Distancia euclidiana

Usando el teorema pitagórico para calcular la distancia euclidiana bidimensional

En matemáticas, la distancia euclidiana entre dos puntos en el espacio euclidiano es la longitud de un segmento de línea entre los dos puntos. Se puede calcular a partir de las coordenadas cartesianas de los puntos mediante el teorema de Pitágoras, por lo que en ocasiones se denomina distancia de Pitágoras. Estos nombres provienen de los antiguos matemáticos griegos Euclides y Pitágoras, aunque Euclides no representó las distancias como números, y la conexión del teorema de Pitágoras con el cálculo de distancias no se hizo hasta el siglo XVIII.

La distancia entre dos objetos que no son puntos generalmente se define como la distancia más pequeña entre pares de puntos de los dos objetos. Se conocen fórmulas para calcular distancias entre diferentes tipos de objetos, como la distancia de un punto a una línea. En matemáticas avanzadas, el concepto de distancia se ha generalizado a espacios métricos abstractos, y se han estudiado otras distancias además de las euclidianas. En algunas aplicaciones de estadística y optimización, se utiliza el cuadrado de la distancia euclidiana en lugar de la distancia misma.

Fórmulas de distancia

Una dimensión

La distancia entre dos puntos en la línea real es el valor absoluto de la diferencia numérica de sus coordenadas, su diferencia absoluta. Así si p{displaystyle p} y q{displaystyle q} son dos puntos en la línea real, entonces la distancia entre ellos es dada por:

d()p,q)=Silenciop− − qSilencio.{displaystyle d(p,q)=vivirp-q sometida.}

Una fórmula más complicada, que da el mismo valor, pero se generaliza más fácilmente a dimensiones más altas, es:

d()p,q)=()p− − q)2.{displaystyle d(p,q)={sqrt {(p-q)}}}}

En esta fórmula, elevar al cuadrado y luego sacar la raíz cuadrada deja cualquier número positivo sin cambios, pero reemplaza cualquier número negativo por su valor absoluto.

Dos dimensiones

En el plano euclidiano, déjese punto p{displaystyle p} tienen coordenadas cartesianas ()p1,p2){displaystyle (p_{1},p_{2}} y dejar punto q{displaystyle q} tienen coordenadas ()q1,q2){displaystyle (q_{1},q_{2}}. Entonces la distancia entre p{displaystyle p} y q{displaystyle q} es dado por:

d()p,q)=()q1− − p1)2+()q2− − p2)2.{displaystyle d(p,q)={sqrt {q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})}}}}}

Esto se puede ver aplicando el teorema pitagórico a un triángulo derecho con los lados horizontales y verticales, teniendo el segmento de línea de p{displaystyle p} a q{displaystyle q} como su hipotenusa. Las dos fórmulas cuadradas dentro de la raíz cuadrada dan las áreas de cuadrados en los lados horizontal y vertical, y la raíz cuadrada exterior convierte el área de la plaza en la hipotenusa en la longitud de la hipotenusa.

También es posible calcular la distancia para los puntos dados por las coordenadas polares. Si las coordenadas polares de p{displaystyle p} son ()r,Silencio Silencio ){displaystyle (r,theta)} y las coordenadas polares de q{displaystyle q} son ()s,↑ ↑ ){displaystyle (s,psi)}, entonces su distancia es dada por la ley de los cosines:

d()p,q)=r2+s2− − 2rs#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − ↑ ↑ ).{displaystyle d(p,q)={2}+s^{2}-2rscos(theta -psi)}}}

Cuando p{displaystyle p} y q{displaystyle q} se expresan como números complejos en el plano complejo, la misma fórmula para puntos unidimensionales expresados como números reales se puede utilizar, aunque aquí el signo de valor absoluto indica la norma compleja:

d()p,q)=Silenciop− − qSilencio.{displaystyle d(p,q)=vivirp-q sometida.}

Dimensiones más altas

Conducir n{displaystyle n}-dimensional fórmula de distancia euclidiana aplicando repetidamente el teorema pitagórico

En tres dimensiones, para puntos dados por sus coordenadas cartesianas, la distancia es

d()p,q)=()p1− − q1)2+()p2− − q2)2+()p3− − q3)2.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}*}*}*}*}*

En general, para puntos dados por coordenadas cartesianas en n{displaystyle n}-dimensional Espacio euclidiano, la distancia es

d()p,q)=()p1− − q1)2+()p2− − q2)2+⋯ ⋯ +()pn− − qn)2.{displaystyle d(p,q)={sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})}{2}+cdots ¿Qué?

