Distribución degenerada

En matemáticas, una distribución degenerada es, según algunos, una distribución de probabilidad en un espacio con apoyo solo en una variedad de menor dimensión, y según otros una distribución con apoyo solo en un único punto. Según la última definición, es una distribución determinista y toma un solo valor. Los ejemplos incluyen una moneda de dos caras y lanzar un dado cuyos lados muestran el mismo número. Esta distribución satisface la definición de "variable aleatoria" aunque no parezca casualidad en el sentido cotidiano de la palabra; por lo tanto, se considera degenerado.

En el caso de una variable aleatoria de valor real, la distribución degenerada es una distribución de un punto, localizada en un punto k₀ en la línea real. La función de masa de probabilidad es igual a 1 en este punto y 0 en cualquier otro lugar.

La distribución univariante degenerada se puede ver como el caso límite de una distribución continua cuya varianza llega a 0, lo que provoca que la función de densidad de probabilidad sea una función delta en k₀, con altura infinita allí pero área igual a 1.

La función de distribución acumulativa de la distribución degenerada univariada es:

${displaystyle F_{k_{0}(x)=left{begin{matrix}1, limit {mbox{if}xgeq ################################################################################################################################################################################################################################################################ Bien.$

Variable aleatoria constante

En la teoría de la probabilidad, una variable aleatoria constante es una variable aleatoria discreta que toma un valor constante, independientemente de cualquier evento que ocurra. Esto es técnicamente diferente de una variable aleatoria constante casi segura, que puede tomar otros valores, pero solo en eventos con probabilidad cero. Las variables aleatorias constantes y casi seguramente constantes, que tienen una distribución degenerada, proporcionan una forma de tratar con valores constantes en un marco probabilístico.

VamosX: Ω → Rser una variable aleatoria definida en un espacio de probabilidad (Ω, P). Entonces...Xes un casi seguro constante variable aleatoria si existe ${displaystyle k_{0}in mathbb {R}$ tales que

${displaystyle Pr(X=k_{0}=1,}$

y es además una variable aleatoria constante si

${displaystyle X(omega)=k_{0},quad forall omega in Omega.}$

Tenga en cuenta que una variable aleatoria constante es casi con seguridad constante, pero no necesariamente viceversa, ya que si X es casi con seguridad constante entonces puede existir γ ∈ Ω tal que X(γ) ≠ k₀ (pero entonces necesariamente Pr({γ}) = 0, de hecho Pr(X ≠ k₀) = 0).

A efectos prácticos, la distinción entre X siendo constante o casi seguramente constante no es importante, ya que la función de distribución acumulativa F(x) de X no depende de si X es constante o 'simplemente' casi seguramente constante. En cualquier caso,

${displaystyle F(x)={begin{cases}1, curvaxgeq k_{0},$