Desigualdad de Minkowski

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Inequality that established Los espacios lp son espacios vectoriales ordenados

En el análisis matemático, el Inequidad de Minkowski establece que los espacios Lp son espacios vectoriales ordenados. Vamos $S$ ser un espacio de medida, $<math alttext="{displaystyle 1leq p1\leq \leq p.JUEGO JUEGO {displaystyle 1leq p buscadoinfty} <img alt="1 leq p$ y dejar $f$ y $g$ ser elementos de ${displaystyle L^{p}(S).}$ Entonces... $f + g$ está dentro ${displaystyle L^{p}(S),}$ y tenemos la desigualdad del triángulo

{displaystyle |f+g|_{p}leq |f|_{p}+|g|_{p}}

<math alttext="{displaystyle 1<p1.p.JUEGO JUEGO {displaystyle 1 seccionó] <img alt="1 < p

f

g

{displaystyle f=lambda g}

lambda geq 0

{displaystyle g=0.}

{displaystyle |f|_{p}=left(int |f|^{p}dmu right)^{frac {1}{p}}}

<math alttext="{displaystyle pp.JUEGO JUEGO ,{displaystyle p madeinfty} <img alt="{displaystyle p

{displaystyle p=infty }

{displaystyle |f|_{infty }=operatorname {ess sup} _{xin S}|f(x)|.}

La desigualdad de Minkowski es la desigualdad del triángulo ${displaystyle L^{p}(S).}$ De hecho, es un caso especial del hecho más general

{displaystyle |f|_{p}=sup _{|g|_{q}=1}int |fg|dmuqquad {tfrac {1}{p}}+{tfrac {1}{q}}=1}

Al igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especializar en secuencias y vectores usando la medida de conteo:

{displaystyle {biggl (}sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{biggr)}^{1/p}leq {biggl (}sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{biggr)}^{1/p}+{biggl (}sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}{biggr)}^{1/p}}

x_1, dots, x_n, y_1, dots, y_n

n

S

S

La desigualdad lleva el nombre del matemático alemán Hermann Minkowski.

Prueba

Primero, demostramos que $f + g$ ha finito $p$ -norm si $f$ y $g$ ambos, que siguen

{displaystyle |f+g|^{p}leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}

{displaystyle h(x)=|x|^{p}}

{displaystyle mathbb {R} ^{+}}

1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p■1{displaystyle p título1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f127e7a5f2449ddf3edb8164c2d2439120641f9" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;"/>

{displaystyle left|{tfrac {1}{2}}f+{tfrac {1}{2}}gright|^{p}leq left|{tfrac {1}{2}}|f|+{tfrac {1}{2}}|g|right|^{p}leq {tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{tfrac {1}{2}}|g|^{p}.}

{displaystyle |f+g|^{p}leq {tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}

Ahora, podemos hablar legítimamente de ${displaystyle |f+g|_{p}.}$ Si es cero, entonces la desigualdad de Minkowski sostiene. Ahora suponemos que ${displaystyle |f+g|_{p}}$ no es cero. Usando la desigualdad del triángulo y luego la desigualdad de Hölder, encontramos que

{displaystyle {begin{aligned}|f+g|_{p}^{p}&=int |f+g|^{p},mathrm {d} mu \&=int |f+g|cdot |f+g|^{p-1},mathrm {d} mu \&leq int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1},mathrm {d} mu \&=int |f||f+g|^{p-1},mathrm {d} mu +int |g||f+g|^{p-1},mathrm {d} mu \&leq left(left(int |f|^{p},mathrm {d} mu right)^{frac {1}{p}}+left(int |g|^{p},mathrm {d} mu right)^{frac {1}{p}}right)left(int |f+g|^{(p-1)left({frac {p}{p-1}}right)},mathrm {d} mu right)^{1-{frac {1}{p}}}&&{text{ Hölder's inequality}}\&=left(|f|_{p}+|g|_{p}right){frac {|f+g|_{p}^{p}}{|f+g|_{p}}}end{aligned}}}

Obtenemos la desigualdad de Minkowski multiplicando ambos lados por

{displaystyle {frac {|f+g|_{p}}{|f+g|_{p}^{p}}}.}

Desigualdad integral de Minkowski

Supongamos que ${displaystyle (S_{1},mu _{1})}$ y ${displaystyle (S_{2},mu _{2})}$ son dos espacios de medida σ-finite y ${displaystyle F:S_{1}times S_{2}to mathbb {R} }$ es mensurable. Entonces la desigualdad integral de Minkowski es (Stein 1970, §A.1), (Hardy, Littlewood ' Pólya 1988, Theorem 202):

{displaystyle left[int _{S_{2}}left|int _{S_{1}}F(x,y),mu _{1}(mathrm {d} x)right|^{p}mu _{2}(mathrm {d} y)right]^{frac {1}{p}}~leq ~int _{S_{1}}left(int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p},mu _{2}(mathrm {d} y)right)^{frac {1}{p}}mu _{1}(mathrm {d} x),}

{displaystyle p=infty.}

1,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p■1,{displaystyle p título1,}1,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b18ad57c656bab68c7bd45e2bf4596d09de7c0a" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.167ex; height:2.509ex;"/>

{displaystyle |F(x,y)|=varphi (x),psi (y)}

varphi

psi.

