Desigualdad de Minkowski

En el análisis matemático, el Inequidad de Minkowski establece que los espacios Lp son espacios vectoriales ordenados. Vamos S{displaystyle S. ser un espacio de medida, <math alttext="{displaystyle 1leq p1≤ ≤ p.JUEGO JUEGO {displaystyle 1leq p buscadoinfty}<img alt="1 leq p y dejar f{displaystyle f} y g{displaystyle g} ser elementos de Lp()S).{displaystyle L^{p}(S)} Entonces... f+g{displaystyle f+g} está dentro Lp()S),{displaystyle L^{p}(S),} y tenemos la desigualdad del triángulo

.. f+g.. p≤ ≤ .. f.. p+.. g.. p{displaystylef+gf}p}leq "Principio"

f{displaystyle f}

g{displaystyle g}

f=λ λ g{displaystyle f=lambda g}

λ λ ≥ ≥ 0{displaystyle lambda geq 0}

g=0.{displaystyle g=0.}

.. f.. p=()∫ ∫ SilenciofSilenciopdμ μ )1p{displaystyle Toddfff}p}=left(int Новывывываных)^{frac] {1}{p}}

p=JUEGO JUEGO {displaystyle p=infty}

.. f.. JUEGO JUEGO =esssupx▪ ▪ S⁡ ⁡ Silenciof()x)Silencio.{displaystyle tup} _{xin S}Principalmente.

La desigualdad de Minkowski es la desigualdad del triángulo Lp()S).{displaystyle L^{p}(S)} De hecho, es un caso especial del hecho más general

.. f.. p=Sup.. g.. q=1∫ ∫ SilenciofgSilenciodμ μ ,1p+1q=1{displaystyle "Perfecto" ##### ########################################################################################################################################################################################################################################################### {1}{}+{tfrac {1}{q}=1}

Al igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especializar en secuencias y vectores usando la medida de conteo:

().. k=1nSilencioxk+Sí.kSilenciop)1/p≤ ≤ ().. k=1nSilencioxkSilenciop)1/p+().. k=1nSilencioSí.kSilenciop)1/p{displaystyle {biggl}sum ¿Por qué? {biggl}sum ¿Por qué?

x1,...... ,xn,Sí.1,...... ,Sí.n{displaystyle x_{1},dotsx_{n},y_{1},dotsy_{n}

n{displaystyle n}

S{displaystyle S.

S{displaystyle S.

La desigualdad lleva el nombre del matemático alemán Hermann Minkowski.

Prueba

Primero, demostramos que f+g{displaystyle f+g} ha finito p{displaystyle p}-norm si f{displaystyle f} y g{displaystyle g} ambos, que siguen

Silenciof+gSilenciop≤ ≤ 2p− − 1()SilenciofSilenciop+SilenciogSilenciop).{displaystyle Silenciof+g WordPress^{p}leq 2^{p-1}(Principalmente, }

h()x)=SilencioxSilenciop{displaystyle h(x)=fortx impermeable{p}

R+{displaystyle mathbb {R}

1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p■1{displaystyle p título1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f127e7a5f2449ddf3edb8164c2d2439120641f9" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;"/>

Silencio12f+12gSilenciop≤ ≤ Silencio12SilenciofSilencio+12SilenciogSilencioSilenciop≤ ≤ 12SilenciofSilenciop+12SilenciogSilenciop.{displaystyle lefttención{tfrac {1}{2}f+{tfrac {1}{2}gright WordPress^{p}leq left durable{tfrac {1}{2} {1}{2} {fnMicroc {cHFF}Principi} {1}{2} sobrevivir

Silenciof+gSilenciop≤ ≤ 12Silencio2fSilenciop+12Silencio2gSilenciop=2p− − 1SilenciofSilenciop+2p− − 1SilenciogSilenciop.{displaystyle ¦f+g WordPress^{p}leq {tfrac {1}{2} {1}{2}2^{p}=2^{p-1}Sobrevivir_=2^{p-1}

Ahora, podemos hablar legítimamente de .. f+g.. p.{displaystyle {f+gf} Si es cero, entonces la desigualdad de Minkowski sostiene. Ahora suponemos que .. f+g.. p{displaystylef+gf} no es cero. Usando la desigualdad del triángulo y luego la desigualdad de Hölder, encontramos que

