Teorema de inversión de Lagrange

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Fórmula para la expansión de la serie Taylor de la función inversa de una función analítica

En el análisis matemático, el teorema de la inversión de Lagrange, también conocido como la fórmula de Lagrange-Bürmann, proporciona la expansión en serie de Taylor de la función inversa de una función analítica.

Declaración

Suponga que $z$ se define como una función de $w$ por una ecuación de la forma

{displaystyle z=f(w)}

Donde $f$ es analítico en un punto $a$ y ${displaystyle f'(a)neq 0.}$ Entonces es posible invertidos o resolver la ecuación para $w$ , expresando en la forma $w=g(z)$ dada por una serie de energía

{displaystyle g(z)=a+sum _{n=1}^{infty }g_{n}{frac {(z-f(a))^{n}}{n!}},}

dónde

{displaystyle g_{n}=lim _{wto a}{frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}left[left({frac {w-a}{f(w)-f(a)}}right)^{n}right].}

El teorema afirma además que esta serie tiene un radio no cero de convergencia, es decir, $g(z)$ representa una función analítica de $z$ en un barrio ${displaystyle z=f(a).}$ Esto también se llama reversión de series.

Si se omiten las afirmaciones sobre el análisis, la fórmula también es válida para la serie de poder formal y se puede generalizar de varias maneras: Se puede formular para funciones de varias variables; se puede ampliar para proporcionar una fórmula lista para $F () g () z)$ para cualquier función analítica $F$ ; y puede generalizarse al caso ${displaystyle f'(a)=0,}$ donde el inverso $g$ es una función multivalorada.

El teorema fue demostrado por Lagrange y generalizado por Hans Heinrich Bürmann, ambos a fines del siglo XVIII. Hay una derivación directa usando análisis complejo e integración de contornos; la versión formal compleja de series de potencias es consecuencia de conocer la fórmula de los polinomios, por lo que se puede aplicar la teoría de funciones analíticas. En realidad, la maquinaria de la teoría de la función analítica entra solo de manera formal en esta prueba, en el sentido de que lo que realmente se necesita es alguna propiedad del residuo formal, y se dispone de una prueba formal más directa.

Si $f$ es una serie de potencia formal, entonces la fórmula anterior no da los coeficientes de la serie inversa composicional $g$ directamente en términos de los coeficientes de la serie $f. Si se pueden expresar las funciones f y g en series de potencias formales como$

{displaystyle f(w)=sum _{k=0}^{infty }f_{k}{frac {w^{k}}{k!}}qquad {text{and}}qquad g(z)=sum _{k=0}^{infty }g_{k}{frac {z^{k}}{k!}}}

con $f 0 = 0$ y $f 1 \neq 0$ , entonces se puede dar una forma explícita de coeficientes inversos en términos de polinomios de Bell:

{displaystyle g_{n}={frac {1}{f_{1}^{n}}}sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{(k)}B_{n-1,k}({hat {f}}_{1},{hat {f}}_{2},ldots{hat {f}}_{n-k}),quad ngeq 2,}

dónde

{displaystyle {begin{aligned}{hat {f}}_{k}&={frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},\g_{1}&={frac {1}{f_{1}}},{text{ and}}\n^{(k)}&=n(n+1)cdots (n+k-1)end{aligned}}}

es el factorial ascendente.

Cuando $f 1 = 1$ , la última fórmula se puede interpretar en términos de las caras de los asociaedros

{displaystyle g_{n}=sum _{F{text{ face of }}K_{n}}(-1)^{n-dim F}f_{F},quad ngeq 2,}

Donde ${displaystyle f_{F}=f_{i_{1}}cdots f_{i_{m}}}$ para cada cara ${displaystyle F=K_{i_{1}}times cdots times K_{i_{m}}}$ de la asociación ${displaystyle K_{n}.}$

Ejemplo

Por ejemplo, la ecuación algebraica de grado $p$

x^p - x + z= 0

puede resolverse para $x$ mediante la fórmula de inversión de Lagrange para la función $f (x) = x - x p$ , lo que resulta en una solución de serie formal

{displaystyle x=sum _{k=0}^{infty }{binom {pk}{k}}{frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.}

Por pruebas de convergencia, esta serie es de hecho convergente para ${displaystyle |z|leq (p-1)p^{-p/(p-1)},}$ que es también el disco más grande en el que un inverso local $f$ se puede definir.

Bosquejo de la prueba

Para simplicidad, supongamos ${displaystyle z=0=f(w=0)}$ . Entonces podemos calcular

{displaystyle oint _{w=0}{frac {dw}{2pi i}}{frac {1}{f(w)-z}}=oint _{w=0}{frac {dw}{2pi i}}{frac {1}{f'(g(z))w+O(w^{2})}}={frac {1}{f'(g(z))}}=g'(f(w))=g'(z).}

Si desarrollamos el integrando usando la serie geométrica obtenemos

{displaystyle oint _{w=0}{frac {dw}{2pi i}}{frac {1}{f(w)-z}}=sum _{n=0}^{infty }z^{n}oint _{w=0}{frac {dw}{2pi i}}{frac {1}{(f(w))^{n+1}}}=sum _{n=0}^{infty }z^{n}oint _{w=0}{frac {dw}{2pi i}}{frac {1}{w^{n+1}}}left({frac {w}{f(w)}}right)^{n+1}=sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{n}}{n!}}left.{frac {d^{n}}{dw^{n}}}left({frac {w}{f(w)}}right)^{n+1}right|_{w=0},}

donde en el último paso usamos el hecho de que $f(w)$ tiene un cero simple.

