Diferencial (matemáticas)

En matemáticas, diferencial se refiere a varias nociones relacionadas derivadas de los primeros días del cálculo, puestas sobre una base rigurosa, como las diferencias infinitesimales y las derivadas de funciones.

El término se utiliza en diversas ramas de las matemáticas, como el cálculo, la geometría diferencial, la geometría algebraica y la topología algebraica.

Introducción

El término diferencial se utiliza sin rigor en cálculo para referirse a un cambio infinitesimal ("infinitamente pequeño") en alguna cantidad variable. Por ejemplo, si x es una variable, entonces un cambio en el valor de x a menudo se denota como Δx (pronunciado delta x ). El diferencial dx representa un cambio infinitamente pequeño en la variable x. La idea de un cambio infinitamente pequeño o infinitamente lento es, intuitivamente, extremadamente útil, y hay varias maneras de hacer que la noción sea matemáticamente precisa.

Utilizando el cálculo, es posible relacionar matemáticamente los cambios infinitamente pequeños de varias variables entre sí utilizando derivadas. Si y es una función de x, entonces el diferencial dy de y está relacionado con dx por la fórmula

$${fnMicrosoft Sans Serif}$$

${displaystyle {frac {fnMicroc}},}$

Nociones básicas

• En cálculo, el diferencial representa un cambio en la linealización de una función.
  • El diferencial total es su generalización para funciones de múltiples variables.
• En los enfoques tradicionales del cálculo, los diferenciales (por ejemplo, dx, dy, ♪, etc.) se interpretan como infinitesimals. Hay varios métodos de definir los infinitesimal rigurosamente, pero es suficiente decir que un número infinitesimal es menor en valor absoluto que cualquier número real positivo, así como un número infinitamente grande es mayor que cualquier número real.
• El diferencial es otro nombre para la matriz Jacobiana de derivados parciales de una función de Rⁿ a R^m (especialmente cuando esta matriz es vista como un mapa lineal).
• Más generalmente, el diferencial o adelante se refiere a la derivación de un mapa entre los manifolds lisos y las operaciones pushforward que define. El diferencial también se utiliza para definir el doble concepto de retroceso.
• El cálculo estocástico proporciona una noción de diferencial estocástico y un cálculo asociado para los procesos estocásticos.
• El integrador en una integral Stieltjes está representado como el diferencial de una función. Formalmente, el diferencial que aparece bajo la integral se comporta exactamente como un diferencial: por lo tanto, la integración por sustitución e integración por partes fórmulas para Stieltjes integral corresponde, respectivamente, a la regla de cadena y regla de producto para el diferencial.

Histórico e uso

Quantidades infinitesimais desempenharam um papel significativo no desenvolvimento do cálculo. Arquimedes os utilizou, embora não acreditasse que argumentos envolvendo infinitesimais fossem rigorosos. Isaac Newton referiu-se a eles como fluxões. No entanto, foi Gottfried Leibniz quem cunhou o termo diferenciais para quantidades infinitesimais e introduziu a notação para elas que ainda é usada hoje.

Na notação de Leibniz, se x é uma quantidade variável, então dx denota uma mudança infinitesimal na variável x. Assim, se y é uma função de x, então a derivada de y em relação a x é frequentemente denotada dy/dx, que de outra forma seria denotado (na notação de Newton ou Lagrange) ẏ ou y< span class="nowrap" style="padding-left:0.15em;">′. O uso de diferenciais nesta forma atraiu muitas críticas, por exemplo, no famoso panfleto The Analyst, do Bispo Berkeley. No entanto, a notação permaneceu popular porque sugere fortemente a ideia de que a derivada de y em x é a sua taxa instantânea de mudança (a inclinação do gráfico linha tangente), que pode ser obtida tomando o limite da razão Δy/Δx quando Δx se torna arbitrariamente pequeno. Diferenciais também são compatíveis com análise dimensional, onde um diferencial como dx tem as mesmas dimensões que a variável x.

