Cisoide de Diocles

En geometría, el Cissoid de Diocles (del antiguo griego κισσοειδής (besoeidēs) ' Ivy en forma de hiedra ';; Nombrado por Diocles) es una curva de plano cúbico notable para la propiedad que puede usarse para construir dos proporcionales medios a una relación dada. En particular, se puede usar para duplicar un cubo. Se puede definir como el cissoide de un círculo y una línea tangente a él con respecto al punto en el círculo opuesto al punto de tangencia. De hecho, la familia Curve de Cissoids lleva el nombre de este ejemplo y algunos autores se refieren simplemente como el Cissoid. Tiene una sola cúspide en el poste, y es simétrico sobre el diámetro del círculo, que es la línea de tangencia de la cúspide. La línea es una asíntota. Es un miembro de la Familia de Curvas de De Sluze y, en forma, se asemeja a una tractrix.

Construcción y ecuaciones

Deje que el radio de c be a . Por traducción y rotación, podemos tomar o para ser el origen y el centro del círculo para ser ( a , 0), entonces a is (2 a , 0) . Entonces las ecuaciones polares de l y c son:

${displaystyle {begin{aligned} theta 'dur=2acos theta.end{aligned}}}$

Por construcción, la distancia desde el origen hasta un punto en el cissoide es igual a la diferencia entre las distancias entre el origen y los puntos correspondientes en L y C. En otras palabras, la ecuación polar del cissoide es

${displaystyle r=2asec theta -2acos theta =2a(sec theta -cos theta).}$

Aplicando algunas identidades trigonométricas, esto equivale a

${displaystyle r=2asin ^{2}theta mathbin {/} cos theta =2asin theta tan theta.}$

Sea t = tan θ en la ecuación anterior. Entonces

${displaystyle {begin{aligned} limitx=rcos theta =2asin ^{2}theta ={frac {2atan ^{2}theta }{2}theta }cc}Theta ## {2at^{2} {1+t^{2}\\\\\fnK}}\\\\\fns}\\\\\\\fn\\\\\fnKf}\\fnKfnK}}\\\\\\fnK\\\\fnKfnK\\\fnKfnKfnK\fnKfnKfnK\\\fnK\\fnK\fnK\\fnK\fnKfnK\\\fnK\\fnK\fnK\\fnK\fn}fnK\\\\\\\\\\\fn {2at^{3}{1+t^{2}}end{aligned}}$

son ecuaciones paramétricas para la cisoide.

Convertir la forma polar a coordenadas cartesianas produce

${displaystyle (x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}$

Construcción por doble proyección

Una construcción de brújula y confusión de varios puntos en los procedimientos del cissoides de la siguiente manera. Dada una línea l y un punto o no en l , construye la línea L ' a través de o paralelo a l . Elija un punto variable p en l , y construct q , la proyección ortogonal de p en l ' , entonces r , la proyección ortogonal de q en op . Entonces el Cissoid es el locus de puntos r .

Para ver esto, sea O el origen y L la línea x = 2a como arriba. Sea P el punto (2a, 2en); entonces Q es (0, 2at) y la ecuación de la recta OP es y = < i>tx. La línea que pasa por Q perpendicular a OP< /span> es

${displaystyle t(y-2at)+x=0.}$

Para encontrar el punto de intersección R, establezca y = tx en esta ecuación para obtener

${displaystyle {begin{aligned} {tx-2at)+x=0, x(t^{2}+1)=2at^{2}, x={frac {2at^{2}{2}{2}+1}\\\\\\\c=tx={frac0}{s0}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMi {2at^{3}{t^{2}+1}end{aligned}}$

cuáles son las ecuaciones paramétricas dadas anteriormente.

Si bien esta construcción produce muchos puntos arbitrarios en la cisoide, no puede trazar ningún segmento continuo de la curva.

