Conjetura de Erdős-Straus

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En fracciones de la unidad añadiendo a 4/n

Problema no resuelto en matemáticas:

¿Sí? ${displaystyle {tfrac {4}{n}}={tfrac {1}{x}}+{tfrac {1}{y}}+{tfrac {1}{z}}}$ tener una solución de entero positivo para cada entero ${displaystyle ngeq 2}$ ?

(Problemas más no resueltos en matemáticas)

El Erdős–Straus conjecture es una declaración no probada en la teoría de números. La conjetura es que, por cada entero ${displaystyle n}$ que es 2 o más, existen números enteros positivos ${displaystyle x}$ , ${displaystyle y}$ , y ${displaystyle z}$ para el cual

{displaystyle {frac {4}{n}}={frac {1}{x}}+{frac {1}{y}}+{frac {1}{z}}.}

{displaystyle 4/n}

La conjetura lleva el nombre de Paul Erdős y Ernst G. Straus, quienes la formularon en 1948, pero está relacionada con matemáticas mucho más antiguas; Las sumas de fracciones unitarias, como la de este problema, se conocen como fracciones egipcias, debido a su uso en las matemáticas del antiguo Egipto. La conjetura de Erdős-Straus es una de las muchas conjeturas de Erdős y uno de los muchos problemas matemáticos no resueltos relacionados con las ecuaciones diofánticas.

Aunque no se conoce una solución para todos los valores $n$ , infinitamente muchos valores en ciertas progresiones aritméticas infinitas tienen fórmulas simples para su solución, y saltar estos valores conocidos puede acelerar búsquedas de contraexamples. Además, estas búsquedas sólo necesitan considerar valores de ${displaystyle n}$ que son números primos, porque cualquier contraejemplo compuesto tendría un contraejemplo más pequeño entre sus principales factores. Las búsquedas de computadora han verificado la verdad de la conjetura hasta ${displaystyle nleq 10^{17}}$ .

Si la conjetura es reforzada para permitir fracciones de unidad negativas, entonces se sabe que es verdad. También se han estudiado generalizaciones de la conjetura a fracciones con numerador 5 o mayor.

Antecedentes e historia

Cuando un número racional se expande en una suma de fracciones unitarias, la expansión se llama una fracción egipcia. Esta manera de escribir fracciones data de las matemáticas del antiguo Egipto, en la que fracciones fueron escritas de esta manera en lugar de en la forma de fracción vulgar más moderna ${displaystyle {tfrac {a}{b}}}$ con un numerador ${displaystyle a}$ y denominador ${displaystyle b}$ . Los egipcios produjeron tablas de fracciones egipcias para fracciones unitarias multiplicadas por dos, los números que en la notación moderna se escribirían ${displaystyle {tfrac {2}{n}}}$ , como la tabla de papiros matemáticos Rhind; en estas tablas, la mayoría de estas expansiones usan dos o tres términos. Estas tablas eran necesarias, porque la expansión obvia ${displaystyle {tfrac {2}{n}}={tfrac {1}{n}}+{tfrac {1}{n}}}$ no se permitió: los egipcios exigían que todas las fracciones en una fracción egipcia fueran diferentes entre sí. Este mismo requisito, que todas las fracciones sean diferentes, se impone a veces en la conjetura Erdős–Straus, pero no hace diferencia significativa al problema, porque para $2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■2{displaystyle n confiado2}2}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e71ac55b9fbf1e9f341b946cda63d61d3ef2cd" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ cualquier solución ${displaystyle {tfrac {4}{n}}={tfrac {1}{x}}+{tfrac {1}{y}}+{tfrac {1}{z}}}$ donde las fracciones de la unidad no son distintas pueden convertirse en una solución donde todas son distintas; véase abajo.

