Derivado de gateaux

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Generalización del concepto de derivación direccional

En matemáticas, el diferencial de Gateaux o derivado de Gateaux es una generalización del concepto de derivada direccional en cálculo diferencial. Nombrado en honor a René Gateaux, se define para funciones entre espacios vectoriales topológicos localmente convexos como los espacios de Banach. Al igual que la derivada de Fréchet en un espacio de Banach, el diferencial de Gateaux se utiliza a menudo para formalizar la derivada funcional comúnmente utilizada en el cálculo de variaciones y la física.

A diferencia de otras formas de derivadas, el diferencial Gateaux de una función puede ser no lineal. Sin embargo, a menudo la definición del diferencial Gateaux también requiere que sea una transformación lineal continua. Algunos autores, como Tikhomirov (2001), establecen una distinción adicional entre el diferencial Gateaux (que puede ser no lineal) y la derivada Gateaux (que consideran lineal). En la mayoría de las aplicaciones, la linealidad continua se deriva de alguna condición más primitiva que es natural para el entorno particular, como imponer una diferenciabilidad compleja en el contexto de una holomorfía de dimensión infinita o una diferenciabilidad continua en un análisis no lineal.

Definición

Suppose ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ son espacios vectoriales topológicos locales convexos (por ejemplo, espacios banach), ${displaystyle Usubseteq X}$ está abierto, y ${displaystyle F:Uto Y.}$ El diferencial de Gateaux ${displaystyle dF(u;psi)}$ de ${displaystyle F}$ a ${displaystyle uin U}$ en la dirección ${displaystyle psi in X}$ se define como

{displaystyle dF(u;psi)=lim _{tau to 0}{frac {F(u+tau psi)-F(u)}{tau }}=left.{frac {d}{dtau }}F(u+tau psi)right|_{tau =0}}

()1)

Si el límite existe para todos ${displaystyle psi in X,}$ entonces uno dice que ${displaystyle F}$ es Gateaux diferente a ${displaystyle u.}$

El límite aparece en (1) se toma en relación con la topología de ${displaystyle Y.}$ Si ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ son verdaderos espacios vectoriales topológicos, entonces el límite se toma para real ${displaystyle tau.}$ Por otro lado, si ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ son complejos espacios vectoriales topológicos, entonces el límite arriba se toma como ${displaystyle tau to 0}$ en el plano complejo como en la definición de diferenciabilidad compleja. En algunos casos, se toma un límite débil en lugar de un límite fuerte, que conduce a la noción de un derivado débil de Gateaux.

Linealidad y continuidad

En cada punto ${displaystyle uin U,}$ el diferencial Gateaux define una función

{displaystyle dF(u;cdot):Xto Y.}

Esta función es homogénea en el sentido de que para todos los escalares ${displaystyle alpha}$

{displaystyle dF(u;alpha psi)=alpha dF(u;psi).,}

Sin embargo, esta función no necesita ser aditiva, por lo que el diferencial de Gateaux puede dejar de ser lineal, a diferencia del derivado de Fréchet. Incluso si es lineal, puede no depender continuamente de ${displaystyle psi }$ si ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ son infinitas dimensiones. Además, para los diferenciales de Gateaux que son lineal y continua en ${displaystyle psi}$ hay varias maneras inequivalentes de formular su diferenciabilidad continua.

Por ejemplo, considere la función de valor real ${displaystyle F}$ de dos variables reales definidas

{displaystyle F(x,y)={begin{cases}{dfrac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&{text{if }}(x,y)neq (0,0),\0&{text{if }}(x,y)=(0,0).end{cases}}}

{displaystyle (0,0)}

{displaystyle dF(0,0;a,b)={begin{cases}{dfrac {F(tau a,tau b)-0}{tau }}&(a,b)neq (0,0),\0&(a,b)=(0,0)end{cases}}={begin{cases}{dfrac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)neq (0,0),\0&(a,b)=(0,0).end{cases}}}

{displaystyle (a,b).}

{displaystyle X}

{displaystyle 0}

Relación con la derivada de Fréchet

Si ${displaystyle F}$ es Fréchet diferente, entonces es también Gateaux diferenciable, y sus derivados Fréchet y Gateaux están de acuerdo. El contrario no es cierto, ya que el derivado de Gateaux puede no ser lineal o continuo. De hecho, es posible que el derivado de Gateaux sea lineal y continuo, pero para que el derivado de Fréchet no exista.

