Condición de cadena contable

En teoría del orden, se dice que un conjunto parcialmente ordenado X satisface la condición de cadena contable, o es ccc, si cada fuerte la anticadena en X es contable.

Descripción general

En realidad, existen dos condiciones: las condiciones de cadena contables hacia arriba y hacia abajo. Estos no son equivalentes. La condición de cadena contable significa la condición de cadena contable hacia abajo; en otras palabras, no hay dos elementos que tengan un límite inferior común.

Esto se denomina "condición de cadena contable" en lugar del término más lógico "condición anticadena contable" por razones históricas relacionadas con ciertas cadenas de conjuntos abiertos en espacios topológicos y cadenas en álgebras booleanas completas, donde las condiciones de la cadena a veces resultan ser equivalentes a las condiciones anticadena. Por ejemplo, si κ es un cardinal, entonces en un álgebra booleana completa cada anticadena tiene un tamaño menor que κ si y solo si no hay una secuencia κ descendente de elementos, por lo que las condiciones de la cadena son equivalentes a las condiciones de la anticadena.

En el enunciado del axioma de Martin se utilizan órdenes parciales y espacios que satisfacen el ccc.

En la teoría del forzamiento, se utilizan órdenes parciales ccc porque forzar con cualquier conjunto genérico sobre dicho orden preserva los cardinales y las cofinalidades. Además, la propiedad ccc se conserva mediante iteraciones de soporte finitas (ver forzado iterado). Para obtener más información sobre ccc en el contexto del forzamiento, consulte Forzamiento (teoría de conjuntos) § La condición de la cadena contable.

De manera más general, si κ es cardinal, entonces se dice que un poset satisface la condición de la cadena κ si cada anticadena tiene un tamaño menor que κ. La condición de cadena contable es la condición de cadena ℵ₁.

Ejemplos y propiedades en topología

Se dice que un espacio topológico satisface la condición de cadena contable, o la condición de Suslin, si el conjunto parcialmente ordenado de subconjuntos abiertos no vacíos de X satisface la condición de cadena contable, es decir, cada colección disjunta por pares de subconjuntos abiertos no vacíos de X es contable. El nombre proviene del problema de Suslin.

• Cada espacio separable topológico es ccc. Además, el espacio de productos de la mayoría c=2א א 0{displaystyle {Mathfrak}=2^{aleph - Sí. espacios separables es un espacio separable y, por lo tanto, ccc.
• Un espacio métrico es ccc si es separable.
• En general, un espacio topológico ccc no necesita ser separable. Por ejemplo, {}0,1}22א א 0{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ ♪♪ con la topología del producto es ccc, no separable.
• Los espacios ccc paracompactos son Lindelöf.