Derivada débil

En matemáticas, a débil derivado es una generalización del concepto del derivado de una función (sólido derivado) para las funciones no asumidas diferenciables, pero sólo integrador, es decir, para tumbarse en el espacio Lp L1()[a,b]){displaystyle L^{1}([a,b]}.

El método de integración por partes sostiene que para funciones diferentes u{displaystyle u} y φ φ {displaystyle varphi } tenemos

∫ ∫ abu()x)φ φ .()x)dx=[u()x)φ φ ()x)]ab− − ∫ ∫ abu.()x)φ φ ()x)dx.{displaystyle {begin{aligned}int _{a}{b}u(x)varphi '(x),dx limit={Big [}u(x)varphi (x){Big ]}_{a} {b}int _{b}u'(x)varphi (x),dx.

Una función u' siendo el derivado débil de u es esencialmente definido por el requisito de que esta ecuación debe mantener para todas las funciones infinitamente diferentes φ φ {displaystyle varphi } desapareciendo en los puntos límite (φ φ ()a)=φ φ ()b)=0{displaystyle varphi (a)=varphi (b)=0}).

Definición

Vamos. u{displaystyle u} ser una función en el espacio Lebesgue L1()[a,b]){displaystyle L^{1}([a,b]}. Decimos eso. v{displaystyle v} dentro L1()[a,b]){displaystyle L^{1}([a,b]} es un débil derivado de u{displaystyle u} si

∫ ∫ abu()t)φ φ .()t)dt=− − ∫ ∫ abv()t)φ φ ()t)dt{displaystyle int _{a}^{b}u(t)varphi '(t),dt=-int _{a}^{b}v(t)varphi (t),dt}

para Todos Funciones infinitamente diferentes φ φ {displaystyle varphi } con φ φ ()a)=φ φ ()b)=0{displaystyle varphi (a)=varphi (b)=0}.

Generalización n{displaystyle n} dimensiones, si u{displaystyle u} y v{displaystyle v} están en el espacio LLoc1()U){displaystyle L_{text{loc}{1}(U)} de funciones localmente integradoras para un conjunto abierto U⊂ ⊂ Rn{displaystyle Usubset mathbb {R} {fn}Y si α α {displaystyle alpha } es un multi-índice, decimos que v{displaystyle v} es α α T{displaystyle alpha ^{text{th}}- derivado débil de u{displaystyle u} si

∫ ∫ UuDα α φ φ =()− − 1)Silencioα α Silencio∫ ∫ Uvφ φ ,{displaystyle int ¿Por qué?

para todos φ φ ▪ ▪ CcJUEGO JUEGO ()U){displaystyle varphi in C_{c}{infty }(U)}, es decir, para todas las funciones infinitamente diferentes φ φ {displaystyle varphi } con soporte compacto en U{displaystyle U}. Aquí. Dα α φ φ {displaystyle D^{alpha }varphi } se define como

Dα α φ φ =∂ ∂ Silencioα α Silencioφ φ ∂ ∂ x1α α 1⋯ ⋯ ∂ ∂ xnα α n.{displaystyle D^{alpha }varphi ={partial ^{ privacyalpha Н}varphi }{partial x_{1}{alpha _{1}cdots partial x_{n}{alpha - Sí.

Si u{displaystyle u} tiene un derivado débil, es a menudo escrito Dα α u{displaystyle D^{alpha }u ya que los derivados débiles son únicos (al menos, hasta un conjunto de medida cero, ver abajo).

Ejemplos

• Función de valor absoluto u:R→ → R+,u()t)=SilenciotSilencio{displaystyle u:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} _{+},u(t)= resistt sometida}, que no es diferente en t=0{displaystyle t=0} tiene un derivado débil v:R→ → R{displaystyle v:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} conocida como la función de signo, y dada por
  0;\[6pt]0&{text{if }}t=0;\[6pt]-1&{text{if }}tv()t)={}1si t■0;0si t=0;− − 1si tc)0.{displaystyle v(t)={cases}1 {text{if } t título0;[6pt]0 }t=0;[6pt]-1 golpe{text{if }t made0.end{cases}}

  0;\[6pt]0&{text{if }}t=0;\[6pt]-1&{text{if }}t
  Este no es el único derivado débil para u: w que es igual a v casi en todas partes es también un derivado débil para u. (En particular, la definición de v(0) arriba es superfluo y puede ser reemplazado por cualquier número real deseado r.) Por lo general, esto no es un problema, ya que en la teoría de los espacios Lp y Sobolev se identifican funciones que son iguales en casi todas partes.
• La función característica de los números racionales 1Q{displaystyle 1_{s\fnMithbb {} no es en ninguna parte diferente pero tiene un derivado débil. Puesto que la medida Lebesgue de los números racionales es cero,
  ∫ ∫ 1Q()t)φ φ ()t)dt=0.{displaystyle int 1_{mathbb {Q}(t)varphi (t),dt=0.}

  
  Así v()t)=0{displaystyle v(t)=0} es un derivado débil de 1Q{displaystyle 1_{s\fnMithbb {}. Tenga en cuenta que esto está de acuerdo con nuestra intuición desde cuando se considera miembro de un espacio Lp, 1Q{displaystyle 1_{s\fnMithbb {} se identifica con la función cero.
• Función Cantor c no tiene un derivado débil, a pesar de ser diferente casi en todas partes. Esto es porque cualquier derivado débil de c tendría que ser igual casi por todas partes al derivado clásico de c, que es cero casi en todas partes. Pero la función cero no es un derivado débil c, como se puede ver comparando con una función de prueba adecuada φ φ {displaystyle varphi }. Más teóricamente, c no tiene un derivado débil porque su derivación distributiva, a saber, la distribución Cantor, es una medida singular y por lo tanto no puede ser representada por una función.

Propiedades

Si dos funciones son derivadas débiles de la misma función, son iguales excepto en un conjunto con medida de Lebesgue cero, es decir, son iguales en casi todas partes. Si consideramos clases de equivalencia de funciones tales que dos funciones son equivalentes si son iguales en casi todas partes, entonces la derivada débil es única.

Además, si u es diferenciable en el sentido convencional, entonces su derivada débil es idéntica (en el sentido dado anteriormente) a su derivada convencional (fuerte). Por tanto, la derivada débil es una generalización de la fuerte. Además, las reglas clásicas para derivadas de sumas y productos de funciones también se aplican a la derivada débil.

Extensiones

Este concepto da lugar a la definición de soluciones débiles en espacios de Sobolev, que son útiles para problemas de ecuaciones diferenciales y en análisis funcional.