Construcción de Newton

La siguiente construcción fue dada por Isaac Newton. Sea J una línea y B< /span> un punto que no está en J. Sea ∠BST un ángulo recto que se mueve de manera que < span style="text-decoration:overline;">ST es igual a la distancia desde B a J y T permanecen en J, mientras que la otra pierna < span style="text-decoration:overline;">BS se desliza a lo largo de B. Luego, el punto medio P de ST describe la curva.

Para ver esto, deja que la distancia entre B y J ser 2a. Por traslación y rotación, tome B = (–a, 0) y J la línea x = a. Sea P = (x, y) y sea ψ sea el ángulo entre SB y el eje x; esto es igual al ángulo entre ST y < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">J. Por construcción, PT = a, entonces la distancia de P a J< /span> es a sin ψ. En otras palabras a – x = a sin ψ. Además, SP = a es el y-coordenada de (x, y) si se gira en un ángulo ψ, entonces a = (x + a) sen ψ + y porque ψ. Después de la simplificación, esto produce ecuaciones paramétricas.

${displaystyle x=a(1-sin psi),,y=a{frac {(1-sin psi)^{2}{cos psi}}}}$

Cambiar los parámetros reemplazando ψ con su complemento para obtener

${displaystyle x=a(1-cos psi),,y=a{frac {(1-cos psi)^{2}{sin psi }$

o, aplicando fórmulas de doble ángulo,

${displaystyle x=2asin ^{2}{2}{2psi over 2},,y=a{frac {4sin ^{4}{psover 2}{2sin {psover 2}cos {pss {f}=2a{f} {b}{3}{b}{c}}}} {c}}} {c}}}c}c}c}c}c}c} {c} {c}c}c}cc}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}c}c}c}c}ccccccccc}c}c}cc}c}cc}cccc}cc}c}cc 2}}}$

Pero esta es una ecuación polar.

${displaystyle r=2a{frac {fnMicrosoft Sans Serif} }{cos theta }$

dado arriba con θ = ψ/2.

Tenga en cuenta que, al igual que con la construcción de doble proyección, esto se puede adaptar para producir un dispositivo mecánico que genera la curva.

Problema de Delian

El geómetra griego Diocles utilizó la cisoide para obtener dos medias proporcionales a una relación determinada. Esto significa que las longitudes dadas a y b , la curva se puede utilizar para encontrar u y v de modo que a sea u como u es v como v es el estilo b, es decir, a/u = u/v = v/b, descubierto por Hipócrates de Quíos. Como caso especial, esto se puede utilizar para resolver el problema de Delian: ¿cuánto se debe aumentar la longitud de un cubo para duplicar su volumen? Específicamente, si a es el lado de un cubo y b = 2a, entonces el volumen de un cubo de lado u es

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnK} {fnMicroc} {f}}=a}=a}c}left({frac {u}{a}right)left({u}}right)left({frac}{f} {f} {f} {f}}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn {b}}right)=2a^{3}$

entonces u es el lado de un cubo con el doble de volumen que el cubo original. Sin embargo, tenga en cuenta que esta solución no entra dentro de las reglas de construcción con compás y regla, ya que se basa en la existencia de la cisoide.

Sean a y b< /span> se dará. Es necesario encontrar u para que u ³ = a²b, dando u y v = u²/a como las medias proporcionales. Deja que la cisoide

${displaystyle (x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}$

construirse como arriba, con O el origen, A el punto (2a, 0) y J la línea x = a, también como se indicó anteriormente. Sea C el punto de intersección de J con OA. A partir de la longitud dada b, marque B en J para que CB = b. Dibuja BA y deja que P = (x, y) sea el punto donde intersecta la cisoide. Dibuja OP y deja que se cruce con J< /span> en U. Entonces u = CU es el requerido longitud.