O cálculo evoluiu para um ramo distinto da matemática durante o século XVII d.C., embora existam antecedentes que remontam à antiguidade. As apresentações de, por exemplo, Newton, Leibniz, foram marcadas por definições não rigorosas de termos como diferencial, fluente e "infinitamente pequeno". Embora muitos dos argumentos em O Analista, de 1734, do Bispo Berkeley sejam de natureza teológica, os matemáticos modernos reconhecem a validade de seu argumento contra “os Fantasmas das Quantidades que partiram”; no entanto, as abordagens modernas não apresentam os mesmos problemas técnicos. Apesar da falta de rigor, imensos progressos foram feitos nos séculos XVII e XVIII. No século 19, Cauchy e outros desenvolveram gradualmente a abordagem Epsilon, delta para continuidade, limites e derivadas, dando uma base conceitual sólida para o cálculo.

No século 20, vários novos conceitos, por exemplo, cálculo multivariável, geometria diferencial, pareciam encapsular a intenção dos termos antigos, especialmente diferencial; tanto diferencial quanto infinitesimal são usados com significados novos e mais rigorosos.

Diferenciais também são usados na notação de integrais porque uma integral pode ser considerada como uma soma infinita de quantidades infinitesimais: a área sob um gráfico é obtida subdividindo o gráfico em faixas infinitamente finas e somando suas áreas. Numa expressão como

$${displaystyle int f(x),dx,}$$

Abordagens

Existem diversas abordagens para tornar a noção de diferenciais matematicamente precisa.

1. Diferencias como mapas lineales. Este enfoque subyace a la definición del derivado y el derivado exterior en geometría diferencial.
2. Diferencias como elementos nilpotentes de anillos conmutativos. Este enfoque es popular en la geometría algebraica.
3. Diferencias en modelos lisos de teoría de conjuntos. Este enfoque se conoce como geometría diferencial sintética o análisis infinitesimal liso y está estrechamente relacionado con el enfoque geométrico algebraico, excepto que las ideas de la teoría topos se utilizan para escondido los mecanismos por los cuales se introducen los infinitos nilpotentes.
4. Diferencias como infinitesimals en sistemas de números hiperreal, que son extensiones de los números reales que contienen infinitos invertibles y números infinitamente grandes. Este es el enfoque del análisis no estándar pionero por Abraham Robinson.

Estos enfoques son muy diferentes entre sí, pero tienen en común la idea de ser cuantitativos, es decir, decir no sólo que un diferencial es infinitamente pequeño, sino cómo pequeño que es.

Diferenciales como mapas lineales

Hay una manera sencilla de tener un sentido preciso de los diferenciales, primero utilizado en la línea Real por respecto a ellos como mapas lineales. Se puede utilizar en ${displaystyle mathbb {R}$, ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$, un espacio Hilbert, un espacio Banach, o más generalmente, un espacio vectorial topológico. El caso de la línea Real es el más fácil de explicar. Este tipo de diferencial también se conoce como vector covariante o cotangente, dependiendo del contexto.

Diferenciais como mapas lineares em R

Suppose ${displaystyle f(x)}$ es una función de valor real en ${displaystyle mathbb {R}$. Podemos reinterpretar la variable ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle f(x)}$ como una función más que un número, es decir, el mapa de identidad en la línea real, que toma un número real ${displaystyle p}$ a sí mismo: ${displaystyle x(p)=p}$. Entonces... ${displaystyle f(x)}$ es el compuesto de ${displaystyle f}$ con ${displaystyle x}$, cuyo valor ${displaystyle p}$ es ${displaystyle f(x(p)=f(p)}$. El diferencial ${displaystyle operatorname {d} f}$ (que por supuesto depende de ${displaystyle f}$) es entonces una función cuyo valor a ${displaystyle p}$ (normalmente denotado) ${displaystyle df_{p}$) no es un número, pero un mapa lineal de ${displaystyle mathbb {R}$ a ${displaystyle mathbb {R}$. Desde un mapa lineal desde ${displaystyle mathbb {R}$ a ${displaystyle mathbb {R}$ es dado por un ${displaystyle 1times 1}$ matriz, es esencialmente lo mismo que un número, pero el cambio en el punto de vista nos permite pensar en ${displaystyle df_{p}$ como infinitesimal y comparar con el estándar infinitesimal ${displaystyle dx_{p}$, que es sólo el mapa de identidad de ${displaystyle mathbb {R}$ a ${displaystyle mathbb {R}$ (a) ${displaystyle 1times 1}$ matriz con entrada ${displaystyle 1}$). El mapa de identidad tiene la propiedad que si ${displaystyle varepsilon }$ es muy pequeño, entonces ${displaystyle dx_{p}(varepsilon)}$ es muy pequeño, lo que nos permite considerarlo como infinitesimal. El diferencial ${displaystyle df_{p}$ tiene la misma propiedad, porque es sólo un múltiple de ${displaystyle dx_{p}$, y este múltiple es el derivado ${displaystyle f'(p)}$ por definición. Por lo tanto, obtenemos que ${displaystyle df_{p}=f'(p),dx_{p}$, y por lo tanto ${displaystyle df=f',dx}$. Así recuperamos la idea de que ${displaystyle f'}$ es la relación de los diferenciales ${displaystyle df}$ y ${displaystyle dx}$.

