Complejificación

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En matemáticas, la complejización de un espacio vectorial $V$ sobre el campo de números reales (un "espacio vectorial real") produce un espacio vectorial $V C$ sobre el campo de números complejos, obtenido extendiendo formalmente la escala de vectores por números reales para incluir su escala ("multiplicación") por números complejos. Cualquier base para $V$ (un espacio sobre los números reales) también puede servir como base para $V C$ sobre los números complejos.

Definición formal

Vamos. ${displaystyle V}$ ser un verdadero espacio vectorial. El complejidad de $V$ se define tomando el producto tensor de ${displaystyle V}$ con los números complejos (pensado como un espacio vectorial de 2 dimensiones sobre los reinos):

{displaystyle V^{Mathbb {C}=Votimes _{mathbb Mathbb {C}

El subscripto, ${displaystyle mathbb {R}$ , en el producto tensor indica que el producto tensor se toma sobre los números reales (desde ${displaystyle V}$ es un espacio vectorial real esta es la única opción razonable de todos modos, por lo que el subscript puede ser omitido con seguridad). Como está, ${displaystyle V^{Mathbb {C}$ es sólo un espacio vectorial real. Sin embargo, podemos hacer ${displaystyle V^{Mathbb {C}$ en un espacio vectorial complejo definiendo la multiplicación compleja como sigue:

{displaystyle alpha (votimes beta)=votimes (alpha beta)qquad {mbox{ for all }vin V{mbox{ and }}alphabeta in mathbb {C}

De manera más general, la complejización es un ejemplo de extensión de escalares (aquí extendiendo escalares de números reales a números complejos) que se puede hacer para cualquier extensión de campo, o incluso para cualquier morfismo de anillos.

Formalmente, la complejización es un funtor $Vect R \to Vect C$ , de la categoría de espacios vectoriales reales a la categoría de espacios vectoriales complejos. Este es el funtor adjunto (específicamente el adjunto izquierdo) del funtor olvidadizo $Vect C \to Vect R$ olvidándose de la compleja estructura.

Este olvido de la compleja estructura de un complejo espacio vectorial ${displaystyle V}$ se llama descomplexification (o a veces)realificación"). La descomplexificación de un espacio vectorial complejo ${displaystyle V}$ con base ${displaystyle e_{mu}}$ elimina la posibilidad de multiplicación compleja de los escalares, dando así un espacio vectorial real ${displaystyle W_{fnMithbb {R}$ dos veces la dimensión con base ${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif}$

Propiedades básicas

Por la naturaleza del producto tensorial, cada vector $v$ en $V C$ se puede escribir de forma única en el formulario

{displaystyle v=v_{1}otimes 1+v_{2}otimes i}

donde $v 1$ y $v < sub>2$ son vectores en $V$ . Es una práctica común eliminar el símbolo del producto tensorial y simplemente escribir

{displaystyle v=v_{1}+iv_{2}.

La multiplicación por el número complejo $a + i b$ viene dada por la regla habitual

{displaystyle (a+ib)(v_{1}+iv_{2}=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).,}

Entonces podemos considerar $V C$ como la suma directa de dos copias de $V$ :

{displaystyle V^{Mathbb {C}cong Voplus iV}

con la regla anterior para la multiplicación por números complejos.

Hay una incrustación natural de $V$ en $V C$ dado por

{displaystyle vmapsto votimes 1.}

El espacio vectorial $V$ puede entonces considerarse como un subespacio real de $V C$ . Si $V$ tiene una base ${e i}$ (sobre el campo $R$ ) luego una base correspondiente para $< i>V C$ viene dado por ${e i \otimes 1 }$ sobre el campo $C$ . La compleja dimensión de $V C < /span> es por lo tanto igual a la dimensión real de V :$

{displaystyle dim _{mathbb - Sí. {C}=dim _{mathbb V.

Alternativamente, en lugar de usar productos tensoriales, se puede usar esta suma directa como la definición de la complejización:

{displaystyle V^{Mathbb [C]:=Voplus V,}

Donde ${displaystyle V^{Mathbb {C}$ se le da una estructura de complejo lineal por el operador $J$ definidas ${displaystyle J(v,w):=(-w,v),}$ Donde $J$ codifica la operación de “multiplicación por $i$ . En forma de matriz, $J$ es dado por:

{displaystyle J={begin{bmatrix}0 tarde-I_{V}I_{V} {0end{bmatrix}}}

Esto produce el espacio idéntico – un espacio vectorial real con estructura compleja lineal es datos idénticos a un espacio vectorial complejo – aunque construye el espacio de manera diferente. En consecuencia, ${displaystyle V^{Mathbb {C}$ puede ser escrito como ${displaystyle Voplus JV!$ o ${displaystyle Voplus iV,}$ identificación $V$ con la primera manada directa. Este enfoque es más concreto, y tiene la ventaja de evitar el uso del producto de tensor técnicamente involucrado, pero es ad hoc.

Ejemplos

La complejidad del espacio de coordinación real $R n$ es el espacio de coordinación complejo $C n$ .
Del mismo modo, si $V$ consiste en $m \times n$ matrices con entradas reales, $V C$ consistiría en $m \times n$ matrices con entradas complejas.

