Significado geometrico

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N-a raíz del producto de n números

Ejemplo de la media geométrica:

l_{g}

(rojo) es la media geométrica de

l_{1}

l_{2}

, en un ejemplo en el que el segmento de línea

{displaystyle l_{2};({overline {BC}})}

se da como perpendicular a

{overline {AB}}

(nota 10 s pausa entre cada carrera de animación)

En matemáticas, la media geométrica es una media o promedio que indica una tendencia central de un conjunto de números usando el producto de sus valores (en oposición a la media aritmética que usa su suma). La media geométrica se define como la raíz enésima del producto de $n$ números, es decir, para un conjunto de números $a 1, a 2,..., a n$ , la media geométrica se define como

{displaystyle left(prod _{i=1}^{n}a_{i}right)^{frac {1}{n}}={sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}cdots a_{n}}}}

o, de manera equivalente, como la media aritmética en escala logarítmica:

{displaystyle exp {left({{frac {1}{n}}sum limits _{i=1}^{n}ln a_{i}}right)}}

Por ejemplo, la media geométrica de dos números, dicen 2 y 8, es sólo la raíz cuadrada de su producto, es decir, ${displaystyle {sqrt {2cdot 8}}=4}$ . Como otro ejemplo, la media geométrica de los tres números 4, 1, y 1/32 es la raíz cubo de su producto (1/8), que es 1/2, es decir, ${displaystyle {sqrt[{3}]{4cdot 1cdot 1/32}}=1/2}$ . La media geométrica se aplica sólo a números positivos.

La media geométrica se usa a menudo para un conjunto de números cuyos valores deben multiplicarse entre sí o son de naturaleza exponencial, como un conjunto de cifras de crecimiento: valores de la población humana o tasas de interés de una inversión financiera a lo largo del tiempo.. También se aplica a la evaluación comparativa, donde es particularmente útil para calcular los medios de las proporciones de aceleración: dado que la media de 0,5x (la mitad de rápido) y 2x (el doble de rápido) será 1 (es decir, sin aceleración en general).

La media geométrica se puede entender en términos de geometría. La media geométrica de dos números, $a$ y $b$ , es la longitud de un lado de un cuadrado cuyo área es igual al área de un rectángulo con los lados de longitudes $a$ y $b$ . Del mismo modo, la media geométrica de tres números, $a$ , $b$ , y $c$ , es la longitud de un borde de un cubo cuyo volumen es el mismo que el de un cuboide con los lados cuyas longitudes son iguales a los tres números dados.

La media geométrica es una de las tres medias pitagóricas clásicas, junto con la media aritmética y la media armónica. Para todos los conjuntos de datos positivos que contienen al menos un par de valores desiguales, la media armónica es siempre la menor de las tres medias, mientras que la media aritmética es siempre la mayor de las tres y la media geométrica siempre está en el medio (ver Desigualdad de valores aritméticos). y medios geométricos.)

Cálculo

La media geométrica de un conjunto de datos ${textstyle left{a_{1},a_{2},,ldots,a_{n}right}}$ es dado por:

{displaystyle left(prod _{i=1}^{n}a_{i}right)^{frac {1}{n}}={sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}cdots a_{n}}}.}

La figura anterior utiliza la notación de pi capital para mostrar una serie de multiplicaciones. Cada lado del signo igual muestra que un conjunto de valores se multiplica en sucesión (el número de valores está representado por "n") para dar un producto total del conjunto, y luego el nla raíz del producto total se toma para dar la media geométrica del conjunto original. Por ejemplo, en un conjunto de cuatro números ${textstyle {1,2,3,4}}$ , el producto de ${textstyle 1times 2times 3times 4}$ es ${textstyle 24}$ , y la media geométrica es la cuarta raíz de 24, o ~ 2.213. El exponente ${textstyle {frac {1}{n}}}$ en el lado izquierdo es equivalente a la toma nraíz. Por ejemplo, ${textstyle 24^{frac {1}{4}}={sqrt[{4}]{24}}}$ .

Medios iterativos

La media geométrica de un conjunto de datos es menor que la media aritmética del conjunto de datos, a menos que todos los miembros del conjunto de datos sean iguales, en cuyo caso las medias geométrica y aritmética son iguales. Esto permite la definición de la media aritmético-geométrica, una intersección de las dos que siempre se encuentra en el medio.

