Constante de Gelfond-Schneider

El Gelfond–Schneider constante o Hilbert número es dos al poder de la raíz cuadrada de dos:

2^√2 = 2.6651441426902251886502972498731...

que Rodion Kuzmin demostró que era un número trascendental en 1930. En 1934, Aleksandr Gelfond y Theodor Schneider demostraron de forma independiente el teorema de Gelfond-Schneider, más general, que resolvió la parte del séptimo problema de Hilbert que se describe a continuación.

Propiedades

La raíz cuadrada de la constante de Gelfond-Schneider es el número trascendental

${displaystyle {sqrt {2^{sqrt {2}}={sqrt {2}{sqrt {2}=}$ 1.63252691943815284477...

Esta misma constante se puede utilizar para demostrar que "un poder irracional elevado a un poder irracional puede ser racional", incluso sin probar primero su trascendencia. La prueba procede de la siguiente manera: ${displaystyle {sqrt {2}} {sqrt {2}}}$ es racional, que prueba el teorema, o es irracional (como resulta ser), y luego

${displaystyle left {2}{sqrt {2}derecha)^{sqrt {2}={sqrt {2}}times {sqrt}times {sqrt {2}={2}=2}$

es un poder irracional a un poder irracional que es racional, lo que demuestra el teorema. La prueba no es constructiva, ya que no dice cuál de los dos casos es verdadero, pero es mucho más sencilla que la prueba de Kuzmin.

El séptimo problema de Hilbert

Parte del séptimo de los veintitrés problemas planteados por Hilbert en 1900 era probar, o encontrar un contraejemplo, la afirmación de que a^b es siempre trascendental para algebraico a ≠ 0, 1 y algebraico irracional b. En el discurso dio dos ejemplos explícitos, uno de ellos es la constante de Gelfond-Schneider 2^√2.

En 1919, dio una conferencia sobre teoría de números y habló de tres conjeturas: la hipótesis de Riemann, el último teorema de Fermat y la trascendencia de 2^√2. Mencionó a la audiencia que no esperaba que nadie en la sala viviera lo suficiente para ver una prueba de este resultado. Pero la prueba de la trascendencia de este número fue publicada por Kuzmin en 1930, en vida de Hilbert. Es decir, Kuzmin demostró el caso en el que el exponente b es un irracional cuadrático real, que luego fue extendido a un irracional algebraico arbitrario b por Gelfond y Schneider.