Esto sería sólo un truco si no fuera por el hecho de que:

1. captura la idea del derivado de ${displaystyle f}$ a ${displaystyle p}$ como mejor aproximación lineal a ${displaystyle f}$ a ${displaystyle p}$;
2. tiene muchas generalizaciones.

Diferenciales como aplicaciones lineales en Rn

Si ${displaystyle f}$ es una función ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ a ${displaystyle mathbb {R}$, entonces decimos eso ${displaystyle f}$ es diferentes a ${displaystyle pin mathbb {R} {fn}$ si hay un mapa lineal ${displaystyle df_{p}$ desde ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ a ${displaystyle mathbb {R}$ tal que para cualquier ${displaystyle varepsilon }$, hay un barrio ${displaystyle N}$ de ${displaystyle p}$ tal que ${displaystyle xin N}$,

$${displaystyle left WordPressf(x)-f(p)-df_{p}(x-p)right arrestadovarepsilon left habitx-pright perpetua.}$$

Ahora podemos usar el mismo truco que en el caso unidimensional y pensar en la expresión ${displaystyle f(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}}$ como el compuesto de ${displaystyle f}$ con las coordenadas estándar ${displaystyle x_{1},x_{2},ldotsx_{n}$ on ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ (así que ${displaystyle x_{j}(p)}$ es ${displaystyle j}$-to componente de ${displaystyle pin mathbb {R} {fn}$). Entonces las diferencias ${displaystyle left(dx_{1}right)_{p},left(dx_{2}right)_{p},ldotsleft(dx_{n}right)_{p}}$ en un momento ${displaystyle p}$ forma una base para el espacio vectorial de mapas lineales de ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ a ${displaystyle mathbb {R}$ y, por consiguiente, si ${displaystyle f}$ es diferente en ${displaystyle p}$Podemos escribir ${displaystyle operatorname {d} f_{p}$ como combinación lineal de estos elementos de base:

$${displaystyle D_{j}f(p),(dx_{j})_{p}$$

Los coeficientes ${displaystyle D_{j}f(p)}$ son (por definición) los derivados parciales de ${displaystyle f}$ a ${displaystyle p}$ con respecto a ${displaystyle x_{1},x_{2},ldotsx_{n}$. Por lo tanto, si ${displaystyle f}$ es diferente en todo ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$, podemos escribir, más concisamente:

$${displaystyle operatorname {d} f={frac {partial f}{partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ {partial f}{partial x_{2}},dx_{2}+cdots +{frac {partial f}{partial.$$

En el caso unidimensional esto se convierte en

$${displaystyle df={dx}dx}$$

Esta idea generaliza directamente las funciones desde ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ a ${displaystyle mathbb {R} {} {m}}$. Además, tiene la ventaja decisiva sobre otras definiciones del derivado que es invariante bajo cambios de coordenadas. Esto significa que la misma idea se puede utilizar para definir el diferencial de los mapas suaves entre los colectores suaves.

Aparte: Tenga en cuenta que la existencia de todos los derivados parciales de ${displaystyle f(x)}$ a ${displaystyle x}$ es una condición necesaria para la existencia de un diferencial en ${displaystyle x}$. Sin embargo, no es una condición suficiente. Para contraexamples, vea el derivado de Gateaux.

Diferenciales como aplicaciones lineales en un espacio vectorial

El mismo procedimiento funciona en un espacio vectorial con una estructura adicional suficiente para hablar razonablemente de continuidad. El caso más concreto es un espacio de Hilbert, también conocido como espacio de producto interior completo, donde el producto interior y su norma asociada definen un concepto adecuado de distancia. El mismo procedimiento funciona para un espacio de Banach, también conocido como espacio vectorial normado completo. Sin embargo, para un espacio vectorial topológico más general, algunos de los detalles son más abstractos porque no existe el concepto de distancia.