La media geométrica es también la aritmética-harmónica media en el sentido de que si dos secuencias ( ${textstyle a_{n}}$ ) y ( ${textstyle h_{n}}$ ) se definen:

{displaystyle a_{n+1}={frac {a_{n}+h_{n}}{2}},quad a_{0}=x}

{displaystyle h_{n+1}={frac {2}{{frac {1}{a_{n}}}+{frac {1}{h_{n}}}}},quad h_{0}=y}

Donde ${textstyle h_{n+1}}$ es el medio armónico de los valores anteriores de las dos secuencias, entonces ${textstyle a_{n}}$ y ${textstyle h_{n}}$ convergerá a la media geométrica de ${textstyle x}$ y ${textstyle y}$ . Las secuencias convergen a un límite común, y se conserva la media geométrica:

{displaystyle {sqrt {a_{i}h_{i}}}={sqrt {frac {a_{i}+h_{i}}{frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}={sqrt {frac {a_{i}+h_{i}}{{frac {1}{a_{i}}}+{frac {1}{h_{i}}}}}}={sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}}

Reemplazar la media aritmética y armónica por un par de medias generalizadas de exponentes finitos opuestos produce el mismo resultado.

Relación con logaritmos

La media geométrica también se puede expresar como la exponencial de la media aritmética de los logaritmos. Al usar identidades logarítmicas para transformar la fórmula, las multiplicaciones se pueden expresar como una suma y la potencia como una multiplicación:

Cuando $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a1,a2,...... ,an■0{displaystyle a_{1},a_{2},dotsa_{n} {0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b29a12154259df929fb584b1f1f33b76938c5d" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.489ex; height:2.509ex;"/>$

{displaystyle left(prod _{i=1}^{n}a_{i}right)^{frac {1}{n}}=exp left[{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}ln a_{i}right];}

Como:

{displaystyle {begin{aligned}left(prod _{i=1}^{n}a_{i}right)^{frac {1}{n}}&={sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}cdots a_{n}}}\&=e^{ln(a_{1}a_{2}cdots a_{n})^{1/n}}\&=e^{{frac {1}{n}}left(ln a_{1}+ln a_{2}+cdots +ln a_{n}right)}\&=e^{{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}ln a_{i}}\{text{geometric mean(}}a{text{)}}&=e^{{text{arithmetic mean(ln(}}a{text{))}}}end{aligned}}}

alternativamente, utilice cualquier base de número real positivo, tanto para los logaritmos como el número que está elevando al poder de la media aritmética de los logaritmos individuales en esa misma base.

adicionalmente, si los valores negativos de los $a_{i}$ están permitidos,

{displaystyle left(prod _{i=1}^{n}a_{i}right)^{frac {1}{n}}=left(left(-1right)^{m}right)^{frac {1}{n}}exp left[{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}ln left|a_{i}right|right],}

donde $m$ es la cantidad de números negativos.

Esto a veces se llama log-average (para no confundirse con el promedio logarítmico). Es simplemente la computación de la media aritmética de los valores de logaritmo transformados $a_{i}$ (es decir, la media aritmética en la escala de registro) y luego el uso de la exponentiación para devolver el cálculo a la escala original, es decir, es el f-mean generalizado con $f(x)=log x$ . Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 8 se puede calcular como la siguiente, donde $b$ es cualquier base de un logaritmo (comúnmente 2, $e$ o 10):

{displaystyle b^{{frac {1}{2}}left[log _{b}(2)+log _{b}(8)right]}=4}

Relacionado con lo anterior, se puede ver que para una muestra dada de puntos $a_1, ldots, a_n$ , la media geométrica es el minimizador de

{displaystyle f(a)=sum _{i=1}^{n}(log(a_{i})-log(a))^{2}=sum _{i=1}^{n}(log(a_{i}/a))^{2}}

Mientras que la media aritmética es el minimizador de

{displaystyle f(a)=sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}}

Por lo tanto, la media geométrica proporciona un resumen de las muestras cuyo exponente coincide mejor con los exponentes de las muestras (en el sentido de los mínimos cuadrados).

La forma logarítmica de la media geométrica suele ser la alternativa preferida para la implementación en lenguajes informáticos porque calcular el producto de muchos números puede provocar un desbordamiento aritmético o un desbordamiento aritmético insuficiente. Esto es menos probable que ocurra con la suma de los logaritmos de cada número.