Aunque los egipcios no siempre encontraron expansiones usando tan pocos términos como sea posible, los matemáticos posteriores se han interesado en la cuestión de cuán pocos términos se necesitan. Cada fracción ${displaystyle {tfrac {a}{b}}}$ tiene una expansión de ${displaystyle a}$ términos, en particular ${displaystyle {tfrac {2}{n}}}$ necesita en la mayoría de dos términos, ${displaystyle {tfrac {3}{n}}}$ necesidades a la mayoría de tres términos, y ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ necesita al menos cuatro términos. Para ${displaystyle {tfrac {2}{n}}}$ , dos términos son siempre necesarios, y para ${displaystyle {tfrac {3}{n}}}$ , a veces se necesitan tres términos, por lo que para ambos numeradores se conoce el número máximo de términos que podrían ser necesarios. Sin embargo, para ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ , se desconoce si a veces se necesitan cuatro términos, o si es posible expresar todas las fracciones de la forma ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ usando sólo tres fracciones de unidad; esta es la conjetura Erdős–Straus. Así, la conjetura cubre el primer caso desconocido de una cuestión más general, el problema de encontrar para todos ${displaystyle a}$ el número máximo de términos necesarios en las expansiones para fracciones ${displaystyle {tfrac {a}{b}}}$ .

Una manera de encontrar las expansiones cortas (pero no siempre más cortas) utiliza el algoritmo codicioso para las fracciones egipcias, descrito primero en 1202 por Fibonacci en su libro Liber Abaci. Este método elige una fracción de unidad a la vez, a cada paso eligiendo la fracción de unidad más grande posible que no haría que la suma ampliada supere el número de destino. Después de cada paso, el numerador de la fracción que aún queda por ampliar disminuye, por lo que el número total de pasos nunca puede superar el numerador inicial, pero a veces es más pequeño. Por ejemplo, cuando se aplica a ${displaystyle {tfrac {3}{n}}}$ , el algoritmo codicioso utilizará dos términos cada vez que ${displaystyle n}$ es 2 modulo 3, pero existe una expansión de dos plazos cada vez ${displaystyle n}$ tiene un factor que es 2 modulo 3, una condición más débil. Para números de la forma ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ , el algoritmo codicioso producirá una expansión de cuatro plazos cada vez ${displaystyle n}$ es 1 modulo 4, y una expansión con menos términos de lo contrario. Así, otra manera de reformular la conjetura Erdős–Straus pregunta si existe otro método para producir fracciones egipcias, utilizando un número máximo menor de términos para los números ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ .

The Erdős–Straus conjecture was formulated in 1948 by Paul Erdős and Ernst G. Straus, and published by Erdős (1950). Richard Obláth también publicó un trabajo temprano sobre la conjetura, un artículo escrito en 1948 y publicado en 1950, en el que prorrogó cálculos anteriores de Straus y Harold N. Shapiro para verificar la conjetura para todos ${displaystyle nleq 10^{5}}$ .

Formulación

La conjetura dice que, por cada entero ${displaystyle ngeq 2}$ , existen números enteros positivos ${displaystyle x}$ , ${displaystyle y}$ , y ${displaystyle z}$ tales que

{displaystyle {frac {4}{n}}={frac {1}{x}}+{frac {1}{y}}+{frac {1}{z}}.}

{displaystyle n=5}

{displaystyle {frac {4}{5}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{4}}+{frac {1}{20}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{5}}+{frac {1}{10}}.}

Multiplicando ambos lados de la ecuación ${displaystyle {tfrac {4}{n}}={tfrac {1}{x}}+{tfrac {1}{y}}+{tfrac {1}{z}}}$ por ${displaystyle nxyz}$ conduce a una forma polinomio equivalente ${displaystyle 4xyz=n(xy+xz+yz)}$ para el problema.