Dickson doblando

El proceso de complejización al pasar de $R$ a $C$ fue resumido por matemáticos del siglo XX, incluido Leonard Dickson. Se comienza utilizando el mapeo de identidad $x * = x$ como una involución trivial en $R$ . Las siguientes dos copias de R se utilizan para formar $z = (a b)$ con el complejo conjugación introducida como la involución $z * = (a, - b)$ . Dos elementos $w$ y $z$ en el conjunto duplicado multiplicar por

{displaystyle wz=(a,b)times (c,d)=(ac - d^{*}b, da + bc^{*}).}

Finalmente, al conjunto duplicado se le da una norma $N (z) = z *z$ . Al partir de $R$ con la involución de identidad, el conjunto duplicado es $C con la norma a 2 + b 2 . Si uno duplica C y usa la conjugación (a,b)* = (a *, - b), la construcción produce cuaterniones. Duplicar nuevamente produce octoniones, también llamados números de Cayley. Fue en este punto cuando Dickson, en 1919, contribuyó a descubrir la estructura algebraica.$

El proceso también se puede iniciar con $C$ y la involución trivial $z * = z$ . La norma producida es simplemente $z 2$ , a diferencia de la generación de $C$ duplicando $R$ . Cuando este $C$ se duplica, produce números bicomplejos, y al duplicarlo se producen bicuaterniones, y al duplicarlo nuevamente se obtienen bioctoniones. Cuando el álgebra base es asociativa, el álgebra producida por esta construcción de Cayley-Dickson se llama álgebra de composición ya que se puede demostrar que tiene la propiedad

{displaystyle N(p,q)=N(p),N(q),}

Conjugación compleja

El espacio vectorial complejo $V C$ tiene más estructura que un espacio vectorial complejo ordinario. Viene con un mapa canónico de conjugación compleja:

{displaystyle chi:V^{mathbb {C}to {fnMicrosoft {fnMicrosoft Sans Serif} {C}}}

definido por

{displaystyle chi (votimes z)=votimes {bar {z}.}

El mapa $χ$ puede ser considerado como un mapa conjugado-linear de $V C$ a sí mismo o como un complejo isomorfismo lineal $V C$ su complejo conjugado ${displaystyle {fnMicrosoft {cHFF} {C}}}$ .

Por el contrario, dado un espacio vectorial complejo $W$ con una conjugación compleja $χ$ , $W$ es isomorfo como espacio vectorial complejo a la complejización $V C$ del subespacio real

{displaystyle V={win W:chi (w)=w}

En otras palabras, todos los espacios vectoriales complejos con conjugación compleja son la complejización de un espacio vectorial real.

Por ejemplo, cuando $W = C n$ con la conjugación compleja estándar

{displaystyle chi (z_{1},ldotsz_{n}=({bar {z}_{1},ldots{bar {Z}_{n}}}

el subespacio invariante $V$ es solo el subespacio real $R n$ .

Transformaciones lineales

Dada una transformación lineal real $f : V \to W$ entre dos vectores reales espacios hay una transformación lineal compleja natural

{displaystyle f^{ mathbb - Sí. {C}to W^{mthbb {C}

dado por

{displaystyle f^{mathbb {C}(votimes z)=f(v)otimes z.}

El mapa ${displaystyle f^{ mathbb {C}$ se llama complejidad de f. La complejidad de las transformaciones lineales satisface las siguientes propiedades

${displaystyle (mathrm {id} _{V}) {C}=mathrm {id} _{V^{mathbb {C}$
${displaystyle (fcirc g)^{mathbb {C}=f^{mathbb {C}circ g^ {fnMithbb {C}$
${displaystyle (f+g)^{mathbb {C}=f^{mathbb {C}+g^{mathbb {C}$
${displaystyle (af)^{mathbb {}=af^{mathbb {C}quad forall ain mathbb {R}$

En el lenguaje de la teoría de categorías se dice que la complejización define un funtor (aditivo) desde la categoría de espacios vectoriales reales hasta la categoría de espacios vectoriales complejos.

El mapa $f C$ conmuta con conjugación y así mapea el subespacio real de V^C al subespacio real de $W C$ (a través del mapa $f$ ). Además, un mapa lineal complejo $g : V C \to W C$ es la complejización de un mapa lineal real si y sólo si conmuta con conjugación.

Como ejemplo, considere una transformación lineal de $R n$ a $R m$ pensado como un $m \times n$ . La complejización de esa transformación es exactamente la misma matriz, pero ahora considerada como un mapa lineal de $C n a C m .$

Espacios duales y productos tensoriales

El dual de un espacio vectorial real $V$ es el espacio $V *$ de todos los mapas lineales reales desde $V$ a $R$ . La complejización de $V *$ puede considerarse naturalmente como el espacio de todos los mapas lineales reales de $V$ a $C$ (denotado $Hom R (V, C)$ ). Eso es,

{displaystyle (V^{*}) {C}=V^{*}otimes mathbb {C} cong mathrm {Hom} _{mathbb {R} (V,mathbb {C}).}