función de distribución acumulativa de la distribución degenerada univariada es:

${displaystyle F_{k_{0}(x)=left{begin{matrix}1, limit {mbox{if}xgeq ################################################################################################################################################################################################################################################################ Bien.$

Variable aleatoria constante

En la teoría de la probabilidad, una variable aleatoria constante es una variable aleatoria discreta que toma un valor constante, independientemente de cualquier evento que ocurra. Esto es técnicamente diferente de una variable aleatoria constante casi segura, que puede tomar otros valores, pero solo en eventos con probabilidad cero. Las variables aleatorias constantes y casi seguramente constantes, que tienen una distribución degenerada, proporcionan una forma de tratar con valores constantes en un marco probabilístico.

VamosX: Ω → Rser una variable aleatoria definida en un espacio de probabilidad (Ω, P). Entonces...Xes un casi seguro constante variable aleatoria si existe ${displaystyle k_{0}in mathbb {R}$ tales que

${displaystyle Pr(X=k_{0}=1,}$

y es además una variable aleatoria constante si

${displaystyle X(omega)=k_{0},quad forall omega in Omega.}$

Tenga en cuenta que una variable aleatoria constante es casi con seguridad constante, pero no necesariamente viceversa, ya que si X es casi con seguridad constante entonces puede existir γ ∈ Ω tal que X(γ) ≠ k₀ (pero entonces necesariamente Pr({γ}) = 0, de hecho Pr(X ≠ k₀) = 0).

A efectos prácticos, la distinción entre X siendo constante o casi seguramente constante no es importante, ya que la función de distribución acumulativa F(x) de X no depende de si X es constante o 'simplemente' casi seguramente constante. En cualquier caso,

${displaystyle F(x)={begin{cases}1, curvaxgeq k_{0},�, Pulsando significak_{0}.end{cases}}$

La función F(x) es una función de paso; en particular, es una traducción de la función escalón de Heaviside.

Dimensiones superiores

La degeneración de una distribución multivariada en n variables aleatorias surge cuando el soporte se encuentra en un espacio de dimensión menor que n. Esto ocurre cuando al menos una de las variables es función determinista de las demás. Por ejemplo, en el caso de 2 variables, suponga que Y = aX + b para las variables aleatorias escalares X y Y y constantes escalares a ≠ 0 y b; aquí conocer el valor de uno de X o Y da un conocimiento exacto del valor del otro. Todos los puntos posibles (x, y) caen sobre la recta unidimensional y = ax + b.

En general, cuando una o más de n variables aleatorias están determinadas linealmente por las demás, si existe la matriz de covarianza, su rango es menor que n y su determinante es 0, por lo que es semidefinido positivo pero no definido positivo, y la distribución de probabilidad conjunta es degenerada.

La degeneración también puede ocurrir incluso con una covarianza distinta de cero. Por ejemplo, cuando el escalar X se distribuye simétricamente alrededor de 0 y Y está exactamente dado por Y = X ², todos los puntos posibles (x, y) caen en la parábola y = x ², que es un subconjunto unidimensional del espacio bidimensional.