Fracciones unitarias distintas

Algunos investigadores requieren además que los enteros ${displaystyle x}$ , ${displaystyle y}$ , y ${displaystyle z}$ ser distintos entre sí, como los egipcios tendrían, mientras que otros les permiten ser iguales. Para ${displaystyle ngeq 3}$ , no importa si están obligados a ser distintos: si existe una solución con tres enteros, entonces existe una solución con enteros distintos. Esto se debe a que dos fracciones de unidad idénticas pueden ser reemplazadas por una de las dos expansiones siguientes:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{2r}}+{frac {1}{2r}}&Rightarrow {frac {1}{r+1}}+{frac {1}{r(r+1)}}\{frac {1}{2r+1}}+{frac {1}{2r+1}}&Rightarrow {frac {1}{r+1}}+{frac {1}{(r+1)(2r+1)}}\end{aligned}}}

{displaystyle n=2}

{displaystyle {tfrac {4}{2}}={tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{1}}}

Soluciones de números negativos

La conjetura de Erdős–Straus requiere que los tres de ${displaystyle x}$ , ${displaystyle y}$ , y ${displaystyle z}$ ser positivo. Este requisito es esencial para la dificultad del problema. Incluso sin esta relajación, la conjetura Erdős–Straus es difícil sólo para valores extraños ${displaystyle n}$ , y si se permiten valores negativos entonces el problema podría resolverse por cada extraño ${displaystyle n}$ por la siguiente fórmula:

{displaystyle {frac {4}{n}}={frac {1}{(n-1)/2}}+{frac {1}{(n+1)/2}}-{frac {1}{n(n-1)(n+1)/4}}.}

Resultados computacionales

Si la conjetura es falsa, podría ser demostrada falsa simplemente encontrando un número ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ que no tiene representación de tres plazos. Para comprobar esto, varios autores han realizado búsquedas de fuerza bruta para contraexamples a la conjetura. Búsquedas de este tipo han confirmado que la conjetura es verdadera para todos ${displaystyle n}$ hasta ${displaystyle 10^{17}}$ .

En tales búsquedas, sólo es necesario buscar expansiones para números ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ Donde ${displaystyle n}$ es un número primo. Esto es porque, cada vez que ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ tiene una expansión de tres plazos, también ${displaystyle {tfrac {4}{mn}}}$ para todos los enteros positivos ${displaystyle m}$ . Para encontrar una solución ${displaystyle {tfrac {4}{mn}}}$ , sólo dividir todas las fracciones de la unidad en la solución ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ por ${displaystyle m}$ :

{displaystyle {frac {4}{n}}={frac {1}{x}}+{frac {1}{y}}+{frac {1}{z}} Rightarrow {frac {4}{mn}}={frac {1}{mx}}+{frac {1}{my}}+{frac {1}{mz}}.}

{displaystyle {tfrac {4}{n}}}

{displaystyle n}

{displaystyle p}

{displaystyle n}

{displaystyle {tfrac {4}{p}}}

{displaystyle {tfrac {4}{n}}}

{displaystyle n}

El número de soluciones distintas al ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ problema, como función de ${displaystyle n}$ , también ha sido encontrado por las búsquedas de computadora para pequeños ${displaystyle n}$ y parece crecer un poco irregular con ${displaystyle n}$ . Empezando con ${displaystyle n=3}$ , el número de soluciones distintas con diferentes denominadores son

1, 1, 2, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9,... A073101 en el OEIS).

Incluso para más grande ${displaystyle n}$ a veces puede haber relativamente pocas soluciones; por ejemplo, sólo hay siete soluciones distintas para ${displaystyle n=73}$ .

Resultados teóricos

En la forma ${displaystyle 4xyz=n(xy+xz+yz)}$ , una ecuación polinomio con variables enteros, la conjetura Erdős–Straus es un ejemplo de una ecuación Diofantina. El principio Hasse para las ecuaciones Diofantina sugiere que estas ecuaciones deben ser estudiadas utilizando aritmética modular. Si una ecuación polinomio tiene una solución en los enteros, entonces tomando este modulo de solución ${displaystyle q}$ , para cualquier entero ${displaystyle q}$ , proporciona una solución en modulo- ${displaystyle q}$ aritmética. En la otra dirección, si una ecuación tiene un modulo de solución ${displaystyle q}$ para cada poder primo ${displaystyle q}$ , entonces en algunos casos es posible reunir estas soluciones modulares, utilizando métodos relacionados con el teorema de los restos chinos, para obtener una solución en los enteros. El poder del principio Hasse para resolver algunos problemas está limitado por la obstrucción Manin, pero para la conjetura Erdős–Straus esta obstrucción no existe.

