Curva hiperelíptica

En geometría algebraica, una curva hiperelíptica es una curva algebraica de género g > 1, dada por una ecuación de la forma

$${displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$$

Una función hiperelíptica es un elemento del campo funcional de dicha curva, o de la variedad jacobiana de la curva; Estos dos conceptos son idénticos para funciones elípticas, pero diferentes para funciones hiperelípticas.

Género

El grado del polinomio determina el género de la curva: un polinomio de grado 2g + 1 o 2g + 2 da una curva de género g. Cuando el grado es igual a 2g + 1, la curva se llama curva hiperelíptica imaginaria. Mientras tanto, una curva de grado 2g + 2 se denomina curva hiperelíptica real. Esta afirmación sobre el género sigue siendo cierta para g = 0 o 1, pero esos casos especiales no se denominan "hiperelípticos". En el caso g = 1 (si se elige un punto distinguido), dicha curva se denomina curva elíptica.

Formulación y elección del modelo

Si bien este modelo es la forma más sencilla de describir curvas hiperelípticas, dicha ecuación tendrá un punto singular en el infinito en el plano proyectivo. Esta característica es específica del caso n > 3. Por lo tanto, al dar una ecuación de este tipo para especificar una curva no singular, casi siempre se supone que se trata de un modelo no singular (también llamado terminación suave), equivalente en el sentido de geometría biracional.

Para ser más precisos, la ecuación define una extensión cuadrática de C(x), y es ese campo de función al que se refiere. El punto singular en el infinito se puede eliminar (ya que es una curva) mediante el proceso de normalización (cierre integral). Resulta que después de hacer esto, queda una cubierta abierta de la curva por dos gráficos afines: el que ya está dado por

$${displaystyle y^{2}=f(x)}$$

$${displaystyle w^{2}=v^{2g+2}f(1/v).}$$

Los mapas de pegado entre los dos gráficos están dados por

$${displaystyle (x,y)mapsto (1/x,y/x^{g+1}}$$

$${displaystyle (v,w)mapsto (1/v,w/v^{g+1}),}$$

De hecho, se supone una taquigrafía geométrica, definiéndose la curva C como una doble cobertura ramificada de la línea proyectiva, teniendo lugar la ramificación en las raíces de f, y también para n impar en el punto del infinito. De esta manera se pueden unificar los casos n = 2g + 1 y 2g + 2, ya que también podríamos usar un automorfismo de el plano proyectivo para alejar cualquier punto de ramificación del infinito.

Usando la fórmula de Riemann-Hurwitz

Utilizando la fórmula de Riemann-Hurwitz, la curva hiperelíptica de género g se define mediante una ecuación de grado n = 2g + 2. Supongamos que f: X → P¹ es una cobertura ramificada con grado de ramificación 2, donde X es una curva con género g y P¹ es la esfera de Riemann. Sea g₁ = g y g₀ el género de P¹ (= 0), entonces la fórmula de Riemann-Hurwitz resulta ser

${displaystyle 2-2g_{1}=2(2-2g_{0}-sum _{sin X}(e_{s}-1)}$

donde s está sobre todos los puntos ramificados en X. El número de puntos ramificados es n, por lo que n = 2g + 2.

Ocurrencia y aplicaciones

Todas las curvas del género 2 son hiperelípticas, pero para el género ≥ 3 la curva genérica no es hiperelíptica. Esto se ve heurísticamente mediante una verificación de dimensión del espacio de módulos. Contando constantes, con n = 2g + 2, el conjunto de n puntos sujetos a la acción de los automorfismos de la recta proyectiva tiene (2g + 2) − 3 grados de libertad, que es menor que 3g − 3, el número de módulos de una curva de género g >, a menos que g sea 2. Se sabe mucho más sobre el locus hiperelíptico en el espacio de módulos de curvas o variedades abelianas, aunque es más difícil exhibir general curvas no hiperelípticas con modelos simples. Una caracterización geométrica de las curvas hiperelípticas es mediante puntos de Weierstrass. La geometría más detallada de las curvas no hiperelípticas se lee en la teoría de las curvas canónicas, siendo el mapeo canónico 2 a 1 en las curvas hiperelípticas pero 1 a 1 en los demás casos para g > 2. Las curvas trigonales son aquellas que corresponden a sacar la raíz cúbica, en lugar de la raíz cuadrada, de un polinomio.

La definición por extensiones cuadráticas del campo de función racional funciona para campos en general excepto en la característica 2; en todos los casos está disponible la definición geométrica como doble cubierta ramificada de la línea proyectiva, si se supone que la extensión es separable.

Las curvas hiperelípticas se pueden utilizar en criptografía de curvas hiperelípticas para criptosistemas basados en el problema del logaritmo discreto.

También aparecen curvas hiperelípticas que componen componentes enteros conectados de ciertos estratos del espacio de módulos de los diferenciales abelianos.

Se utilizó la hiperelipticidad de las curvas de género-2 para probar la conjetura del área de llenado de Gromov en el caso de rellenos de género =1.

Clasificación

Las curvas hiperelípticas de un género g dado tienen un espacio de módulos, estrechamente relacionado con el anillo de invariantes de una forma binaria de grado 2g+2.

Historia

Las funciones hiperelípticas fueron publicadas por primera vez por Adolph Göpel (1812-1847) en su último artículo Abelsche Transcendenten erster Ordnung (Trascendentes abelianos de primer orden) (en Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 35, 1847). Independientemente, Johann G. Rosenhain trabajó en ese asunto y publicó Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung (en Mémoires des savants etc., vol. 11, 1851).