Coseno de dirección

En geometría analítica, los cosenos directores (o cosenos direccionales) de un vector son los cosenos de los ángulos entre el vector y los tres ejes de coordenadas positivos. De manera equivalente, son las contribuciones de cada componente de la base a un vector unitario en esa dirección.

Coordenadas cartesianas tridimensionales

Si v es un vector euclidiano en un espacio euclidiano tridimensional, R³,

v=vxex+vSí.eSí.+vzez,{displaystyle mathbf {v} =v_{x}mathbf {e} ¿Qué? ¿Qué?

donde e_x, e_y, e_z son la base estándar en notación cartesiana, entonces los cosenos directores son

α α =#⁡ ⁡ a=v⋅ ⋅ ex. . v. . =vxvx2+vSí.2+vz2,β β =#⁡ ⁡ b=v⋅ ⋅ eSí.. . v. . =vSí.vx2+vSí.2+vz2,γ γ =#⁡ ⁡ c=v⋅ ⋅ ez. . v. . =vzvx2+vSí.2+vz2.{displaystyle {begin{alignedat}{2}alpha {fnMicrosoft} cdot mathbf {e} ¿Qué? Vert mathbf {v} {fnK} {f} {fnK}} {fnK}} {fnK}}} {fnK}}} {fnK}} {f}}} {fnK}}} {fnf}}} {fnK}}}} {fnfnfnf}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}\\\fn\\fnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\fnfn {v_{x} {2}+v_{2}+v_{2}}\\beta} {}=cos b={frac {mathbf} {fn} {f} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {cdotcdot mathbf {e} Vert mathbf {v} Vert. {cHFF} {cHFF} {cH00}} {cH00}} {cHFF} {cH00}}} {cH00}}} {cH00}}} {cH00}}} {cH}} {cH00}}}} {cH00}}}} {cH00}}}}}} {sqf}}}}}}}} {f}} {ccccccccH00f}}}}}}}}}}}}} {cccccccccccccHFF} {ccHFF}}}}}}}}}}}}} {ccccccccHFF} {cHFF} {cHFF}} {cHFF}} {cHFF}}}}} {cH {v_{x}{2}+v_{2}+v_{2}}\\\gmmamma} {}=cos c={frac {fnMitbf} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}}} {\fnh}}cdot mathbf} Vert mathbf {v} {fnK} {fn} {fnK}} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fnfnf}}}} {fnfnfnfnf}}}}}}}}} {\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}}}}}}}}}}}}}\\\fnfnfnfn\fnfn\\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\fnfnfnfnfn\fn {v_{x}} {2}+v_{y} {2}}}}end{alignedat}}}

Se deduce que elevando al cuadrado cada ecuación y sumando los resultados

#2⁡ ⁡ a+#2⁡ ⁡ b+#2⁡ ⁡ c=α α 2+β β 2+γ γ 2=1.{displaystyle cos ^{2}a+cos ^{2}b+cos ^{2}c=alpha ^{2}+beta ^{2}+gamma ^{2}=1.

Aquí α, β y γ son los cosenos directores y las coordenadas cartesianas del vector unitario v /|v|, y a, b y c son los ángulos directores del vector v .

Los ángulos directores a, b y c son ángulos agudos u obtusos, es decir, 0 ≤ a ≤ π, 0 ≤ b ≤ π y 0 ≤ c ≤ π, y denotan los ángulos formados entre v y los vectores de base unitaria, e_x, e_y y e_z.

Significado general

De manera más general, coseno de dirección se refiere al coseno del ángulo entre dos vectores cualesquiera. Son útiles para formar matrices de cosenos directores que expresan un conjunto de vectores de base ortonormal en términos de otro conjunto, o para expresar un vector conocido en una base diferente.