Conjunto vacío

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símbolo para el conjunto vacío en notación analítica

Un conjunto vacío es cualquier conjunto que no contenga elementos y se representa con un par de corchetes "{}" o con un círculo tachado "Ø". La cardinalidad de un conjunto vacío es igual a cero (cardinalidad es el recuento de elementos), y la suma total de valores dentro del conjunto es también cero: por lo que todo conjunto vacío es además un conjunto nulo. Los conjuntos vacíos son un tipo especial de conjunto y algunas propiedades posibles de los conjuntos son parcialmente verdaderas para el conjunto vacío.

Cualquier conjunto que no sea un conjunto vacío se denomina no vacío.

La existencia del conjunto vacío es un tema de interés en las teorías axiomáticas de conjuntos. Algunas de estas teorías incluyen un axioma específico que asegura la existencia del conjunto vacío. En cambio, en otras teorías, la existencia del conjunto vacío se deduce a partir de otros axiomas. Este enfoque varía según el marco teórico adoptado, pero en cualquier caso, siempre existe el conjunto vacío.

A pesar de su aparente simplicidad, el conjunto vacío tiene muchas propiedades interesantes. En el contexto de la teoría de conjuntos, muchas afirmaciones que podrían parecer ambiguas o indefinidas adquieren un sentido claro cuando se aplican al conjunto vacío (que también es un conjunto). Esto lo convierte en un objeto de estudio en sí mismo, para comprender mejor las propiedades y la lógica de los conjuntos en general.

Es importante diferenciar el conjunto vacío de lo que se conoce como "conjunto nulo". Aunque en algunos textos se usan estos términos indistintamente, en realidad, se refieren a conceptos distintos. En la teoría moderna de la medida, el conjunto nulo se refiere a un conjunto cuya medida es cero, pero que no necesariamente está vacío. Por otro lado, el término "conjunto vacío" se utiliza específicamente para describir un conjunto sin elementos.

HSD

Notación

Las notaciones comunes para el conjunto vacío incluyen "{}", "Ø". Este último símbolo fue introducido por el grupo Bourbaki (específicamente André Weil) en 1939, inspirado en la letra Ø en los alfabetos daneses y noruegos. En el pasado, "0" se utilizó ocasionalmente como símbolo para el conjunto vacío, pero ahora se considera un uso indebido de la notación.

El símbolo ∅ está disponible en Unicode point U+2205. Puede ser codificado en HTML como ∅ y como ∅. Puede ser codificado en LaTeX como varnothing. El símbolo Ø está codificado en LaTeX como emptyset.

Al escribir en idiomas como el danés y el noruego, donde el carácter de conjunto vacío puede confundirse con la letra alfabética Ø (como cuando se usa el símbolo en lingüística), se puede usar el carácter Unicode U+29B0 CONJUNTO VACÍO INVERSO ⦰ en su lugar.

Propiedades

En la teoría axiomática estándar de conjuntos, según el principio de extensionalidad, dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Como resultado, solo puede haber un conjunto sin elementos, de ahí el uso de "el conjunto vacío" en lugar de "un conjunto vacío".

El conjunto vacío tiene las siguientes propiedades:

Su único subconjunto es el conjunto vacío en sí:

${displaystyle forall A:Asubseteq varnothing Rightarrow A=varnothing }$
El conjunto de potencia del conjunto vacío es el conjunto que contiene sólo el conjunto vacío:

${displaystyle 2^{varnothing }={varnothing }}$
El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su cardenalidad) es cero:

${displaystyle mathrm {|} varnothing mathrm {|} =0}$

Para cualquier conjunto A:

El conjunto vacío es un subconjunto de A:

${displaystyle forall A:varnothing subseteq A}$
La unión de A con el conjunto vacío A:

${displaystyle forall A:Acup varnothing =A}$
La intersección de A con el conjunto vacío es el conjunto vacío:

${displaystyle forall A:Acap varnothing =varnothing }$
El producto cartesiano de A y el conjunto vacío es el conjunto vacío:

${displaystyle forall A:Atimes varnothing =varnothing }$

Para cualquier propiedad P:

Por cada elemento $varnothing$ , la propiedad P sostiene (verdad abundante).
No hay elemento $varnothing$ para la cual la propiedad P sostiene.