.. f+g.. pp=∫ ∫ Silenciof+gSilenciopdμ μ =∫ ∫ Silenciof+gSilencio⋅ ⋅ Silenciof+gSilenciop− − 1dμ μ ≤ ≤ ∫ ∫ ()SilenciofSilencio+SilenciogSilencio)Silenciof+gSilenciop− − 1dμ μ =∫ ∫ SilenciofSilencioSilenciof+gSilenciop− − 1dμ μ +∫ ∫ SilenciogSilencioSilenciof+gSilenciop− − 1dμ μ ≤ ≤ ()()∫ ∫ SilenciofSilenciopdμ μ )1p+()∫ ∫ SilenciogSilenciopdμ μ )1p)()∫ ∫ Silenciof+gSilencio()p− − 1)()pp− − 1)dμ μ )1− − 1pLa desigualdad de Hölder=().. f.. p+.. g.. p).. f+g.. pp.. f+g.. p{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} mu right)^{frac {1}{p}right)left(int peruf+g sometida^{(p-1)left({frac {p}{p-1}right)},mathrm {d} mu right)^{1-{frac {1} {p}}}} {text{text{ Hölder's inequality}}\=left(ff turba_{p}+ perpetuag _{p}right){frac} {f+gf}f}f}f}f}f}end{aligned}}

Obtenemos la desigualdad de Minkowski multiplicando ambos lados por

.. f+g.. p.. f+g.. pp.{displaystyle {frac {f}{f+g}{f+gf}}} {f}}}}}

Desigualdad integral de Minkowski

Supongamos que ()S1,μ μ 1){displaystyle (S_{1},mu _{1})} y ()S2,μ μ 2){displaystyle (S_{2},mu _{2}} son dos espacios de medida σ-finite y F:S1× × S2→ → R{displaystyle F:S_{1}times S_{2}to mathbb {R} es mensurable. Entonces la desigualdad integral de Minkowski es (Stein 1970, §A.1), (Hardy, Littlewood ' Pólya 1988, Theorem 202):

[∫ ∫ S2Silencio∫ ∫ S1F()x,Sí.)μ μ 1()dx)Silenciopμ μ 2()dSí.)]1p≤ ≤ ∫ ∫ S1()∫ ∫ S2SilencioF()x,Sí.)Silenciopμ μ 2()dSí.))1pμ μ 1()dx),{displaystyle left[int] ¿Por qué? _{S_{1}F(x,y),mu _{1}(mathrm {d} x)right WordPress^{p}mu _{2}(mathrm {d} y)right] {1}{p}~leq ~ ¿Qué? ¿Por qué?

p=JUEGO JUEGO .{displaystyle p=infty.}

1,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p■1,{displaystyle p título1,}1,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b18ad57c656bab68c7bd45e2bf4596d09de7c0a" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.167ex; height:2.509ex;"/>

SilencioF()x,Sí.)Silencio=φ φ ()x)↑ ↑ ()Sí.){displaystyle SilencioF(x,y)

φ φ {displaystyle varphi }

↑ ↑ .{displaystyle psi.}

Si μ μ 1{displaystyle mu _{1}} es la medida contable en un conjunto de dos puntos S1={}1,2},{displaystyle S_{1}={1,2} entonces la desigualdad integral de Minkowski da la desigualdad habitual de Minkowski como un caso especial: para poner fi()Sí.)=F()i,Sí.){displaystyle f_{i}(y)=F(i,y)} para i=1,2,{displaystyle i=1,2,2)} la desigualdad integral

.. f1+f2.. p=()∫ ∫ S2Silencio∫ ∫ S1F()x,Sí.)μ μ 1()dx)Silenciopμ μ 2()dSí.))1p≤ ≤ ∫ ∫ S1()∫ ∫ S2SilencioF()x,Sí.)Silenciopμ μ 2()dSí.))1pμ μ 1()dx)=.. f1.. p+.. f2.. p.{displaystyle {f}f}f_{2}f}p}=left(int ¿Por qué? _{S_{1}F(x,y),mu _{1}(mathrm {d} x)right WordPress^{p}mu _{2}(mathrm {d} y)right)^{frac {1}{p}leq int ¿Qué? _{2}(mathrm {d} y)right)^{p}mu _{1}(mathrm {d} y)right)^{frac {1}{p}mu _{1}(mathrm {d} x)=f_{1}f}\p}+f_{2}\_{p}}}}\\p}}}}\\p}}\p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}cH00}p}p}p}p}p}p}cH00p}p}p}p}p}p}p}cH