Sin embargo, para funciones ${displaystyle F}$ de una complejo Banach space ${displaystyle X}$ a otro complejo espacio Banach ${displaystyle Y,}$ el derivado de Gateaux (donde el límite se toma sobre complejo ${displaystyle tau }$ Tener a cero como en la definición de diferenciabilidad compleja) es automáticamente lineal, un teorema de Zorn (1945). Además, si ${displaystyle F}$ es (complejo) Gateaux diferenciable en cada ${displaystyle uin U}$ con derivados

{displaystyle DF(u)colon psi mapsto dF(u;psi)}

{displaystyle F}

{displaystyle U}

{displaystyle DF}

Diferenciabilidad continua

La diferenciabilidad continua de Gateaux puede definirse de dos maneras inequivalentes. Supongamos que ${displaystyle Fcolon Uto Y}$ es Gateaux diferente en cada punto del conjunto abierto ${displaystyle U.}$ Una noción de diferenciabilidad continua ${displaystyle U}$ requiere que la asignación del espacio de productos

{displaystyle dFcolon Utimes Xto Y}

{displaystyle X}

{displaystyle Y}

{displaystyle dF(u;cdot)}

{displaystyle u}

Una noción más sólida de diferenciabilidad continua requiere que

{displaystyle umapsto DF(u)}

{displaystyle Uto L(X,Y)}

{displaystyle U}

{displaystyle X}

{displaystyle Y.}

{displaystyle DF(u).}

Como cuestión de conveniencia técnica, esta última noción de diferenciabilidad continua es típica (pero no universal) cuando los espacios ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ son Banach, desde ${displaystyle L(X,Y)}$ es también Banach y los resultados estándar del análisis funcional pueden ser empleados. El primero es la definición más común en áreas de análisis no lineal donde los espacios de función implicados no son necesariamente espacios de Banach. Por ejemplo, la diferenciación en los espacios Fréchet tiene aplicaciones como el teorema de función inversa Nash-Moser en el que los espacios de función de interés a menudo consisten en funciones suaves en un múltiple.

Derivados superiores

Mientras que los derivados Fréchet de orden superior se definen naturalmente como funciones multilineales por la iteración, utilizando los isomorfismos ${displaystyle L^{n}(X,Y)=L(X,L^{n-1}(X,Y)),}$ superior orden Gateaux derivativo no se puede definir de esta manera. En lugar de eso ${displaystyle n}$ th order Gateaux derivativo de una función ${displaystyle F:Usubseteq Xto Y}$ en la dirección ${displaystyle h}$ se define por

{displaystyle d^{n}F(u;h)=left.{frac {d^{n}}{dtau ^{n}}}F(u+tau h)right|_{tau =0}.}

()2)

En lugar de una función multilineal, esta es en cambio una función homogénea de grado ${displaystyle n}$ dentro ${displaystyle h.}$

Existe otro candidato para la definición de derivada de orden superior, la función

{displaystyle D^{2}F(u){h,k}=lim _{tau to 0}{frac {DF(u+tau k)h-DF(u)h}{tau }}=left.{frac {partial ^{2}}{partial tau ,partial sigma }}F(u+sigma h+tau k)right|_{tau =sigma =0}}

()3)

que surge naturalmente en el cálculo de variaciones como la segunda variación de ${displaystyle F,}$ por lo menos en el caso especial ${displaystyle F}$ es de valor escalar. Sin embargo, esto puede no tener ninguna propiedad razonable en absoluto, aparte de ser separadamente homogénea en ${displaystyle h}$ y ${displaystyle k.}$ Es conveniente contar con condiciones suficientes para garantizar que ${displaystyle D^{2}F(u){h,k}}$ es una función bilineal simétrica ${displaystyle h}$ y ${displaystyle k,}$ y que está de acuerdo con la polarización ${displaystyle d^{n}F.}$