Comparación con la media aritmética

Prueba sin palabras de la desigualdad de medios aritméticos y geométricos:

PR

es el diámetro de un círculo centrado en

O

; su radio

AO

es la media aritmética de

a

b

. Usando el teorema geométrico medio, triángulo

{displaystyle PGR}

's altitud

{displaystyle GQ}

es la media geométrica. Para cualquier relación

{displaystyle a:b}

{displaystyle AOgeq GQ}

Prueba geométrica sin palabras max()a,b) ■ root mean square ()RMS) o media cuadráticaQM) ■ aritmética mediaAM) ■ media geométricaMM) ■ significación armónicaHM) ■ min()a,b) de dos números positivos distintos a y b

La media geométrica de un conjunto de datos no vacío de números (positivos) siempre es, como máximo, su media aritmética. La igualdad solo se obtiene cuando todos los números en el conjunto de datos son iguales; de lo contrario, la media geométrica es más pequeña. Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 3 es 2,45, mientras que su media aritmética es 2,5. En particular, esto significa que cuando un conjunto de números no idénticos se somete a una distribución que conserva la media, es decir, los elementos del conjunto se "separan" más entre sí mientras se deja la media aritmética sin cambios, su media geométrica disminuye.

Tasa de crecimiento promedio

En muchos casos la media geométrica es la mejor medida para determinar la tasa de crecimiento promedio de alguna cantidad. (Por ejemplo, si en un año las ventas aumentan en un 80% y el año siguiente en un 25%, el resultado final es el mismo que el de una tasa de crecimiento constante del 50%, ya que la media geométrica de 1.80 y 1.25 es 1.50.) Para determinar la tasa de crecimiento promedio, no es necesario tomar el producto de las tasas de crecimiento medidas a cada paso. Que la cantidad sea dada como la secuencia ${displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$ , donde $n$ es el número de pasos del estado inicial a final. La tasa de crecimiento entre mediciones sucesivas $a_{k}$ y $a_{k+1}$ es $a_{k+1}/a_{k}$ . La media geométrica de estas tasas de crecimiento es entonces sólo:

{displaystyle left({frac {a_{1}}{a_{0}}}{frac {a_{2}}{a_{1}}}cdots {frac {a_{n}}{a_{n-1}}}right)^{frac {1}{n}}=left({frac {a_{n}}{a_{0}}}right)^{frac {1}{n}}.}

Aplicación a valores normalizados

La propiedad fundamental de la media geométrica, que no sostiene para ningún otro medio, es que para dos secuencias $X$ y $Y$ de igual longitud,

{displaystyle operatorname {GM} left({frac {X_{i}}{Y_{i}}}right)={frac {operatorname {GM} (X_{i})}{operatorname {GM} (Y_{i})}}}

Esto hace que la media geométrica sea la única media correcta cuando se promedian los resultados normalizados; es decir, resultados que se presentan como proporciones a valores de referencia. Este es el caso cuando se presenta el rendimiento de una computadora con respecto a una computadora de referencia, o cuando se calcula un índice promedio único de varias fuentes heterogéneas (por ejemplo, esperanza de vida, años de educación y mortalidad infantil). En este escenario, usar la media aritmética o armónica cambiaría la clasificación de los resultados dependiendo de lo que se use como referencia. Por ejemplo, tome la siguiente comparación del tiempo de ejecución de los programas de computadora:

Tabla 1

	Computadora A	Computadora B	Computadora C
Programa 1	1	10	20
Programa 2	1000	100	20
Arithmetic media	500,5	55	20
Medio geométrico	31.622...	31.622...	20
Significado armónico	1.998...	18.182...	20

Los medios aritméticos y geométricos "de acuerdo" que la computadora C es la más rápida. Sin embargo, al presentar valores normalizados apropiadamente y usando la media aritmética, podemos mostrar que cualquiera de las otras dos computadoras es la más rápida. La normalización por el resultado de A da a A como la computadora más rápida según la media aritmética:

Tabla 2

	Computadora A	Computadora B	Computadora C
Programa 1	1	10	20
Programa 2	1	0.1	0,02
Arithmetic media	1	5.05	10.01
Medio geométrico	1	1	0.632...
Significado armónico	1	0.198...	0.039...

mientras que la normalización por el resultado de B da a B como la computadora más rápida según la media aritmética, pero A como la más rápida según la media armónica:

Tabla 3

	Computadora A	Computadora B	Computadora C
Programa 1	0.1	1	2
Programa 2	10	1	0.2
Arithmetic media	5.05	1	1.1
Medio geométrico	1	1	0.632
Significado armónico	0.198...	1	0.363...

y la normalización por el resultado de C da a C como la computadora más rápida según la media aritmética, pero a A como la más rápida según la media armónica:

Cuadro 4

	Computadora A	Computadora B	Computadora C
Programa 1	0,05	0.5	1
Programa 2	50	5	1
Arithmetic media	25.025	2.75	1
Medio geométrico	1.581...	1.581...	1
Significado armónico	0.099...	0.909...	1

En todos los casos, la clasificación dada por la media geométrica se mantiene igual a la obtenida con valores no normalizados.

