Notación de Einstein

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Nota de mano corta para operaciones de tensor

En matemáticas, especialmente el uso del álgebra lineal en la física matemática, la notación de Einstein (también conocida como la convención de suma de Einstein o notación de suma de Einstein) es una convención de notación que implica la suma sobre un conjunto de términos indexados en una fórmula, logrando así la brevedad. Como parte de las matemáticas, es un subconjunto notacional del cálculo de Ricci; sin embargo, a menudo se usa en aplicaciones de física que no distinguen entre espacios tangentes y cotangentes. Fue introducido a la física por Albert Einstein en 1916.

Introducción

Declaración de convención

Según esta convención, cuando una variable de índice aparece dos veces en un solo término y no se define de otra manera (consulte Variables libres y vinculadas), implica la suma de ese término sobre todos los valores del índice. Entonces, donde los índices pueden oscilar sobre el conjunto ${1, 2, 3}$ ,

{displaystyle y=sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}}

{displaystyle y=c_{i}x^{i}}

Los índices superiores no son exponentes sino índices de coordenadas, coeficientes o vectores base. Es decir, en este contexto $x 2$ debe entenderse como el segundo componente de $x$ en lugar del cuadrado de $x$ (esto puede generar ambigüedad en ocasiones). La posición superior del índice en $x i$ se debe a que, por lo general, un índice aparece una vez en una posición superior (superíndice) y una vez inferior (subíndice) en un término (ver § Aplicación a continuación). Normalmente, $(x 1 x 2 x 3)$ sería equivalente al tradicional $(x y z)$ .

En relatividad general, una convención común es que

el alfabeto griego se utiliza para los componentes del espacio y del tiempo, donde los índices toman los valores 0, 1, 2, o 3 (las letras de uso frecuente son $μ, .,...$ ),
el alfabeto latino se utiliza sólo para componentes espaciales, donde los índices toman los valores 1, 2, o 3 (las letras usadas frecuentemente son $i, j,...$ ),

En general, los índices pueden abarcar cualquier conjunto de indexación, incluido un conjunto infinito. Esto no debe confundirse con una convención tipográficamente similar utilizada para distinguir entre la notación de índice tensorial y la notación de índice abstracta independiente de la base, estrechamente relacionada pero distinta.

Un índice que se suma es un índice de suma, en este caso " $i$ &# 34;. También se denomina índice ficticio ya que cualquier símbolo puede reemplazar " $i$ " sin cambiar el significado de la expresión (siempre que no coincida con otros símbolos de índice en el mismo término).

Un índice que no se resume es un índice libre y debe aparecer sólo una vez por término. Si tal índice aparece, generalmente aparece en cada otro término en una ecuación. Un ejemplo de un índice libre es el " $i$ "en la ecuación ${displaystyle v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}}$ , que es equivalente a la ecuación ${textstyle v_{i}=sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$ .

Solicitud

La notación de Einstein se puede aplicar de formas ligeramente diferentes. Por lo general, cada índice aparece una vez en una posición superior (superíndice) y una vez en una posición inferior (subíndice) en un término; sin embargo, la convención se puede aplicar de manera más general a cualquier índice repetido dentro de un término. Cuando se trata de vectores covariantes y contravariantes, donde la posición de un índice también indica el tipo de vector, generalmente se aplica el primer caso; un vector covariante solo puede contraerse con un vector contravariante, correspondiente a la suma de los productos de los coeficientes. Por otro lado, cuando se tiene una base de coordenadas fija (o cuando no se consideran vectores de coordenadas), se puede optar por usar solo subíndices; consulte § Superíndices y subíndices versus solo subíndices a continuación.

Representaciones vectoriales

Superíndices y subíndices versus solo subíndices

En términos de covarianza y contravarianza de vectores,

los índices superiores representan componentes de vectores contravariantes (vectores),
Los índices inferiores representan componentes de vectores covariantes (covectores).

Se transforman de forma contravariante o covariante, respectivamente, con respecto al cambio de base.

En reconocimiento de este hecho, la siguiente notación usa el mismo símbolo tanto para un vector o covector como para sus componentes, como en:

{displaystyle {begin{aligned}v=v^{i}e_{i}={begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&cdots &e_{n}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}v^{1}\v^{2}\vdots \v^{n}end{bmatrix}}\w=w_{i}e^{i}={begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&cdots &w_{n}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}e^{1}\e^{2}\vdots \e^{n}end{bmatrix}}end{aligned}}}

Donde $v$ es el vector y $v i$ son sus componentes (no los $i$ th covector $v$ ), $w$ es el covector y $w i$ son sus componentes. Elementos vectoriales básicos $e_{i}$ son los vectores de cada columna, y los elementos de base del covector $e^{i}$ son cada covector de fila. (Véase también § descripción abstracta; dualidad, abajo y ejemplos)

En presencia de una forma no degenerada (un isomorfismo $V \to V *$ , por ejemplo, una métrica de Riemann o una métrica de Minkowski), se pueden subir y bajar los índices.

Una base da tal forma (a través de la base dual), por lo tanto, cuando se trabaja en $R n$ con una métrica euclidiana y una base ortonormal fija, se tiene la opción de trabajar solo con subíndices.

