Derivada del tiempo

A tiempo derivado es un derivado de una función con respecto al tiempo, generalmente interpretado como la tasa de cambio del valor de la función. El tiempo de denotación variable se escribe generalmente como t{displaystyle t}.

Notación

Se utilizan diversas notaciones para indicar la derivada del tiempo. Además de la notación normal (de Leibniz),

dxdt{displaystyle {frac {dx}{dt}}

Una notación abreviada muy común, especialmente en física, es la 'sobrepunto'. ES DECIR.

xÍ Í {displaystyle {dot {x}}

(Esto se llama notación de Newton)

También se utilizan derivadas temporales superiores: la segunda derivada con respecto al tiempo se escribe como

d2xdt2{displaystyle {frac {f}x}{dt^{2}}}} {f}} {f}}}} {f}} {f}}}}

con el cortocircuito correspondiente x. . {displaystyle {ddot {x}}.

Como generalización, la derivada temporal de un vector, digamos:

v=[v1, v2, v3,... ... ]{displaystyle mathbf {v} =left[v_{1}, v_{2}, v_{3},ldots right]}

se define como el vector cuyos componentes son las derivadas de los componentes del vector original. Eso es,

dvdt=[dv1dt,dv2dt,dv3dt,... ... ].{displaystyle {frac {dmathbf} - ¿Qué? {dv_{1} {dt}} {frac} {dv_{2} {dt}} {frac} {dv_{3} {dt}},ldots right].}

Uso en física

Los derivados del tiempo son un concepto clave en la física. Por ejemplo, para un cambio de posición x{displaystyle x}, su derivación del tiempo xÍ Í {displaystyle {dot {x}} es su velocidad, y su segundo derivado con respecto al tiempo, x. . {displaystyle {ddot {x}}Es su aceleración. Incluso los derivados superiores se utilizan a veces también: el tercer derivado de la posición con respecto al tiempo se conoce como el imbécil. Ver gráficos de movimiento y derivados.

Un gran número de ecuaciones fundamentales en física implican derivadas de cantidades por primera o segunda vez. Muchas otras cantidades fundamentales en la ciencia son derivadas unas de otras en el tiempo:

• fuerza es el tiempo derivado del impulso
• poder es el derivado del tiempo de la energía
• corriente eléctrica es el derivado del tiempo de carga eléctrica

etc.

Un hecho común en física es la derivada temporal de un vector, como la velocidad o el desplazamiento. Al tratar con una derivada de este tipo, tanto la magnitud como la orientación pueden depender del tiempo.

Ejemplo: movimiento circular

Por ejemplo, considere una partícula que se mueve en un camino circular. Su posición es dada por el vector de desplazamiento r=xı ı ^ ^ +Sí.ȷ ȷ ^ ^ {displaystyle r=x{hat {imath}+y{hat {jmath}}, relacionado con el ángulo, Silencio, y distancia radial, r, según se define en la figura:

x=r#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )Sí.=rpecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio ){displaystyle {begin{aligned}x limit=rcos(theta)\y recur=rsin(theta)end{aligned}}}

Para este ejemplo, asumimos que θ = t. Por lo tanto, el desplazamiento (posición) en cualquier momento t viene dado por

r()t)=r#⁡ ⁡ ()t)ı ı ^ ^ +rpecado⁡ ⁡ ()t)ȷ ȷ ^ ^ {displaystyle mathbf {r} (t)=rcos(t){hat {imath }+rsin(t){hat {jmath }}}

Esta forma muestra que el movimiento descrito por r(t) es en un círculo de radio r porque la magnitud de r(t) está dado por

Silencior()t)Silencio=r()t)⋅ ⋅ r()t)=x()t)2+Sí.()t)2=r#2⁡ ⁡ ()t)+pecado2⁡ ⁡ ()t)=r{fnMitbf {r} {fnMitbf {f} {cdot mathbf {r} (t)}={sqrt {x(t)^{2}+y(t)}}}=r,{sqrt {c} {c} {ccH0} {cc}t} {c} {cc} {c} {ccccccc}t}} {c} {cc}t}}} {cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccH00}}}}}}}}

usando la identidad trigonométrica pecado²()t) + porque²()t) = 1 y dónde ⋅ ⋅ {displaystyle cdot } es el producto habitual del punto Euclidean.