Si la función medible F:S1× × S2→ → R{displaystyle F:S_{1}times S_{2}to mathbb {R} es no negativo entonces para todos 1≤ ≤ p≤ ≤ q≤ ≤ JUEGO JUEGO ,{displaystyle 1leq pleq qleqinfty}

..F()⋅ ⋅ ,s2).Lp()S1,μ μ 1).Lq()S2,μ μ 2)≤ ≤ ..F()s1,⋅ ⋅ ).Lq()S2,μ μ 2).Lp()S1,μ μ 1).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

Esta notación se ha generalizado a

.. f.. p,q=()∫ ∫ Rm[∫ ∫ RnSilenciof()x,Sí.)SilencioqdSí.]pqdx)1p{displaystyleffffnh00_{p,q}=left(int _{mthbb [R] ^{m}left[int] [R] ^{n} Sobrevivirf(x,y) {p} {q}mathrm {d} xright) {1}{p}}

f:Rm+n→ → E,{displaystyle f:mathbb {R} {m+n}to E,}

.. f.. q,p≤ ≤ .. f.. p,q.{displaystyle bendiciones para la vida_{q,p}leq sobre la vida_{p,q}

Desigualdad inversa

Cuando <math alttext="{displaystyle pp.1{displaystyle p won1}<img alt="{displaystyle p la inversa desigualdad sostiene:

.. f+g.. p≥ ≥ .. f.. p+.. g.. p.{displaystylef+gf}p}gq "Principio"

Necesitamos además la restricción de ambos f{displaystyle f} y g{displaystyle g} no negativo, como podemos ver en el ejemplo f=− − 1,g=1{displaystyle f=-1,g=1} y p=1:{displaystyle p=1:} <math alttext="{displaystyle |f+g|_{1}=0.. f+g.. 1=0.2=.. f.. 1+.. g.. 1.{displaystyle prehensif+ghn_{1}=0 obtenidos2=fffffn_00_00_00_009.}<img alt="{displaystyle |f+g|_{1}=0

La desigualdad inversa se deriva del mismo argumento que el estándar de Minkowski, pero utiliza que la desigualdad de Holder también se invierte en este rango.

Usando el Inverso Minkowski, podemos probar que el poder significa con p≤ ≤ 1,{displaystyle pleq 1,} como el Significado Armónico y el Significado Geométrico son concave.

Generalizaciones a otras funciones

La desigualdad de Minkowski se puede generalizar a otras funciones φ φ ()x){displaystyle phi (x)} más allá de la función de potencia xp.{displaystyle x^{p} La desigualdad generalizada tiene la forma

φ φ − − 1().. i=1nφ φ ()xi+Sí.i))≤ ≤ φ φ − − 1().. i=1nφ φ ()xi))+φ φ − − 1().. i=1nφ φ ()Sí.i)).{displaystyle phi ^{-1}left(textstyle sum limits ¿Por qué? _{i=1}phi (x_{i})right)+phi ^{-1}left(textstyle sum limits ¿Qué? }

Diversas condiciones suficientes φ φ {displaystyle phi } han sido encontrados por Mulholland y otros. Por ejemplo, x≥ ≥ 0{displaystyle xgeq 0} un conjunto de condiciones suficientes de Mulholland es

1. φ φ ()x){displaystyle phi (x)} es continuo y aumenta estrictamente con φ φ ()0)=0.{displaystyle phi (0)=0.}
2. φ φ ()x){displaystyle phi (x)} es una función convexa de x.{displaystyle x.}
3. log⁡ ⁡ φ φ ()x){displaystyle log phi (x)} es una función convexa de log⁡ ⁡ ()x).{displaystyle log(x). }