Por ejemplo, la siguiente condición suficiente tiene (Hamilton 1982). Supongamos que ${displaystyle F}$ es ${displaystyle C^{1}}$ en el sentido de que la cartografía

{displaystyle DF:Utimes Xto Y}

{displaystyle D^{2}F:Utimes Xtimes Xto Y}

{displaystyle D^{2}F(u){h,k}}

{displaystyle h}

{displaystyle k.}

{displaystyle D^{2}F(u){h,k}={frac {1}{2}}d^{2}F(u;h+k)-d^{2}F(u;h)-d^{2}F(u;k)}

{displaystyle D^{2}F(u)}

{displaystyle d^{2}F(u;-).}

Propiedades

Una versión del teorema fundamental del cálculo sostiene para el derivado de Gateaux ${displaystyle F,}$ proporcionadas ${displaystyle F}$ se supone que es suficientemente diferente continuamente. Específicamente:

Supongamos que ${displaystyle F:Xto Y}$ es ${displaystyle C^{1}}$ en el sentido de que el derivado de Gateaux es una función continua ${displaystyle dF:Utimes Xto Y.}$ Entonces para cualquier ${displaystyle uin U}$ y ${displaystyle hin X,}$ ${displaystyle F(u+h)-F(u)=int _{0}^{1}dF(u+th;h),dt}$ donde la integral es la integral Gelfand-Pettis (la integral débil) (Vainberg (1964)).

Muchas de las otras propiedades familiares de la derivada se derivan de esto, como la multilinealidad y la conmutatividad de las derivadas de orden superior. Otras propiedades, también consecuencias del teorema fundamental, incluyen:

()La regla de la cadena)
${displaystyle d(Gcirc F)(u;x)=dG(F(u);dF(u;x))}$ para todos ${displaystyle uin U}$ y ${displaystyle xin X.}$ (Importantemente, como con simples derivados parciales, el derivado de Gateaux sí no satisfacer la regla de cadena si se permite que el derivado sea discontinua.)

()Teorema de Taylor con el resto)
Supongamos que el segmento de línea entre ${displaystyle uin U}$ y ${displaystyle u+h}$ mentiras enteramente ${displaystyle U.}$ Si ${displaystyle F}$ es ${displaystyle C^{k}}$ entonces ${displaystyle F(u+h)=F(u)+dF(u;h)+{frac {1}{2!}}d^{2}F(u;h)+dots +{frac {1}{(k-1)!}}d^{k-1}F(u;h)+R_{k}}$ donde el plazo restante es dado por ${displaystyle R_{k}(u;h)={frac {1}{(k-1)!}}int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}d^{k}F(u+th;h),dt}$

Ejemplo

Vamos. ${displaystyle X}$ ser el espacio Hilbert de funciones cuadradas-integrables en un conjunto mensurable Lebesgue ${displaystyle Omega }$ en el espacio euclidiano ${displaystyle mathbb {R} ^{n}.}$ El funcional

{displaystyle E:Xto mathbb {R} }

{displaystyle E(u)=int _{Omega }F(u(x)),dx}

{displaystyle F}

{displaystyle u}

{displaystyle Omega }

{displaystyle dE(u;psi)=langle F'(u),psi rangle:=int _{Omega }F'(u(x)),psi (x),dx.}

De hecho, lo anterior es el límite ${displaystyle tau to 0}$ de

{displaystyle {begin{aligned}{frac {E(u+tau psi)-E(u)}{tau }}&={frac {1}{tau }}left(int _{Omega }F(u+tau ,psi),dx-int _{Omega }F(u),dxright)\[6pt]&={frac {1}{tau }}left(int _{Omega }int _{0}^{1}{frac {d}{ds}}F(u+s,tau ,psi),ds,dxright)\[6pt]&=int _{Omega }int _{0}^{1}F'(u+stau psi),psi ,ds,dx.end{aligned}}}

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