Con esta forma para el desplazamiento, ahora se encuentra la velocidad. La derivada del tiempo del vector de desplazamiento es el vector de velocidad. En general, la derivada de un vector es un vector formado por componentes, cada uno de los cuales es la derivada del componente correspondiente del vector original. Así, en este caso, el vector velocidad es:

v()t)=dr()t)dt=r[d#⁡ ⁡ ()t)dt,dpecado⁡ ⁡ ()t)dt]=r [− − pecado⁡ ⁡ ()t), #⁡ ⁡ ()t)]=[− − Sí.()t),x()t)].{fnMicrosoft Sans Serif} {} {fnMicroc {d,f} {} {} {f} {} {} {f}} {f}} {fnMicroc {fnMicrosoft}} {f}} {fnMicroc {f}}} {fnMicroc}}} {f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnun}f}f}fnun}fnun}f}f}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}f}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnMin

Por tanto, la velocidad de la partícula es distinta de cero aunque la magnitud de la posición (es decir, el radio de la trayectoria) sea constante. La velocidad se dirige perpendicular al desplazamiento, como se puede establecer mediante el producto escalar:

v⋅ ⋅ r=[− − Sí.,x]⋅ ⋅ [x,Sí.]=− − Sí.x+xSí.=0.{displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {r} =[-y,x]cdot [x,y]=-yx+xy=0,}

La aceleración es entonces la derivada temporal de la velocidad:

a()t)=dv()t)dt=[− − x()t),− − Sí.()t)]=− − r()t).{displaystyle mathbf {a} (t)={frac {d,mathbf {v} (t)}{dt}=[-x(t),-y(t)]=-mathbf {r} (t),}

La aceleración se dirige hacia el eje de rotación. Puntos opuestos al vector de posición y perpendicular al vector de velocidad. Esta aceleración indirecta interna se llama aceleración centrípeta.

En geometría diferencial

En geometría diferencial, a menudo se expresan cantidades respecto a la base covariante local, ei{displaystyle mathbf {e} _{i}, donde i rangos sobre el número de dimensiones. Los componentes de un vector U{displaystyle mathbf {U} expresado de esta manera transformándose como un inquilino contravariante, como se muestra en la expresión U=Uiei{displaystyle mathbf {fnK} {fnK} {fnMicrosoft}, invocando la convención de summation de Einstein. Si queremos calcular los derivados del tiempo de estos componentes a lo largo de una trayectoria, de modo que tengamos U()t)=Ui()t)ei()t){displaystyle mathbf {U} (t)=U^{i}(t)mathbf {e} _{i}(t)}, podemos definir un nuevo operador, el derivado invariante δ δ {displaystyle delta }, que continuará devolviendo tensores contravariantes:

δ δ Uiδ δ t=dUidt+Vj. . jkiUk{displaystyle {begin{aligned}{frac} {delta U^{i}{delta t}={frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} ¿Qué?

Donde Vj=dxjdt{displaystyle ¿Qué? (con xj{displaystyle x^{j} ser el jto coordinate) captura los componentes de la velocidad en la base covariante local, y . . jki{displaystyle "Gamma" son los símbolos de Christoffel para el sistema de coordenadas. Note que la dependencia explícita t ha sido reprimido en la notación. Entonces podemos escribir:

dUdt=δ δ Uiδ δ tei{displaystyle {begin{aligned}{frac {dmathbf {U} } {dt}={frac {delta U^{i}{delta # Mathbf {e} ¿Por qué?

así como:

d2Udt2=δ δ 2Uiδ δ t2ei{displaystyle {begin{aligned}{frac} {d^{2}mathbf {fnK} {fnK} {fnK}} {fnK}}} {fnK}} {f}}} {fn}}}} {fnK} {fnK}}}} {f}} {f}}} {f}}}} {fnK}}}} {f}f}}}}} {f} {f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}}}fn}}f}f}}f}f}f}f}f}}fn} - ¿Qué? # Mathbf # ¿Por qué?

En términos del derivado covariante, Silencio Silencio j{displaystyle nabla _{j}}, tenemos:

δ δ Uiδ δ t=VjSilencio Silencio jUi{displaystyle {begin{aligned}{frac} {delta U^{i}{delta . ¿Qué?

Uso en economía

En economía, muchos modelos teóricos de la evolución de diversas variables económicas se construyen en tiempo continuo y, por lo tanto, emplean derivadas temporales. Una situación involucra una variable de acciones y su derivada temporal, una variable de flujo. Ejemplos incluyen:

• El flujo de la inversión fija neta es el derivado del tiempo del stock de capital.
• El flujo de inversión de inventario es el derivado del tiempo del stock de inventarios.
• La tasa de crecimiento del suministro de dinero es el derivado del tiempo del suministro de dinero dividido por el suministro de dinero mismo.

A veces, la derivada temporal de una variable de flujo puede aparecer en un modelo:

• La tasa de crecimiento de la producción es el derivado del tiempo del flujo de la salida dividida por la salida misma.
• La tasa de crecimiento de la fuerza laboral es el derivado del tiempo de la fuerza laboral dividida por la propia fuerza laboral.

Y a veces aparece una derivada temporal de una variable que, a diferencia de los ejemplos anteriores, no se mide en unidades monetarias:

• Puede aparecer el derivado del tiempo de un tipo de interés clave.
• La tasa de inflación es la tasa de crecimiento del nivel de precios, es decir, la derivación del tiempo del nivel de precios dividido por el nivel de precio mismo.