Por el contrario, si para alguna propiedad P y algún conjunto V, se cumplen las siguientes dos declaraciones:

Por cada elemento V la propiedad P ostenciones
No hay elemento V para la cual la propiedad P ostenciones

entonces ${displaystyle V=varnothing.}$

Por definición del subconjunto, el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto A. Eso es, cada uno elemento x de $varnothing$ pertenece A. De hecho, si no fuera verdad que cada elemento de $varnothing$ está dentro A, entonces habría al menos un elemento $varnothing$ que no está presente A. Ya que hay no elementos $varnothing$ en absoluto, no hay elemento $varnothing$ que no está A. Cualquier declaración que comience "por cada elemento de $varnothing$ "no está haciendo ninguna reclamación sustantiva; es una verdad vacual. Esto a menudo se parafrasea como "todo es verdadero de los elementos del conjunto vacío".

En la definición habitual de la teoría de conjuntos de los números naturales, el cero está modelado por el conjunto vacío.

Operaciones sobre el conjunto vacío

Cuando se habla de la suma de los elementos de un conjunto finito, inevitablemente se llega a la convención de que la suma de los elementos del conjunto vacío es cero. La razón de esto es que cero es el elemento de identidad para la suma. De manera similar, el producto de los elementos del conjunto vacío debe considerarse uno (ver producto vacío), ya que uno es el elemento de identidad para la multiplicación.

Un desglose es una permutación de un conjunto sin puntos fijos. El conjunto vacío se puede considerar un desglose de sí mismo, porque sólo tiene una permutación ( ${displaystyle 0!=1}$ ), y es vacuosamente cierto que ningún elemento (del conjunto vacío) se puede encontrar que retiene su posición original.

En otras áreas de las matemáticas

Números reales extendidos

Dado que el conjunto vacío no tiene miembro cuando se considera como un subconjunto de cualquier conjunto ordenado, cada miembro de ese conjunto será un límite superior y un límite inferior para el conjunto vacío. Por ejemplo, cuando se considera un subconjunto de los números reales, con su orden habitual, representado por la línea de números reales, cada número real es tanto un límite superior e inferior para el conjunto vacío. Cuando se considera un subconjunto de los reinos extendidos formados añadiendo dos "números" o "puntos" a los números reales (nombre de infinito negativo, denotado $-infty !,,$ que se define como menos que cualquier otro número real extendido, y el infinito positivo, denotado $+infty !,,$ que se define como mayor que cualquier otro número real extendido), tenemos que:

{displaystyle sup varnothing =min({-infty+infty }cup mathbb {R})=-infty}

{displaystyle inf varnothing =max({-infty+infty }cup mathbb {R})=+infty.}

Es decir, el límite superior mínimo (sup o supremum) del conjunto vacío es infinito negativo, mientras que el límite inferior máximo (inf o infimum) es infinito positivo. Por analogía con lo anterior, en el dominio de los reales extendidos, el infinito negativo es el elemento identidad de los operadores máximo y supremo, mientras que el infinito positivo es el elemento identidad de los operadores mínimo e ínfimo.

Topología

En cualquier espacio topológico X, el conjunto vacío es abierto por definición, al igual que X. Dado que el complemento de un conjunto abierto es cerrado y el conjunto vacío y X son complementos entre sí, el conjunto vacío también es cerrado, lo que lo convierte en un conjunto cerrado. Además, el conjunto vacío es compacto por el hecho de que todo conjunto finito es compacto.

El cierre del conjunto vacío está vacío. Esto se conoce como "preservación de uniones nulas".

Teoría de categorías

Si $A$ es un conjunto, entonces existe precisamente una función $f$ desde $varnothing$ a $A,$ la función vacía. Como resultado, el conjunto vacío es el objeto inicial único de la categoría de conjuntos y funciones.

El conjunto vacío se puede convertir en un espacio topológico, llamado espacio vacío, de una sola manera: definiendo que el conjunto vacío sea abierto. Este espacio topológico vacío es el único objeto inicial en la categoría de espacios topológicos con aplicaciones continuas. De hecho, es un objeto inicial estricto: solo el conjunto vacío tiene una función para el conjunto vacío.

