Curva de Sierpiński

curvas Sierpiński son una secuencia repetitivamente definida de curvas fractales de plano cerrado continuo descubiertas por Wacław Sierpiński, que en el límite n→ → JUEGO JUEGO {displaystyle nto infty } rellenar completamente el cuadrado de unidad: así su curva límite, también llamada la curva Sierpiński, es un ejemplo de una curva de llenado de espacio.

Debido a que la curva Sierpiński está llenando espacio, su dimensión Hausdorff (en el límite) n→ → JUEGO JUEGO {displaystyle nto infty }) es 2{displaystyle 2}.
La longitud euclidiana de la n{displaystyle n}^T curva de iteración Sn{displaystyle S_{n} es

ln=23()1+2)2n− − 13()2− − 2)12n,=27/43pecado⁡ ⁡ ()nlog⁡ ⁡ ()2)+asinh()325/4)){fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {n}} {n} {n}} {n} {n}} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {fn}}} {m}m} {m}}m}}m}m}m}}m} {m}}}m} {m}n}}}}m} {m} {m} {m}c}m}c}}}}}}c}c}c}c}m} {c}c}cc}ccc}ccccc}c}c}c}}c}c}c}c}c}cc}c}c}c}c}

es decir, crece exponencialmente con n{displaystyle n} más allá de cualquier límite, mientras que el límite n→ → JUEGO JUEGO {displaystyle nto infty } de la zona Sn{displaystyle S_{n} es 5/12{displaystyle 5/12,} la de la plaza (en Euclidean métrica).

Usos de la curva

La curva de Sierpiński es útil en varias aplicaciones prácticas porque es más simétrica que otras curvas de relleno de espacio comúnmente estudiadas. Por ejemplo, se ha utilizado como base para la construcción rápida de una solución aproximada al problema del viajante (que pide la secuencia más corta de un conjunto dado de puntos): La heurística consiste simplemente en visitar los puntos en la misma secuencia. tal como aparecen en la curva de Sierpiński. Para hacer esto se requieren dos pasos: primero calcular una imagen inversa de cada punto a visitar; luego ordena los valores. Esta idea se ha utilizado para construir sistemas de rutas para vehículos comerciales basados únicamente en archivos de tarjetas Rolodex.

Una curva de relleno de espacio es un mapa continuo del intervalo unitario en un cuadrado unitario y, por lo tanto, una (pseudo) inversa mapea el cuadrado unitario en el intervalo unitario. Una forma de construir una pseudoinversa es la siguiente. Deje que la esquina inferior izquierda (0, 0) del cuadrado unitario corresponda a 0,0 (y 1,0). Entonces la esquina superior izquierda (0, 1) debe corresponder a 0,25, la esquina superior derecha (1, 1) a 0,50 y la esquina inferior derecha (1, 0) a 0,75. El mapa inverso de puntos interiores se calcula aprovechando la estructura recursiva de la curva.

Aquí hay una función codificada en Java que calculará la posición relativa de cualquier punto en la curva de Sierpiński (es decir, un valor pseudoinverso). Toma como entrada las coordenadas del punto (x,y) a invertir y las esquinas de un triángulo isósceles rectángulo circundante (ax, ay), (bx, by) y (cx, cy). (El cuadrado unitario es la unión de dos de esos triángulos). Los parámetros restantes especifican el nivel de precisión con el que se debe calcular la inversa.

 estática largo sierp_pt2code() doble ax, doble ay, doble bx, doble por, doble cx, doble cy, int corrienteLevel, int maxLevel, largo código, doble x, doble Sí. )  {} si ()corrienteLevel . maxLevel) {} corrienteLevel++; si (()sqr()x-ax) + sqr()Sí.-ay) c) ()sqr()x-cx) + sqr()Sí.-cy)) {} código = sierp_pt2code() ax, ay, ()ax+cx)/2.0, ()ay+cy)/2.0, bx, por, corrienteLevel, maxLevel, 2 * código + 0, x, Sí. ); } más {} código = sierp_pt2code() bx, por, ()ax+cx)/2.0, ()ay+cy)/2.0, cx, cy, corrienteLevel, maxLevel, 2 * código + 1, x, Sí. ); } } Regreso código;  }

Representación como sistema Lindenmayer

La curva de Sierpiński se puede expresar mediante un sistema de reescritura (sistema L).

Alfabeto: F, G, X

Constantes: F, G, +, −

Axiom: F−−−XF−F−XF

Normas de producción:

X → XF+G+XF−F−−XF+G+X

Angle: 45

Aquí, tanto F como G significan "avanzar", + significa "girar a la izquierda 45°" y - significa "girar a la derecha 45°" (ver gráficos de tortugas). La curva normalmente se dibuja con diferentes longitudes para F y G.

La curva cuadrada de Sierpiński se puede expresar de manera similar:

Alfabeto: F, X

Constantes: F, +,

Axiom: F+XF+F+XF

Normas de producción:

X → XF−F+F−XF+F+XF−F+F−X

Angle: 90

Curva de punta de flecha

La curva de punta de flecha de Sierpiński es una curva fractal similar en apariencia e idéntica en límite al triángulo de Sierpiński.

La curva de punta de flecha de Sierpiński dibuja un triángulo equilátero con agujeros triangulares a intervalos iguales. Se puede describir con dos reglas de producción sustitutivas: (A → B-A-B) y (B → A+B+A). A y B se repiten y en la parte inferior hacen lo mismo: dibujan una línea. Más y menos (+ y -) significan un giro de 60 grados hacia la izquierda o hacia la derecha. El punto final de la curva de punta de flecha de Sierpiński es siempre el mismo siempre que se repita un número par de veces y se reduzca a la mitad la longitud de la línea en cada recursión. Si recurre a una profundidad impar (el orden es impar), terminará girado 60 grados, en un punto diferente del triángulo.

En el artículo sobre la curva de Rham se ofrece una restricción alternativa: se utiliza la misma técnica que las curvas de Rham, pero en lugar de utilizar una expansión binaria (base-2), se utiliza una expansión ternaria (base-3). expansión.

Código

Dadas las funciones de dibujo void draw_line(double Distance); y void turn(int angle_in_ Degrees);, el código para dibujar una curva de punta de flecha de Sierpiński (aproximada) se ve así este:

vacío sierpinski_arrowhead_curve()no firmado orden, doble longitud){} // Si el orden es incluso podemos dibujar la curva. si () 0 == ()orden " 1) ) {} curva()orden, longitud, +60); } más * El orden es extraño */ {} turno() +60); curva()orden, longitud, -60); }}

vacío curva()no firmado orden, doble longitud, int ángulo){} si () 0 == orden ) {} draw_line()longitud); } más {} curva()orden - 1, longitud / 2, -ángulo); turno()ángulo); curva()orden - 1, longitud / 2, ángulo); turno()ángulo); curva()orden - 1, longitud / 2, -ángulo); }}

Representación como sistema Lindenmayer

La curva de punta de flecha de Sierpiński se puede expresar mediante un sistema de reescritura (sistema L).

AlfabetoX, Y

Constantes: F, +,

Axiom: XF

Normas de producción:

X → YF + XF + Y

Y → XF - YF - X

Aquí, F significa "avanzar", + significa "girar a la izquierda 60°" y − significa & #34;girar a la derecha 60°" (ver gráficos de tortugas).