Finalmente podemos integrarnos $z$ teniendo en cuenta $g(0)=0$

{displaystyle g'(z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{n}}{n!}}left.{frac {d^{n}}{dw^{n}}}left({frac {w}{f(w)}}right)^{n+1}right|_{w=0}~~Longrightarrow ~~g(z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{n+1}}{(n+1)!}}left.{frac {d^{n}}{dw^{n}}}left({frac {w}{f(w)}}right)^{n+1}right|_{w=0}.}

Después de una redefinición del índice de suma, obtenemos la fórmula indicada.

Aplicaciones

Fórmula de Lagrange-Bürmann

Hay un caso especial de Teorema de Inversión Lagrange que se utiliza en combinatoria y se aplica cuando $f(w)=w/phi(w)$ para algunos analytic $phi(w)$ con $phi(0)ne 0.$ Toma. $a=0$ para obtener $f(a)=f(0)=0.$ Entonces para el inverso $g(z)$ (satisfying ${displaystyle f(g(z))equiv z}$ ), tenemos

{displaystyle {begin{aligned}g(z)&=sum _{n=1}^{infty }left[lim _{wto 0}{frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}left(left({frac {w}{w/phi (w)}}right)^{n}right)right]{frac {z^{n}}{n!}}\{}&=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n}}left[{frac {1}{(n-1)!}}lim _{wto 0}{frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(phi (w)^{n})right]z^{n},end{aligned}}}

que se puede escribir alternativamente como

[z^n] g(z) = frac{1}{n} [w^{n-1}] phi(w)^n,

Donde $[w^r]$ es un operador que extrae el coeficiente de $w^r$ en la serie Taylor de una función $w$ .

Una generalización de la fórmula se conoce como fórmula de Lagrange-Bürmann:

[z^n] H (g(z)) = frac{1}{n} [w^{n-1}] (H' (w) phi(w)^n)

donde $H$ es una función analítica arbitraria.

A veces, la derivada $H' (w)$ puede ser bastante complicado. Una versión más simple de la fórmula reemplaza a $H' (w)$ con $H (w)(1 - φ' (w)/ φ (w))$ para obtener

{displaystyle [z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)phi (w)^{n-1}(phi (w)-wphi '(w)),}

que implica $φ' (w)$ en lugar de $H' (w)$ .

Función W de Lambert

Lambert $W$ función es la función $W(z)$ que se define implícitamente por la ecuación

{displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.}

Podemos usar el teorema para calcular la serie Taylor $W(z)$ a $z=0.$ Nos llevamos $f(w)=we^{w}$ y ${displaystyle a=0.}$ Reconociendo que

{displaystyle {frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{alpha x}=alpha ^{n}e^{alpha x},}

esto da

{displaystyle {begin{aligned}W(z)&=sum _{n=1}^{infty }left[lim _{wto 0}{frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}right]{frac {z^{n}}{n!}}\{}&=sum _{n=1}^{infty }(-n)^{n-1}{frac {z^{n}}{n!}}\{}&=z-z^{2}+{frac {3}{2}}z^{3}-{frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).end{aligned}}}

El radio de convergencia de esta serie es $e^{-1}$ (Dando la rama principal de la función Lambert).

Una serie que converge para mayor $z$ (aunque no para todos) $z$ ) también se puede derivar por la inversión de serie. La función ${displaystyle f(z)=W(e^{z})-1}$ satisfice la ecuación

{displaystyle 1+f(z)+ln(1+f(z))=z.}

Entonces... ${displaystyle z+ln(1+z)}$ se puede ampliar en una serie de energía e invertir. Esto da una serie para ${displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1{text{:}}}$

{displaystyle W(e^{1+z})=1+{frac {z}{2}}+{frac {z^{2}}{16}}-{frac {z^{3}}{192}}-{frac {z^{4}}{3072}}+{frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).}

$W(x)$ puede ser calculado por sustitución ${displaystyle ln x-1}$ para $z$ en la serie anterior. Por ejemplo, sustitución $-1$ para $z$ da el valor ${displaystyle W(1)approx 0.567143.}$

Árboles binarios

Considere el conjunto ${mathcal {B}}$ de árboles binarios sin etiquetar. Un elemento ${mathcal {B}}$ es una hoja de tamaño cero, o un nodo raíz con dos subárboles. Denote by $B_{n}$ el número de árboles binarios en $n$ nodos.

Eliminar la raíz divide un árbol binario en dos árboles de menor tamaño. Esto produce la ecuación funcional en la función generadora ${displaystyle textstyle B(z)=sum _{n=0}^{infty }B_{n}z^{n}{text{:}}}$

B(z) = 1 + z B(z)^2.

Letting $C(z) = B(z) - 1$ , uno tiene así $C(z) = z (C(z)+1)^2.$ Aplicar el teorema con ${displaystyle phi (w)=(w+1)^{2}}$ rendimientos

{displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={frac {1}{n}}{binom {2n}{n-1}}={frac {1}{n+1}}{binom {2n}{n}}.}

Esto demuestra que $B_{n}$ es $n$ el número catalán.

Aproximación asintótica de integrales

En el teorema de Laplace-Erdelyi que da la aproximación asintótica para las integrales de tipo Laplace, la inversión de la función se toma como un paso crucial.