Teoría de conjuntos

En la construcción von Neumann de los ordinals, 0 se define como el conjunto vacío, y el sucesor de un ordinal se define como ${displaystyle S(alpha)=alpha cup {alpha }}$ . Así, tenemos ${displaystyle 1=0cup {0}={varnothing }}$ ${displaystyle 2=1cup {1}={varnothing{varnothing }}}$ , y así sucesivamente. La construcción de von Neumann, junto con el axioma del infinito, que garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, se puede utilizar para construir el conjunto de números naturales, $mathbb {N} _{0}$ , tal que los axiomas Peano de la aritmética están satisfechos.

Cuestionamiento de su existencia

Teoría axiomática de conjuntos

En la teoría de conjuntos de Zermelo, la existencia del conjunto vacío está asegurada por el axioma del conjunto vacío, y su unicidad se deriva del axioma de extensionalidad. Sin embargo, el axioma del conjunto vacío puede mostrarse redundante en al menos dos formas:

La lógica estándar de primer orden implica, simplemente de los axiomas lógicos, que algo existe, y en el lenguaje de la teoría del conjunto, esa cosa debe ser un conjunto. Ahora la existencia del conjunto vacío sigue fácilmente del axioma de la separación.
Incluso usando la lógica libre (que no implica lógicamente que algo existe), ya hay un axioma que implica la existencia de al menos un conjunto, a saber, el axioma del infinito.

Cuestiones filosóficas

Si bien el conjunto vacío es un concepto matemático estándar y ampliamente aceptado, sigue siendo una curiosidad ontológica, cuyo significado y utilidad debaten filósofos y lógicos.

El conjunto vacío no es lo mismo que nada; más bien, es un conjunto sin nada dentro y un conjunto siempre es algo. Este problema se puede superar al ver un conjunto como una bolsa; sin duda, todavía existe una bolsa vacía. Darling (2004) explica que el conjunto vacío no es nada, sino "el conjunto de todos los triángulos de cuatro lados, el conjunto de todos los números que son mayores que nueve pero menores que ocho, y el conjunto de todos los movimientos de apertura en ajedrez que involucran un rey."

El silogismo popular

Nada es mejor que la felicidad eterna; un sándwich de jamón es mejor que nada; por lo tanto, un sándwich de jamón es mejor que la felicidad eterna

a menudo se utiliza para demostrar la relación filosófica entre el concepto de nada y el conjunto vacío. Darling escribe que el contraste se puede ver reescribiendo las declaraciones "Nada es mejor que la felicidad eterna" y "[A] sándwich de jamón es mejor que nada" en un tono matemático. Según Darling, el primero es equivalente a "El conjunto de todas las cosas que son mejores que la felicidad eterna es $varnothing$ "y el último en "El set {ham sandwich} es mejor que el conjunto $varnothing$ ". La primera compara elementos de conjuntos, mientras que la segunda compara los conjuntos mismos.

Jonathan Lowe argumenta que mientras el conjunto vacío:

"fue sin duda un hito importante en la historia de las matemáticas,... no debemos asumir que su utilidad en el cálculo depende de su realmente denotar algún objeto."

también se da el caso de que:

"Todo lo que se nos informa sobre el conjunto vacío es que (1) es un conjunto, (2) no tiene miembros, y (3) es único entre conjuntos en no tener miembros. Sin embargo, hay muchas cosas que 'no tienen miembros', en el sentido teórico-definido—no todos los conjuntos. Es perfectamente claro por qué estas cosas no tienen miembros, porque no son conjuntos. Lo que no está claro es cómo puede haber, únicamente entre conjuntos, un set que no tiene miembros. No podemos conjurar a tal entidad en existencia por mera estipulación."

George Boolos argumentó que gran parte de lo que se ha obtenido hasta ahora mediante la teoría de conjuntos se puede obtener fácilmente mediante la cuantificación plural sobre individuos, sin cosificar conjuntos como entidades singulares que tienen otras entidades como miembros.

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