Conjetura de Hilbert-Pólya

En matemáticas, la conjetura de Hilbert-Pólya establece que los ceros no triviales de la función zeta de Riemann corresponden a valores propios de un operador autoadjunto. Es una posible aproximación a la hipótesis de Riemann, mediante la teoría espectral.

Historia

En una carta a Andrew Odlyzko, fechada el 3 de enero de 1982, George Pólya dijo que mientras estaba en Göttingen alrededor de 1912 a 1914, Edmund Landau le preguntó, por una razón física, que la hipótesis de Riemann debería ser cierta, y sugirió que este sería el caso si las partes imaginarias t de los ceros

${fnMicroc} {1}{2}+it}$

de la función zeta de Riemann correspondía a valores propios de un operador autoadjunto. La primera declaración publicada de la conjetura parece ser la de Montgomery (1973).

David Hilbert no trabajó en las áreas centrales de la teoría analítica de números, pero su nombre se hizo conocido por la conjetura de Hilbert-Pólya debido a una historia contada por Ernst Hellinger, un estudiante de Hilbert, a André Weil. Hellinger dijo que Hilbert anunció en su seminario a principios del siglo XX que esperaba que la Hipótesis de Riemann fuera una consecuencia del trabajo de Fredholm sobre ecuaciones integrales con un núcleo simétrico.

Los años 50 y la fórmula de trazas de Selberg

En el momento de la conversación de Pólya con Landau, había pocas bases para tales especulaciones. Sin embargo, Selberg, a principios de la década de 1950, demostró una dualidad entre el espectro de longitudes de una superficie de Riemann y los valores propios de su laplaciano. Esta llamada fórmula de trazas de Selberg tenía un parecido sorprendente con las fórmulas explícitas que daban credibilidad a la conjetura de Hilbert-Pólya.

Los años 70 y las matrices aleatorias

Hugh Montgomery investigó y descubrió que la distribución estadística de los ceros en la línea crítica tiene una cierta propiedad, ahora llamada conjetura de correlación de pares de Montgomery. Los ceros tienden a no agruparse demasiado, sino a repelerse. De visita en el Instituto de Estudios Avanzados en 1972, mostró este resultado a Freeman Dyson, uno de los fundadores de la teoría de matrices aleatorias.

Dyson vio que la distribución estadística encontrada por Montgomery parecía ser la misma que la distribución de correlación de pares para los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria. Estas distribuciones son importantes en física: los estados propios de un hamiltoniano, por ejemplo los niveles de energía de un núcleo atómico, satisfacen tales estadísticas. Trabajos posteriores han confirmado firmemente la conexión entre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann y los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria extraída del conjunto unitario gaussiano, y ahora se cree que ambos obedecen a las mismas estadísticas. Así, la conjetura de Hilbert-Pólya tiene ahora una base más sólida, aunque todavía no ha conducido a una prueba de la hipótesis de Riemann.

Desarrollos posteriores

En 1998, Alain Connes formuló una fórmula de trazas que en realidad es equivalente a la hipótesis de Riemann. Esto reforzó la analogía con la fórmula de la traza de Selberg hasta el punto de ofrecer afirmaciones precisas. Da una interpretación geométrica de la fórmula explícita de la teoría de números como una fórmula de traza en la geometría no conmutativa de las clases de Adele.

Posible conexión con la mecánica cuántica

Pólya dio una posible conexión del operador Hilbert-Pólya con mecánica cuántica. El operador de conjetura de Hilbert-Pólya es de la forma ${fnMicroc} {1}{2}+iH}$ Donde ${displaystyle H.$ es el Hamiltoniano de una partícula de masa ${displaystyle m}$ que se mueve bajo la influencia de un potencial ${displaystyle V(x)}$. La conjetura Riemann es equivalente a la afirmación de que el Hamiltoniano es Hermitian, o equivalentemente que ${displaystyle V}$ es real.

Usando la teoría de perturbaciones de primer orden, la energía del nésimo estado propio está relacionada con el valor esperado del potencial:

${displaystyle E_{n}=E_{n}+left.leftlangle varphi _{n} {0}justo Está bien.$

Donde ${displaystyle E_{n} {0}$ y ${displaystyle varphi _{n} {0}}$ son los eigenvalues y eigenstates de la partícula libre Hamiltonian. Esta ecuación se puede tomar para ser una ecuación integral de Fredholm de primer tipo, con las energías ${displaystyle E.$. Tales ecuaciones integrales se pueden resolver por medio del núcleo resuelto, para que el potencial pueda ser escrito como

${displaystyle V(x)=Aint _{-infty }infty }left(g(k)+{overline {g(k)}}-E_{k}right),R(x,k),dk}$

Donde ${displaystyle R(x,k)}$ es el núcleo resuelto, ${displaystyle A}$ es una constante real y

${displaystyle g(k)=isum _{n=0}{infty }left({frac {1}{2}}-rho _{n}right)delta (k-n)}$

Donde ${displaystyle delta (k-n)}$ es la función Dirac delta, y ${displaystyle rho _{n}$ son las raíces "no-triviales" de la función zeta ${displaystyle zeta (rho _{n})=0}$.

Michael Berry y Jonathan Keating han especulado que el hamiltoniano H es en realidad una cuantificación del hamiltoniano clásico xp, donde p es el canónico. impulso asociado con x El operador hermitiano más simple correspondiente a xp es

${displaystyle {hat {}={tfrac {1} {hat {x}{hat {hat {}}+{hat {hat {}} {hat {x})=-ileft(x{frac {mathrm {d} {}}}} {f}}} {f} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}f} {f} {f}f}}f}f}}}}f}}}}}}}f} {f} {f}}f}f}}}}}}}}}f}}}}}}f}}}}f}}}}f}f}}f}}}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}}}f} }{mathrm {d} x}+{frac {1} {2}derecha). }$

Este refinamiento de la conjetura de Hilbert-Pólya se conoce como conjetura de Berry (o conjetura de Berry-Keating). A fecha de 2008, todavía está bastante lejos de ser concreto, ya que no está claro en qué espacio debe actuar este operador para obtener la dinámica correcta, ni cómo regularizarlo para obtener las correcciones logarítmicas esperadas. Berry y Keating han conjeturado que, dado que este operador es invariante bajo dilataciones, tal vez la condición de frontera f(nx) = f(x) para el entero n puede ayudar a obtener resultados asintóticos correctos válidos para n grandes

${displaystyle {frac}{2}+i{frac} {2pi n}{log n}}$

En marzo de 2017 se publicó un artículo, escrito por Carl M. Bender, Dorje C. Brody y Markus P. Müller, que se basa en el enfoque de Berry sobre el problema. Allí el operador

${displaystyle {hat {f}}}} {fn} {fnfn}}}}left({hat {x}{hat} {hat} {fn} {fn}} {fn}}}} {f} {f}} {f}}}}} {fnf}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}} {f}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fnK}fnK} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}}} {fnMicrosoft Sans Serif}$

fue introducido, que según ellos satisface ciertas versiones modificadas de las condiciones de la conjetura de Hilbert-Pólya. Jean Bellissard ha criticado este artículo y los autores han respondido con aclaraciones. Además, Frederick Moxley ha abordado el problema con una ecuación de Schrödinger.