Objetos que no sean puntos

Para pares de objetos que no son ambos puntos, la distancia se puede definir simplemente como la distancia más pequeña entre dos puntos cualquiera de los dos objetos, aunque también se usan comúnmente generalizaciones más complicadas de puntos a conjuntos como la distancia de Hausdorff. Las fórmulas para calcular distancias entre diferentes tipos de objetos incluyen:

• La distancia de un punto a una línea, en el plano Euclideano
• La distancia de un punto a un plano en el espacio euclidiano tridimensional
• La distancia entre dos líneas en el espacio Euclideano tridimensional

Propiedades

La distancia euclidiana es el ejemplo prototípico de la distancia en un espacio métrico, y obedece a todas las propiedades definitorias de un espacio métrico:

• Es simétrica, lo que significa que para todos los puntos p{displaystyle p} y q{displaystyle q}, d()p,q)=d()q,p){displaystyle d(p,q)=d(q,p)}. Eso es (a diferencia de la distancia por carretera con las calles de una sola dirección) la distancia entre dos puntos no depende de cuál de los dos puntos es el comienzo y cuál es el destino.
• Es positivo, lo que significa que la distancia entre cada dos puntos distintos es un número positivo, mientras que la distancia de cualquier punto a sí mismo es cero.
• Obedece la desigualdad del triángulo: por cada tres puntos p{displaystyle p}, q{displaystyle q}, y r{displaystyle r}, d()p,q)+d()q,r)≥ ≥ d()p,r){displaystyle d(p,q)+d(q,r)geq d(p,r)}. Intuitivamente, viajando desde p{displaystyle p} a r{displaystyle r} via q{displaystyle q} no puede ser más corto que viajar directamente desde p{displaystyle p} a r{displaystyle r}.

Otra propiedad, la desigualdad de Ptolomeo, se refiere a las distancias de Euclidea entre cuatro puntos p{displaystyle p}, q{displaystyle q}, r{displaystyle r}, y s{displaystyle s}. Afirma que

d()p,q)⋅ ⋅ d()r,s)+d()q,r)⋅ ⋅ d()p,s)≥ ≥ d()p,r)⋅ ⋅ d()q,s).{displaystyle d(p,q)cdot d(r,s)+d(q,r)cdot d(p,s)geq d(p,r)cdot d(q,s). }

Para los puntos en el plano, esto se puede reformular diciendo que para cada cuadrilátero, los productos de los lados opuestos del cuadrilátero suman al menos un número tan grande como el producto de sus diagonales. Sin embargo, la desigualdad de Ptolomeo se aplica de manera más general a puntos en espacios euclidianos de cualquier dimensión, sin importar cómo estén dispuestos. Para puntos en espacios métricos que no son espacios euclidianos, esta desigualdad puede no ser cierta. La geometría de la distancia euclidiana estudia las propiedades de la distancia euclidiana, como la desigualdad de Ptolomeo, y su aplicación para probar si los conjuntos de distancias dados provienen de puntos en un espacio euclidiano.

Según el teorema de Beckman-Quarles, cualquier transformación del plano euclidiano o de un espacio euclidiano de mayor dimensión que conserve las unidades de distancia debe ser una isometría, conservando todas las distancias.

Distancia euclidiana al cuadrado

Un cono, el gráfico de Euclidean distancia del origen en el plano

Un paraboloide, el gráfico de la distancia euroclidiana cuadrada del origen

En muchas aplicaciones, y en particular cuando se comparan distancias, puede ser más conveniente omitir la raíz cuadrada final en el cálculo de las distancias euclidianas. El valor resultante de esta omisión es el cuadrado de la distancia euclidiana, y se denomina distancia euclidiana al cuadrado. Como ecuación, se puede expresar como una suma de cuadrados:

d2()p,q)=()p1− − q1)2+()p2− − q2)2+⋯ ⋯ +()pn− − qn)2.{displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+cdots ¿Qué?

Más allá de su aplicación a la comparación de distancias, la distancia euclidiana al cuadrado tiene una importancia central en las estadísticas, donde se utiliza en el método de los mínimos cuadrados, un método estándar para ajustar estimaciones estadísticas a los datos al minimizar el promedio de las distancias al cuadrado entre las distancias observadas. y valores estimados, y como la forma más simple de divergencia para comparar distribuciones de probabilidad. La suma de distancias al cuadrado entre sí, como se hace en el ajuste por mínimos cuadrados, corresponde a una operación sobre distancias (no cuadradas) llamada suma pitagórica. En el análisis de conglomerados, las distancias al cuadrado se pueden usar para fortalecer el efecto de distancias más largas.