Para el caso importante de una dimensión finita, cualquier espacio interior de producto es un espacio Hilbert, cualquier espacio vectorial normal es un espacio de Banach y cualquier espacio vectorial topológico está completo. Como resultado, puede definir un sistema de coordenadas desde una base arbitraria y utilizar la misma técnica que para ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$.

Diferenciales como gérmenes de funciones

Este enfoque funciona en cualquier variedad diferenciable. Si

1. U y V son conjuntos abiertos que contienen p
2. ${displaystyle fcolon Uto mathbb {R}$ es continuo
3. ${displaystyle gcolon Vto mathbb {R}$ es continuo

entonces f equivale a g a p, denotado ${displaystyle fsim _{p}g}$, si y sólo si hay un abierto ${displaystyle Wsubseteq Ucap V}$ que contiene p tales que ${displaystyle f(x)=g(x)}$ para todos x dentro W. El germen de f a p, denotado ${displaystyle [f]_{p}$, es el conjunto de todas las funciones continuas reales equivalentes a f a p; si f es suave p entonces ${displaystyle [f]_{p}$ es un gérmen suave. Si

1. ${displaystyle U_{1}$, ${displaystyle U_{2}$ ${displaystyle V_{1}$ y ${displaystyle V_{2}$ son conjuntos abiertos que contienen p
2. ${displaystyle f_{1}colon U_{1}to mathbb {R}$, ${displaystyle f_{2}colon U_{2}to mathbb {R}$, ${displaystyle g_{1}colon V_{1}to mathbb {R}$ y ${displaystyle G_{2}colon V_{2}to mathbb {R}$ son funciones suaves
3. ${displaystyle f_{1}sim} ¿Qué?$
4. ${displaystyle f_{2}sim _{p}g_{2}$
5. r es un número real

entonces

1. ${displaystyle r*f_{1}sim ¿Qué?$
2. ${displaystyle f_{1}+f_{2}colon U_{1}cap U_{2}to mathbb {R} sim _{1}+g_{2}colon V_{1}cap V_{2}to mathbb {R}$
3. ${displaystyle f_{1}*f_{2}colon U_{1}cap U_{2}to mathbb {R} sim ¿Por qué? {R}$

Esto muestra que los gérmenes en p forman un álgebra.

Define ${fnMicrosoft Sans Serif}$ para ser el conjunto de todos los gérmenes lisos que desaparecen p y ${fnMicrosoft Sans Serif}$ para ser el producto de ideales ${fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {I}_{p}$. Entonces un diferencial en p (cotangente vector en p) es un elemento de ${displaystyle {fnMitcal {fnh} {fnMitcal} {fnMitcal} {cHFF} {fnK} {f}} {fnh} {fnMitcal} {f}}} {fnMitcal} {f}}}}} {\fnMitHFF} {I}_{2}}$. El diferencial de una función lisa f a p, denotado ${displaystyle mathrm {d} f_{p}$, es ${displaystyle [f-f(p)]_{p}/{mathcal {I}_{2}}$.

Un enfoque similar es definir equivalencia diferencial de primer orden en términos de derivados en un parche arbitrario de coordenadas. Entonces la diferenciación f a p es el conjunto de todas las funciones diferentemente equivalente a ${displaystyle f-f(p)}$ a p.

Geometría algebraica

En geometría algebraica, los diferenciales y otras nociones infinitesimales se manejan de una manera muy explícita al aceptar que el anillo de coordenadas o el haz de estructura de un espacio puede contener elementos nilpotentes. El ejemplo más simple es el anillo de números duales R[ε], donde ε² = 0.

