Cinco lemas

En matemáticas, especialmente en álgebra homológica y otras aplicaciones de la teoría de categorías abelianas, el lema de los cinco es un lema importante y ampliamente utilizado sobre diagramas conmutativos. El lema de los cinco no solo es válido para categorías abelianas sino que también funciona en la categoría de grupos, por ejemplo.

Los cinco lemas se pueden considerar como una combinación de otros dos teoremas, los cuatro lemas, que son duales entre sí.

Declaraciones

Considere el siguiente diagrama conmutativo en cualquier categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un campo dado) o en la categoría de grupos.

El cinco lema establece que, si las filas son exactas, m y p son isomorfismos, l es un epimorfismo y q es un monomorfismo, entonces n es también un isomorfismo.

Los dos estados de cuatro lemas:

Prueba

El método de prueba que usaremos se conoce comúnmente como búsqueda de diagramas. Probaremos los cinco lemas probando individualmente cada uno de los dos cuatro lemas.

Para realizar el seguimiento de diagramas, asumimos que estamos en una categoría de módulos sobre algún anillo, por lo que podemos hablar de elementos de los objetos en el diagrama y pensar en los morfismos del diagrama como funciones (de hecho, homomorfismos) que actúan sobre esos elementos. Entonces un morfismo es un monomorfismo si y solo si es inyectivo, y es un epimorfismo si y solo si es sobreyectivo. De manera similar, para tratar con la exactitud, podemos pensar en núcleos e imágenes en un sentido de teoría de funciones. La prueba aún se aplicará a cualquier categoría abeliana (pequeña) debido al teorema de incrustación de Mitchell, que establece que cualquier categoría abeliana pequeña puede representarse como una categoría de módulos sobre algún anillo. Para la categoría de grupos, simplemente convierta toda la notación aditiva a continuación en notación multiplicativa, y tenga en cuenta que nunca se usa la conmutatividad del grupo abeliano.

Entonces, para probar (1), suponga que m y p son sobreyectivas y que q es inyectiva.

A proof of (1) in the case where ${displaystyle t(c')=0}$

A proof of (1) in the case where ${displaystyle t(c')neq 0}$ no es cero

• Vamos c ser un elemento de C′.
• Desde p es subjetivo, existe un elemento d dentro D con p()d) t()c).
• Por conmutación del diagrama, u()p()d) = q()j()d)).
• Since im t = ker u por la exactitud, 0 = u()t()c) = u()p()d) = q()j()d)).
• Desde q es inyectable, j()d) = 0, así que d está en ker j = im h.
• Por lo tanto, existe c dentro C con h()c) d.
• Entonces... t()n()c) = p()h()c) = t()c). Desde t es un homomorfismo, sigue que t()c − n()c) = 0.
• Por la exactitud, c − n()c) está en la imagen de s, así que existe b dentro B. con s()b) c − n()c).
• Desde m es subjetivo, podemos encontrar b dentro B tales que b = m()b).
• Por conmutación, n()g()b) = s()m()b) = c − n()c).
• Desde n es un homomorfismo, n()g()b) + c) n()g()b) + n()c) c − n()c) + n()c) c.
• Por lo tanto, n es subjetivo.

Entonces, para probar (2), suponga que m y p son inyectivas y l es sobreyectiva.

A proof of (2)

• Vamos c dentro C ser tal n()c) = 0.
• t()n()c)) es entonces 0.
• Por conmutación, p()h()c) = 0.
• Desde p es inyectable, h()c) = 0.
• Por la exactitud, hay un elemento b de B tales que g()b) c.
• Por conmutación, s()m()b) = n()g()b) = n()c) = 0.
• Por la exactitud, hay entonces un elemento a de A tales que r()a) m()b).
• Desde l es subjetivo, hay a dentro A tales que l()a) a.
• Por conmutación, m()f()a) = r()l()a) = m()b).
• Desde m es inyectable, f()a) b.
• Así que... c = g()f()a)).
• Desde la composición g y f es trivial, c = 0.
• Por lo tanto, n es inyectable.

Combinar los dos cuatro lemas ahora prueba el lema de cinco completo.

Aplicaciones

El lema de los cinco se suele aplicar a secuencias exactas largas: cuando se calcula la homología o la cohomología de un objeto determinado, normalmente se emplea un subobjeto más simple cuya homología/cohomología se conoce y se llega a una secuencia exacta larga que involucra los grupos de homología desconocidos. del objeto original. Esto por sí solo a menudo no es suficiente para determinar los grupos de homología desconocidos, pero si uno puede comparar el objeto original y el subobjeto con los bien entendidos a través de morfismos, entonces se induce un morfismo entre las respectivas secuencias exactas largas, y los cinco lemas pueden entonces utilizarse para determinar los grupos de homología desconocidos.