Para ver esto, reescribe la ecuación de la curva como

${displaystyle - Sí.$

y sea N = (x, 0), entonces PN es la perpendicular a OA hasta P. De la ecuación de la curva,

${displaystyle {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}} {fn}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}}} {\fnMicrosoft}}}}} {fnMicrosoft}}}}}}}}}}}}} {\\\\fnMicros}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\.$

A partir de esto,

${displaystyle {frac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft}\\\\\\\\\\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft# {\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft SanscH\\fnMicrosoft\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\fn {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}} {fn}}}}} {f}}}}}} {\fn}}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {.$

Por triángulos semejantes PN/ON = UC/OC y PN/NA = BC/CA. Entonces la ecuación se convierte en

${displaystyle {frac {fnK} {fn} {fnK}}}}={frac}} {f}}} {fn}} {fnK}}} {fnK}}}}} {f}}}} {f}}}}}} {fnKf}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}} {f}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$

${displaystyle {frac {f}{a^{3}}={frac} {f}} {f}}} {f}}}}}} {f}} {f}} {b}{a},,u^{3}=a^{2}b}$

según sea necesario.

Diocles realmente no resolvió el problema de Delian. La razón es que el Cissoid de Diocles no puede construirse perfectamente, al menos no con brújula y recta. Para construir el Cissoid de Diocles, uno construiría un número finito de sus puntos individuales, luego conectaría todos estos puntos para formar una curva. (Un ejemplo de esta construcción se muestra a la derecha). El problema es que no hay una forma bien definida de conectar los puntos. Si están conectados por segmentos de línea, la construcción estará bien definida, pero no será un cissoide exacto de Diocles, sino solo una aproximación. Del mismo modo, si los puntos están conectados con arcos circulares, la construcción estará bien definida, pero incorrecta. O uno podría simplemente dibujar una curva directamente, tratando de mirar la forma de la curva, pero el resultado solo sería conjeturas imprecisas.

Una vez que se haya dibujado el conjunto finito de puntos en el Cissoid, luego línea pc probablemente no se cruzará con uno de estos puntos Exactamente, pero pasará entre ellos, intersectando el Cissoid de Diocles en algún momento cuya ubicación exacta no se ha construido, pero solo se ha aproximado. Una alternativa es seguir agregando puntos construidos al cissoide que se acercan cada vez más a la intersección con la línea PC , pero el número de Los pasos pueden ser infinitos, y los griegos no reconocieron las aproximaciones como límites de pasos infinitos (por lo que estaban muy perplejos por las paradojas de Zeno).

también podría construir un cissoide de Diocles mediante una herramienta mecánica especialmente diseñada para ese propósito, pero esto viola la regla de solo usar la brújula y la recta. Esta regla se estableció por razones de consistencia lógica (axiomática). Permitir la construcción de nuevas herramientas sería como agregar nuevos axiomas, pero se supone que los axiomas son simples y evidentes, pero tales herramientas no lo son. Entonces, por las reglas de la geometría clásica y sintética, Diocles no resolvió el problema de delian, que en realidad no se puede resolver por tales medios.

Por otro lado, si uno acepta que existen cissoides de dióculos, entonces debe existir al menos un ejemplo de dicho cisoide. Este Cissoid podría traducirse, rotarse y expandirse o contratar en tamaño (sin cambiar su forma proporcional) a voluntad para encajar en cualquier posición. Entonces, uno admitiría fácilmente que tal cissoide puede usarse para resolver correctamente el problema de Delian.

como curva de pedal

La curva pedal de una parábola con respecto a su vértice es una cisoide de Diocles. Las propiedades geométricas de las curvas pedales en general producen varios métodos alternativos para construir la cisoide. Son las envolventes de círculos cuyos centros se encuentran en una parábola y que pasan por el vértice de la parábola. Además, si dos parábolas congruentes se colocan vértice a vértice y una se desplaza a lo largo de la otra; el vértice de la parábola rodante trazará la cisoide.

Inversión

El cissoide de Diocles también se puede definir como la curva inversa de una parabola con el centro de la inversión en el vértice. Para ver esto, tome la parabola para ser x = Sí.², en la coordinación polar ${displaystyle rcos theta =(rsin theta)^{2}$ o:

${displaystyle r={fraccos theta } {sin ^{2}theta },}$

La curva inversa es así:

${displaystyle r={fracsin ^{2}theta }=sin theta tan theta}$

que concuerda con la ecuación polar de la cisoide anterior.