Esto puede estar motivado por el punto de vista álgebro-geométrico sobre la derivada de una función f de R a R en un punto p. Para esto, observe primero que f − f(p) pertenece al ideal I_p de funciones en R que desaparecen en p. Si la derivada f desaparece en p, entonces f − f(p) pertenece al cuadrado I_p² de este ideal. Por lo tanto, la derivada de f en p puede ser capturada por la clase de equivalencia [f − f( p)] en el espacio cociente I_p/I_p ², y el 1-jet de f (que codifica su valor y su primera derivada) es la clase de equivalencia de f en el espacio de todas las funciones módulo I_p². Los geómetras algebraicos consideran esta clase de equivalencia como la restricción de f a una versión engrosada del punto p cuyo anillo de coordenadas no es R (que es el espacio cociente de funciones en R módulo I_p) pero R[ε] que es el espacio cociente de funciones en R módulo I_{< i>p}². Un punto tan engrosado es un ejemplo sencillo de esquema.

Nociones de geometría algebraica

Los diferenciales también son importantes en geometría algebraica y existen varias nociones importantes.

• Los diferenciales abelianos usualmente significan formas diferenciales en una curva algebraica o superficie Riemann.
• Los diferenciales cuadráticos (que se comportan como "squares" de diferenciales abelianos) también son importantes en la teoría de las superficies Riemann.
• Los diferenciales Kähler proporcionan una noción general de diferencial en geometría algebraica.

Geometría diferencial sintética

Un quinto enfoque para los infinitesimales es el método de geometría diferencial sintética o análisis infinitesimal suave. Esto está estrechamente relacionado con el enfoque algebraico-geométrico, excepto que los infinitesimales son más implícitos e intuitivos. La idea principal de este enfoque es reemplazar la categoría de conjuntos con otra categoría de conjuntos que varían suavemente que es un topos. En esta categoría, se pueden definir los números reales, funciones suaves, etc., pero los números reales automáticamente contienen infinitesimales nilpotentes, por lo que no es necesario introducirlos a mano como en el enfoque geométrico algebraico.. Sin embargo, la lógica de esta nueva categoría no es idéntica a la lógica familiar de la categoría de conjuntos: en particular, la ley del tercero excluido no se cumple. Esto significa que los argumentos matemáticos de la teoría de conjuntos sólo se extienden al análisis infinitesimal fluido si son constructivo (por ejemplo, no utilizan prueba por contradicción). Algunos ven esta desventaja como algo positivo, ya que obliga a encontrar argumentos constructivos dondequiera que estén disponibles.

Análisis no estándar

La aproximación final a los infinitesimales implica nuevamente extender los números reales, pero de una manera menos drástica. En el enfoque del análisis no estándar no hay infinitesimales nilpotentes, sólo invertibles, que pueden verse como recíprocos de números infinitamente grandes. Tales extensiones de los números reales pueden construirse explícitamente utilizando clases de equivalencia de secuencias de números reales, de modo que, por ejemplo, la secuencia (1, 1/2, 1/3,..., 1/n,...) representa un infinitesimal. La lógica de primer orden de este nuevo conjunto de números hiperreales es la misma que la lógica de los números reales habituales, pero el axioma de completitud (que implica la lógica de segundo orden) no se cumple. Sin embargo, esto es suficiente para desarrollar un enfoque elemental y bastante intuitivo del cálculo utilizando infinitesimales, ver principio de transferencia.

Geometría diferencial

La noción de diferencial motiva varios conceptos en geometría diferencial (y topología diferencial).

• El diferencial (Pushforward) de un mapa entre múltiples.
• Las formas diferenciales proporcionan un marco que acomoda la multiplicación y diferenciación de los diferenciales.
• El derivado exterior es una noción de diferenciación de formas diferenciales que generaliza el diferencial de una función (que es una forma diferencial 1).
• Pullback es, en particular, un nombre geométrico para la regla de cadena para componer un mapa entre los manifolds con una forma diferencial en el manifold objetivo.
• Los derivados o diferenciales covariantes proporcionan una noción general para diferenciar los campos vectoriales y los campos de tensor en un múltiple, o, más generalmente, secciones de un paquete vectorial: vea Connection (paquete vencedor). Esto conduce en última instancia al concepto general de una conexión.

Otros significados

El término diferencial ha sido adoptado también en álgebra homológica y topología algebraica, debido al papel que juega el derivado exterior en la cohomología de Rham: en un complejo de cochain ${displaystyle (C_{bullet },d_{bullet }),}$ los mapas (o operadores coboundary) d_i a menudo se llaman diferenciales. Dually, los operadores de límites en un complejo de cadena a veces se llaman codiferencials.

Las propiedades del diferencial también motivan las nociones algebraicas de derivación y álgebra diferencial.