En la cara de él este principio tiene poco sentido para la conjetura Erdős–Straus. Por todos ${displaystyle n}$ , la ecuación ${displaystyle 4xyz=n(xy+xz+yz)}$ es fácilmente solvable modulo cualquier potencia primitiva, o primitiva, pero parece que no hay manera de unir esas soluciones para conseguir una solución de entero positivo a la ecuación. Sin embargo, aritmética modular e identidades basadas en aritmética modular, han demostrado ser una herramienta muy importante en el estudio de la conjetura.

Identidades modulares

Para valores ${displaystyle n}$ satisfacer ciertas relaciones de congruencia, se puede encontrar una expansión ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ automáticamente como instancia de identidad polinomio. Por ejemplo, cuando sea ${displaystyle n}$ es 2 modulo 3, ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ tiene la expansión

{displaystyle {frac {4}{n}}={frac {1}{n}}+{frac {1}{(n+1)/3}}+{frac {1}{n(n+1)/3}}.}

{displaystyle n}

{displaystyle (n+1)/3}

{displaystyle n(n+1)/3}

{displaystyle n}

{displaystyle n}

{displaystyle n}

{displaystyle n}

Las identidades polinómicas enumeradas por Mordell (1967) proporcionan fracciones egipcias de tres plazos para ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ siempre ${displaystyle n}$ es uno de:

2 mod 3 (arriba),
3 mod 4,
2 o 3 mod 5,
3, 5 o 6 mod 7, o
5 mod 8.

Combinaciones de las identidades de Mordell se pueden utilizar para expandir ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ para todos ${displaystyle n}$ excepto posiblemente los que son 1, 121, 169, 289, 361, o 529 mod 840. El más pequeño que estas identidades no cubren es 1009. Al combinar grandes clases de identidades modulares, Webb y otros mostraron que la densidad natural de contraexampos potenciales a la conjetura es cero: como parámetro ${displaystyle N}$ va al infinito, la fracción de valores en el intervalo ${displaystyle [1,N]}$ . que podría ser contraexamples tiende a cero en el límite.

Inexistencia de identidades

Si fuera posible encontrar soluciones como las anteriores para bastantes moduli diferentes, formando un completo sistema de cobertura de congruencias, el problema sería resuelto. Sin embargo, como mostró Mordell (1967), una identidad polinomio que proporciona una solución para los valores de ${displaystyle n}$ congruente con ${displaystyle r}$ mod ${displaystyle p}$ puede existir sólo cuando ${displaystyle r}$ no es congruente con un modulo cuadrado ${displaystyle p}$ . (Más formalmente, este tipo de identidad sólo puede existir cuando ${displaystyle r}$ no es un modulo de residuos cuadráticos ${displaystyle p}$ ) Por ejemplo, 2 es un mod 3 no cuadrado, así que el resultado de Mordell permite la existencia de una identidad para ${displaystyle n}$ congruente con 2 mod 3. Sin embargo, 1 es un mod 3 cuadrado (igual que el cuadrado de 1 y 2 mod 3), por lo que no puede haber identidad similar para Todos valores de ${displaystyle n}$ que son congruentes con 1 mod 3. Más generalmente, como 1 es un mod cuadrado ${displaystyle n}$ para todos $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■1{displaystyle n confía1}1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ , no puede haber un sistema completo de cobertura de identidades modulares para todos ${displaystyle n}$ , porque 1 siempre será descubierto.

A pesar del resultado de Mordell limitando la forma de identidades modulares para este problema, todavía hay alguna esperanza de usar identidades modulares para probar la conjetura Erdős–Straus. Ningún número primo puede ser un cuadrado, por lo que por el teorema Hasse–Minkowski, cada vez que ${displaystyle p}$ es primo, existe un mayor ${displaystyle q}$ tales que ${displaystyle p}$ no es un modulo de residuos cuadráticos ${displaystyle q}$ . Un posible enfoque para probar la conjetura sería encontrar para cada primo ${displaystyle p}$ más grande ${displaystyle q}$ y una congruencia que resuelve ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ problema para ${displaystyle n}$ congruente con ${displaystyle p}$ mod ${displaystyle q}$ . Si esto pudiera hacerse, no sería el mejor. ${displaystyle p}$ podría ser un contraejemplo a la conjetura y la conjetura sería verdad.