Si $mu _{1}$ es la medida contable en un conjunto de dos puntos ${displaystyle S_{1}={1,2},}$ entonces la desigualdad integral de Minkowski da la desigualdad habitual de Minkowski como un caso especial: para poner ${displaystyle f_{i}(y)=F(i,y)}$ para ${displaystyle i=1,2,}$ la desigualdad integral

{displaystyle |f_{1}+f_{2}|_{p}=left(int _{S_{2}}left|int _{S_{1}}F(x,y),mu _{1}(mathrm {d} x)right|^{p}mu _{2}(mathrm {d} y)right)^{frac {1}{p}}leq int _{S_{1}}left(int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p},mu _{2}(mathrm {d} y)right)^{frac {1}{p}}mu _{1}(mathrm {d} x)=|f_{1}|_{p}+|f_{2}|_{p}.}

Si la función medible ${displaystyle F:S_{1}times S_{2}to mathbb {R} }$ es no negativo entonces para todos ${displaystyle 1leq pleq qleq infty}$

{displaystyle left|left|F(,cdots_{2})right|_{L^{p}(S_{1},mu _{1})}right|_{L^{q}(S_{2},mu _{2})}~leq ~left|left|F(s_{1},cdot)right|_{L^{q}(S_{2},mu _{2})}right|_{L^{p}(S_{1},mu _{1})}.}

Esta notación se ha generalizado a

{displaystyle |f|_{p,q}=left(int _{mathbb {R} ^{m}}left[int _{mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}mathrm {d} yright]^{frac {p}{q}}mathrm {d} xright)^{frac {1}{p}}}

{displaystyle f:mathbb {R} ^{m+n}to E,}

<math alttext="{displaystyle {mathcal {L}}_{p,q}(mathbb {R} ^{m+n},E)={fin E^{mathbb {R} ^{m+n}}:|f|_{p,q}Lp,q()Rm+n,E)={}f▪ ▪ ERm+n:.. f.. p,q.JUEGO JUEGO }.{fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {R} {m+n},E)={fin E^{Mathbb {R} {m+n}:fffffnh00_{p,q}Seleccionadoinfty}.}<img alt="{displaystyle {mathcal {L}}_{p,q}(mathbb {R} ^{m+n},E)={fin E^{mathbb {R} ^{m+n}}:|f|_{p,q}

<math alttext="{displaystyle p p.q,{displaystyle p madeq,} <img alt="{displaystyle p

{displaystyle |f|_{q,p}leq |f|_{p,q}.}

Desigualdad inversa

Cuando $<math alttext="{displaystyle pp.1{displaystyle p won1} <img alt="{displaystyle p$ la inversa desigualdad sostiene:

{displaystyle |f+g|_{p}geq |f|_{p}+|g|_{p}.}

Necesitamos además la restricción de ambos $f$ y $g$ no negativo, como podemos ver en el ejemplo ${displaystyle f=-1,g=1}$ y ${displaystyle p=1:}$ $<math alttext="{displaystyle |f+g|_{1}=0.. f+g.. 1=0.2=.. f.. 1+.. g.. 1.{displaystyle prehensif+ghn_{1}=0 obtenidos2=fffffn_00_00_00_009.}<img alt="{displaystyle |f+g|_{1}=0$

La desigualdad inversa se deriva del mismo argumento que el estándar de Minkowski, pero utiliza que la desigualdad de Holder también se invierte en este rango.

Usando el Inverso Minkowski, podemos probar que el poder significa con ${displaystyle pleq 1,}$ como el Significado Armónico y el Significado Geométrico son concave.

Generalizaciones a otras funciones

La desigualdad de Minkowski se puede generalizar a otras funciones $phi (x)$ más allá de la función de potencia ${displaystyle x^{p}.}$ La desigualdad generalizada tiene la forma

{displaystyle phi ^{-1}left(textstyle sum limits _{i=1}^{n}phi (x_{i}+y_{i})right)leq phi ^{-1}left(textstyle sum limits _{i=1}^{n}phi (x_{i})right)+phi ^{-1}left(textstyle sum limits _{i=1}^{n}phi (y_{i})right).}

Diversas condiciones suficientes $phi$ han sido encontrados por Mulholland y otros. Por ejemplo, $xgeq 0$ un conjunto de condiciones suficientes de Mulholland es

$phi (x)$ es continuo y aumenta estrictamente con ${displaystyle phi (0)=0.}$
$phi (x)$ es una función convexa de $x.$
${displaystyle log phi (x)}$ es una función convexa de $log(x).$

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