Sin embargo, si uno cambia las coordenadas, la forma en que cambian los coeficientes depende de la varianza del objeto, y no se puede ignorar la distinción; ver Covarianza y contravarianza de vectores.

Mnemónicos

En el ejemplo anterior, los vectores se representan como matrices $n \times 1$ (vectores de columna), mientras que los covectores se representan como $1 \times n$ matrices (covectores de fila).

Al usar la convención de vector de columna:

"Arribapor índices arriba Abajo; lower indices go lEft to right."
"CoTensores variantes fila vectores que tienen índices que son infra ()co-row-below)."
Los covectores son vectores de filas: ${displaystyle {begin{bmatrix}w_{1}&cdots &w_{k}end{bmatrix}}.}$ Por lo tanto, el índice inferior indica qué columna Estás dentro.
Los vectores contravariantes son vectores de columna: ${displaystyle {begin{bmatrix}v^{1}\vdots \v^{k}end{bmatrix}}}$ Por lo tanto, el índice superior indica qué fila Estás dentro.

Descripción abstracta

La virtud de la notación de Einstein es que representa las cantidades invariantes con una notación simple.

En física, un escalar es invariante bajo transformaciones de base. En particular, un escalar de Lorentz es invariante bajo una transformación de Lorentz. Los términos individuales en la suma no lo son. Cuando se cambia la base, los componentes de un vector cambian por una transformación lineal descrita por una matriz. Esto llevó a Einstein a proponer la convención de que los índices repetidos implican que se debe realizar la suma.

En cuanto a los covectores, cambian por la matriz inversa. Esto está diseñado para garantizar que la función lineal asociada con el covector, la suma anterior, sea la misma sin importar cuál sea la base.

El valor de la convención de Einstein es que se aplica a otros espacios vectoriales construidos a partir de $V$ utilizando el producto tensorial y la dualidad. Por ejemplo, $V \otimes V$ , el producto tensorial de $V$ consigo mismo, tiene una base formada por tensores de la forma $e ij = e i \otimes e j . Cualquier tensor T en V \otimes V se puede escribir como:$

{displaystyle mathbf {T} =T^{ij}mathbf {e} _{ij}.}

$V *$ , el dual de $V$ , tiene una base $e 1$ , $e 2$ ,..., $e n$ que obedece la regla

{displaystyle mathbf {e} ^{i}(mathbf {e} _{j})=delta _{j}^{i}.}

δ

{displaystyle operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}otimes W}

Operaciones comunes en esta notación

En la notación de Einstein, la referencia de elemento habitual $A_{mn}$ para el $m$ -a la fila y $n$ -a columna de matriz $A$ se convierte en ${displaystyle {A^{m}}_{n}}$ . Entonces podemos escribir las siguientes operaciones en la notación de Einstein como sigue.

Producto interno (por lo tanto, también producto punto vectorial)

Usando una base ortogonal, el producto interno es la suma de los componentes correspondientes multiplicados entre sí:

{displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} =u_{j}v^{j}}

Esto también se puede calcular multiplicando el covector por el vector.

Producto cruzado vectorial

Nuevamente, utilizando una base ortogonal (en 3 dimensiones), el producto vectorial implica intrínsecamente sumas sobre permutaciones de componentes:

{displaystyle mathbf {u} times mathbf {v} ={varepsilon ^{i}}_{jk}u^{j}v^{k}mathbf {e} _{i}}

{displaystyle {varepsilon ^{i}}_{jk}=delta ^{il}varepsilon _{ljk}}

$ε ijk$ es el símbolo de Levi-Civita, y $δ il$ es el delta de Kronecker generalizado. Según esta definición de $ε$ , no hay diferencia entre $ε i jk$ y $ε ijk$ pero la posición de índices.

Multiplicación matriz-vector

El producto de una matriz $A ij$ con un vector columna $v j$ es:

{displaystyle mathbf {u} _{i}=(mathbf {A} mathbf {v})_{i}=sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}}

{displaystyle u^{i}={A^{i}}_{j}v^{j}}

Este es un caso especial de multiplicación de matrices.

Multiplicación de matrices

El producto matricial de dos matrices $A ij$ y $B jk$ es:

{displaystyle mathbf {C} _{ik}=(mathbf {A} mathbf {B})_{ik}=sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}}

equivalente a

{displaystyle {C^{i}}_{k}={A^{i}}_{j}{B^{j}}_{k}}

Rastrear

Para una matriz cuadrada $A i j$ , la traza es la suma de los elementos diagonales, por lo tanto, la suma sobre un índice común $A i i$ .

Producto exterior

El producto exterior del vector columna $u i$ por el vector fila $v j$ produce un $m \times n$ matriz $A$ :

{displaystyle {A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(uv)^{i}}_{j}}

Dado que $i$ y $j$ representan dos índices diferentes, no hay suma y los índices no se eliminan con la multiplicación.

Indices al alza y a la baja

Dado un tensor, uno puede subir o bajar un índice contrayendo el tensor con el tensor métrico, $g μν . Por ejemplo, tomando el tensor T α β, se puede bajar un índice:$

{displaystyle g_{mu sigma }{T^{sigma }}_{beta }=T_{mu beta }}

O uno puede generar un índice:

{displaystyle g^{mu sigma }{T_{sigma }}^{alpha }=T^{mu alpha }}