Disfenoide desaire

En geometría, el disfenoide chato, el dodecaedro siamés, el dodecaedro triangular, el dodecaedro trigonal o el dodecadeltaedro es un poliedro convexo que tiene como caras doce triángulos equiláteros. No es un poliedro regular porque algunos vértices tienen cuatro caras y otros cinco. Es un dodecaedro, uno de los ocho deltaedros (poliedros convexos con caras de triángulos equiláteros) y es el 84º sólido de Johnson (poliedros convexos no uniformes con caras regulares). Se puede considerar como un antiprisma cuadrado donde ambos cuadrados se reemplazan por dos triángulos equiláteros.

El snub disphenoid es también la figura del vértice del prisma isogonal de 13-5 pasos, un policrón construido a partir de un duoprismo 13-13 seleccionando un vértice en un tridecagón, seleccionando luego el vértice 5 en el próximo tridecagón, haciéndolo hasta llegar al tridecagón original. No puede ser uniforme, sin embargo, porque el snub disphenoid no tiene esfera circunscrita.

Historia y nombramiento

Esta forma fue denominada dodecaedro siamés en el artículo de Hans Freudenthal y B. L. van der Waerden (1947), que describieron por primera vez el conjunto de ocho deltaedros convexos. El nombre de dodecadeltaedro fue dado a la misma forma por Bernal (1964), en referencia a que se trata de un deltaedro de 12 lados. Existen otros dodecaedros simpliciales, como la bipirámide hexagonal, pero este es el único que se puede realizar con caras equiláteras. Bernal estaba interesado en las formas de los agujeros dejados en disposiciones irregulares de esferas compactas, por lo que utilizó una definición restrictiva de deltaedro, en la que un deltaedro es un poliedro convexo con caras triangulares que pueden formarse mediante los centros de una colección de congruentes. esferas, cuyas tangencias representan los bordes del poliedro, y de manera que no hay espacio para empaquetar otra esfera dentro de la jaula creada por este sistema de esferas. Esta definición restrictiva no permite la bipirámide triangular (porque forma dos agujeros tetraédricos en lugar de un solo agujero), la bipirámide pentagonal (porque las esferas de sus vértices se interpenetran, por lo que no puede ocurrir en empaquetamientos de esferas) y el icosaedro (porque tiene espacio interior para otro). esfera). Bernal escribe que el disfenoide chato es "una coordinación muy común para el ion calcio en cristalografía". En geometría de coordinación, se le suele conocer como dodecaedro trigonal o simplemente como dodecaedro.

El nombre disfenoide chato proviene de la clasificación de Norman Johnson de 1966 de los sólidos de Johnson, poliedros convexos, todas cuyas caras son regulares. Existe primero en una serie de poliedros con simetría axial, por lo que también se le puede dar el nombre de girobianticúpula digonal.

Propiedades

El diefenoides chato tiene 4 conexiones, lo que significa que es necesario eliminar cuatro vértices para desconectar los vértices restantes. Es uno de los cuatro poliedros bien cubiertos simpliciales de 4 conectados, lo que significa que todos los conjuntos independientes máximos de sus vértices tienen el mismo tamaño. Los otros tres poliedros con esta propiedad son el octaedro regular, la bipirámide pentagonal y un poliedro irregular con 12 vértices y 20 caras triangulares.

El disfenoide chato tiene las mismas simetrías que un disfenoide tetragonal: tiene un eje de simetría rotacional de 180° a través de los puntos medios de sus dos bordes opuestos, dos planos perpendiculares de simetría de reflexión a través de este eje y cuatro operaciones de simetría adicionales dadas por una reflexión perpendicular al eje seguida de un cuarto de vuelta y posiblemente otra reflexión paralela al eje. Es decir, tiene simetría antiprismática D_2d, un grupo de simetría de orden 8.

Las esferas centradas en los vértices del disfenoide chato forman un grupo que, según experimentos numéricos, tiene el potencial de Lennard-Jones mínimo posible entre todos los grupos de ocho esferas.

Hasta las simetrías y la traslación paralela, el disfenoide chato tiene cinco tipos de geodésicas cerradas simples (que no se cruzan por sí solas). Estos son caminos en la superficie del poliedro que evitan los vértices y localmente parecen un camino más corto: siguen segmentos de línea recta a través de cada cara del poliedro que cruzan, y cuando cruzan un borde del poliedro forman ángulos complementarios en los dos incidentes miran hacia el borde. Intuitivamente, se podría estirar una banda elástica alrededor del poliedro a lo largo de este camino y permanecería en su lugar: no hay manera de cambiar localmente el camino y hacerlo más corto. Por ejemplo, un tipo de geodésica cruza los dos bordes opuestos del diefenoides chato en sus puntos medios (donde el eje de simetría sale del politopo) en un ángulo de π/3. Un segundo tipo de geodésica pasa cerca de la intersección del diefenoides chato con el plano que biseca perpendicularmente el eje de simetría (el ecuador del poliedro), cruzando los bordes de ocho triángulos en ángulos que alternan entre estilos π/2 y π/6. Desplazar una geodésica en la superficie del poliedro en una cantidad pequeña (lo suficientemente pequeña como para que el desplazamiento no haga que cruce ningún vértice) preserva la propiedad de ser una geodésica y preserva su longitud, por lo que ambos ejemplos tienen versiones desplazadas de la del mismo tipo que están colocados de manera menos simétrica. Las longitudes de las cinco geodésicas cerradas simples sobre un diefenoides chato con aristas de longitud unitaria son