El número de soluciones

Elsholtz " Tao (2013) mostró que el promedio de soluciones al ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ problema (promedio sobre los números primos hasta ${displaystyle n}$ ) está forrado superior polilogarítmicamente en ${displaystyle n}$ . Para algunos otros problemas de Diofantina, la existencia de una solución se puede demostrar a través de límites inferiores asintomáticos en el número de soluciones, pero esto funciona mejor cuando el número de soluciones crece al menos polinomialmente, por lo que la tasa de crecimiento más lenta de Elsholtz y el resultado de Tao hace que una prueba de este tipo menos probable. Elsholtz y Tao clasifican soluciones según una o dos de ${displaystyle x}$ , ${displaystyle y}$ o ${displaystyle z}$ es divisible por ${displaystyle n}$ ; para la primera ${displaystyle n}$ , estas son las únicas posibilidades, aunque (en promedio) la mayoría de soluciones para composite ${displaystyle n}$ son de otros tipos. Su prueba utiliza el teorema Bombieri-Vinogradov, el teorema Brun-Titchmarsh y un sistema de identidades modulares, válido cuando ${displaystyle n}$ es congruente con ${displaystyle -c}$ o ${displaystyle -{tfrac {1}{c}}}$ modulo ${displaystyle 4ab}$ , donde ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ son dos enteros positivos coprime y ${displaystyle c}$ es cualquier factor extraño ${displaystyle a+b}$ . Por ejemplo, establecer ${displaystyle a=b=1}$ da una de las identidades de Mordell, válida cuando ${displaystyle n}$ es 3 mod 4.

Generalizaciones

Como con fracciones de la forma ${displaystyle {tfrac {4}{n}}}$ , se ha conjeturado que cada fracción ${displaystyle {tfrac {5}{n}}}$ (por $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■1{displaystyle n confía1}1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ ) se puede expresar como una suma de tres fracciones unidades positivas. Una versión generalizada de la conjetura indica que, para cualquier positivo ${displaystyle k}$ , todas pero finitamente muchas fracciones ${displaystyle {tfrac {k}{n}}}$ se puede expresar como una suma de tres fracciones positivas de la unidad. La conjetura de fracciones ${displaystyle {tfrac {5}{n}}}$ fue hecho por Wacław Sierpiński en un periódico de 1956, que siguió acreditando la conjetura completa al estudiante de Sierpiński Andrzej Schinzel.

Incluso si la conjetura generalizada es falsa por cualquier valor fijo ${displaystyle k}$ , entonces el número de fracciones ${displaystyle {tfrac {k}{n}}}$ con ${displaystyle n}$ en el rango de 1 a ${displaystyle N}$ que no tienen expansiones de tres plazos debe crecer sólo sublinealmente como una función ${displaystyle N}$ . En particular, si el Erdős–Straus se conjetura (el caso ${displaystyle k=4}$ ) es falso, entonces el número de contraexamples crece sólo sublinealmente. Aún más fuerte, para cualquier fijo ${displaystyle k}$ , sólo un número sublineal de valores ${displaystyle n}$ necesita más de dos términos en sus expansiones de fracciones egipcias. La versión generalizada de la conjetura es equivalente a la afirmación de que el número de fracciones inexpandibles no es sólo sublinear sino atado.

Cuando ${displaystyle n}$ es un número extraño, por analogía con el problema de las extrañas expansiones codictivas para las fracciones egipcias, se puede pedir soluciones a ${displaystyle {tfrac {k}{n}}={tfrac {1}{x}}+{tfrac {1}{y}}+{tfrac {1}{z}}}$ en que ${displaystyle x}$ , ${displaystyle y}$ , y ${displaystyle z}$ son números extraños positivos distintos. Las soluciones a esta ecuación se sabe que siempre existen para el caso en que $k = 3$ .

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