La distancia euclidiana al cuadrado no forma un espacio métrico, ya que no satisface la desigualdad del triángulo. Sin embargo, es una función suave y estrictamente convexa de los dos puntos, a diferencia de la distancia, que es no suave (cerca de pares de puntos iguales) y convexa pero no estrictamente convexa. Por lo tanto, la distancia al cuadrado se prefiere en la teoría de la optimización, ya que permite utilizar el análisis convexo. Dado que elevar al cuadrado es una función monótona de valores no negativos, minimizar la distancia al cuadrado es equivalente a minimizar la distancia euclidiana, por lo que el problema de optimización es equivalente en términos de cualquiera, pero es más fácil de resolver usando la distancia al cuadrado.

La colección de todas las distancias al cuadrado entre pares de puntos de un conjunto finito puede almacenarse en una matriz de distancia euclidiana y se usa de esta forma en geometría de distancia.

Generalizaciones

En áreas más avanzadas de las matemáticas, al ver el espacio euclidiano como un espacio vectorial, su distancia se asocia con una norma denominada norma euclidiana, definida como la distancia de cada vector desde el origen. Una de las propiedades importantes de esta norma, en relación con otras normas, es que permanece sin cambios bajo rotaciones arbitrarias del espacio alrededor del origen. Según el teorema de Dvoretzky, todo espacio vectorial normado de dimensión finita tiene un subespacio de alta dimensión en el que la norma es aproximadamente euclidiana; la norma euclidiana es la única norma con esta propiedad. Puede extenderse a espacios vectoriales de dimensión infinita como la norma L2 o la distancia L². La distancia euclidiana le da al espacio euclidiano la estructura de un espacio topológico, la topología euclidiana, con las bolas abiertas (subconjuntos de puntos a menos de una distancia dada de un punto dado) como sus vecindades.

Otras distancias comunes en espacios euclidianos y espacios vectoriales de baja dimensión incluyen:

• La distancia Chebyshev, que mide distancia asumiendo sólo la dimensión más significativa es relevante.
• Distancia de Manhattan, que mide distancia siguiendo sólo direcciones alineadas con el eje.
• Distancia de Minkowski, una generalización que unifica la distancia de Euclidean, la distancia de Manhattan y la distancia de Chebyshev.

Para puntos en superficies en tres dimensiones, la distancia euclidiana debe distinguirse de la distancia geodésica, la longitud de una curva más corta que pertenece a la superficie. En particular, para medir distancias de gran círculo en la tierra u otras superficies esféricas o casi esféricas, las distancias que se han utilizado incluyen la distancia haversine que da distancias de gran círculo entre dos puntos en una esfera a partir de sus longitudes y latitudes, y Vincenty&# Las fórmulas de 39, también conocidas como "distancia de Vincent" para la distancia en un esferoide.

Historia

La distancia euclidiana es la distancia en el espacio euclidiano; ambos conceptos llevan el nombre del antiguo matemático griego Euclides, cuyos Elementos se convirtieron en un libro de texto estándar en geometría durante muchos siglos. Los conceptos de longitud y distancia están muy extendidos en todas las culturas, se pueden fechar en los primeros sobrevivientes "protoalfabetizados" documentos burocráticos de Sumer en el cuarto milenio antes de Cristo (mucho antes de Euclides), y se ha planteado la hipótesis de que se desarrollaron en los niños antes que los conceptos relacionados de velocidad y tiempo. Pero la noción de distancia, como un número definido a partir de dos puntos, en realidad no aparece en los Elementos de Euclides. En cambio, Euclides aborda este concepto implícitamente, a través de la congruencia de los segmentos de línea, a través de la comparación de las longitudes de los segmentos de línea ya través del concepto de proporcionalidad.

El teorema de Pitágoras también es antiguo, pero solo pudo asumir su papel central en la medición de distancias después de la invención de las coordenadas cartesianas por parte de René Descartes en 1637. La fórmula de la distancia en sí fue publicada por primera vez en 1731 por Alexis Clairaut. Debido a esta fórmula, la distancia euclidiana a veces también se llama distancia pitagórica. Aunque las mediciones precisas de largas distancias en la superficie de la tierra, que no son euclidianas, se han vuelto a estudiar en muchas culturas desde la antigüedad (ver historia de la geodesia), la idea de que la distancia euclidiana podría no ser la única forma de medir las distancias entre puntos en espacios matemáticos llegaron incluso más tarde, con la formulación del siglo XIX de la geometría no euclidiana. La definición de la norma euclidiana y la distancia euclidiana para geometrías de más de tres dimensiones también apareció por primera vez en el siglo XIX, en el trabajo de Augustin-Louis Cauchy.