${displaystyle 2{sqrt {3}approx 3.464}$ (para el geodésico ecuatorial), ${displaystyle {sqrt {13}approx 3.606}$, ${displaystyle 4}$ (para la geodésica a través de los puntos intermedios de los bordes opuestos), ${displaystyle 2{sqrt {7}approx 5.292}$, y ${displaystyle {sqrt {19}approx 4.359}$.

A excepción del tetraedro, que tiene infinitos tipos de geodésicas cerradas simples, el disfenoide chato tiene la mayor cantidad de tipos de geodésicas de cualquier deltaedro.

Construcción

El disfenoide chato se construye, como su nombre indica, como el poliedro chato formado a partir de un disfenoide tetragonal, una forma de simetría inferior de un tetraedro regular.

Disphenoid	Snub disphenoid

La operación de desaire produce una única banda cíclica de triángulos que separan dos bordes opuestos (rojos en la figura) y sus triángulos adyacentes. Los antiprismas chatos son análogos al tener una sola banda cíclica de triángulos, pero en los antiprismas chatos estas bandas separan dos caras opuestas y sus triángulos adyacentes en lugar de dos bordes opuestos.

El diefenoides chato también se puede construir a partir del antiprisma cuadrado reemplazando las dos caras cuadradas por pares de triángulos equiláteros. Sin embargo, es uno de los sólidos elementales de Johnson que no surgen del proceso de "cortar y pegar". Manipulaciones de los sólidos platónicos y de Arquímedes.

Se puede formar un modelo físico del disfenoide chato doblando una red formada por 12 triángulos equiláteros (un diamante de 12), como se muestra. Una red alternativa sugerida por John Montroll tiene menos vértices cóncavos en su límite, lo que la hace más conveniente para la construcción de origami.

Coordenadas cartesianas

Vamos. ${displaystyle qapprox 0.16902}$ ser la raíz real positiva del polinomio cúbico

${displaystyle 2x^{3}+11x^{2}+4x-1.}$

Además, dejemos

${displaystyle r={sqrt {q}approx 0.41112,}$

${displaystyle s={sqrt {frac {1-q}{2q}approx 1.56786,}$

y

${displaystyle t=2rs={sqrt {2-2q}approx 1.28917}$

A los ocho vértices del disfenoides chato se les pueden dar coordenadas cartesianas

${displaystyle (pm t,r,0),,(0,-r,pm t),}$

${displaystyle (pm 1,-s,0),,(0,s,pm 1). }$

Debido a que esta construcción implica la solución de una ecuación cúbica, el diefenoides chato no se puede construir con un compás y una regla, a diferencia de los otros siete deltaedros.

Con estas coordenadas, es posible calcular el volumen de un snub disphenoid con longitud de borde a como ${displaystyle xi a^{3}$, donde ${displaystyle xi approx 0.85949}$, es la raíz positiva del polinomio

${displaystyle 5832x^{6}-1377x^{4}-2160x^{2}-4.}$

La forma exacta de ${displaystyle xi }$ puede expresarse como:

${displaystyle xi ={frac {1}{6{sqrt {6}}}{sqrt {17+{sqrt[{3}}{155249-28848i{sqrt {237}}}}+{sqrt[{3}]{155249+28848i{sqrt {sqrt}}}}}}{sqrt[{3}]}{155249+28848i{sqrt {sqrt {sqrt {sqrt {sqrt {sqrt}}}}}}}}}}} {sqrt {sqrt {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{sqrt {sqrt {sq}}}}}}}}}}}}}}{sq}}}}}}}}{sq}}}}}}{sq}}}}}{sq}}}}}}}}}{sqrt {c}}} {237}}}}}}}$

${displaystyle xi ={frac {1}{6{sqrt {6}}{sqrt {17+2{sqrt {6049}cos left({frac {1}{3}}tan ^{-1}left({frac {28848{sqrt {237}}}}}}{155249}}}}right)}}}}}}} {}}} {}}}} {}}}} {} {}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}} {} {} {} {}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}} {$

Donde ${displaystyle i}$ es la unidad imaginaria.

Poliedros relacionados

Otra construcción del disfenoides chato es la de una girobianticúpula digonal. Tiene la misma topología y simetría, pero sin triángulos equiláteros. Tiene 4 vértices en un cuadrado en un plano central como dos anticúpulas unidas con simetría rotacional. Su dual tiene pentágonos en ángulo recto y puede autoteselar el espacio.

Anticupola digonal

Girobianticupola digonal

(Dual) elongated gyrobifastigium

Tessellación parcial