Sin embargo, este razonamiento ha sido cuestionado. Dar resultados consistentes no siempre es igual a dar los resultados correctos. En general, es más riguroso asignar pesos a cada uno de los programas, calcular el tiempo de ejecución promedio ponderado (usando la media aritmética) y luego normalizar ese resultado a una de las computadoras. Las tres tablas anteriores dan un peso diferente a cada uno de los programas, explicando los resultados inconsistentes de las medias aritmética y armónica (la Tabla 4 da el mismo peso a ambos programas, la Tabla 2 da un peso de 1/1000 al segundo programa, y la Tabla 3 da un peso de 1/100 al segundo programa y 1/10 al primero). Si es posible, se debe evitar el uso de la media geométrica para agregar números de rendimiento, porque multiplicar los tiempos de ejecución no tiene un significado físico, a diferencia de sumar tiempos como en la media aritmética. Las métricas que son inversamente proporcionales al tiempo (aceleración, IPC) deben promediarse utilizando la media armónica.

La media geométrica puede derivarse de la media generalizada como su límite $p$ va a cero. Del mismo modo, esto es posible para la media geométrica ponderada.

Media geométrica de una función continua

Si ${displaystyle f:[a,b]to (0,infty)}$ es una función de valor real continuo positivo, su media geométrica sobre este intervalo es

{displaystyle {text{GM}}[f]=exp left({frac {1}{b-a}}int _{a}^{b}ln f(x)dxright)}

Por ejemplo, tomando la función de identidad $f(x)=x$ sobre el intervalo de unidad muestra que la media geométrica de los números positivos entre 0 y 1 es igual a ${frac {1}{e}}$ .

Aplicaciones

Crecimiento proporcional

La media geométrica es más apropiada que la media aritmética para describir el crecimiento proporcional, tanto el crecimiento exponencial (crecimiento proporcional constante) como el crecimiento variable; en los negocios, la media geométrica de las tasas de crecimiento se conoce como tasa de crecimiento anual compuesta (CAGR). La media geométrica de crecimiento durante períodos produce la tasa de crecimiento constante equivalente que produciría la misma cantidad final.

Supongamos que un naranjo produce 100 naranjas un año y luego 180, 210 y 300 los años siguientes, por lo que el crecimiento es del 80 %, 16,6666 % y 42,8571 % para cada año, respectivamente. Usando la media aritmética calcula un crecimiento promedio (lineal) de 46.5079% (80% + 16.6666% + 42.8571%, esa suma luego dividida por 3). Sin embargo, si empezamos con 100 naranjas y dejamos que crezca un 46,5079 % cada año, el resultado son 314 naranjas, no 300, por lo que el promedio lineal sobre indica el crecimiento año tras año.

En lugar de eso, podemos usar la media geométrica. Crecer con 80% corresponde a multiplicarse con 1.80, por lo que tomamos la media geométrica de 1.80, 1.166666 y 1.428571, es decir. ${displaystyle {sqrt[{3}]{1.80times 1.166666times 1.428571}}approx 1.442249}$ ; por lo tanto el crecimiento "promedio" por año es 44.2249%. Si empezamos con 100 naranjas y dejamos que el número crezca con 44.2249% cada año, el resultado es 300 naranjas.

Financiero

La media geométrica se ha utilizado de vez en cuando para calcular índices financieros (el promedio es sobre los componentes del índice). Por ejemplo, en el pasado, el índice FT 30 usaba una media geométrica. También se utiliza en el recientemente introducido "RPIJ" medida de la inflación en el Reino Unido y en la Unión Europea.

Esto tiene el efecto de subestimar los movimientos en el índice en comparación con el uso de la media aritmética.

Aplicaciones en las ciencias sociales

Aunque la media geométrica ha sido relativamente rara en el cálculo de las estadísticas sociales, a partir de 2010 el Índice de Desarrollo Humano de las Naciones Unidas cambió a este modo de cálculo, con el argumento de que reflejaba mejor la naturaleza no sustituible de las estadísticas que se compilan. y comparado:

La media geométrica disminuye el nivel de sustitución entre las dimensiones [se compara] y al mismo tiempo asegura que una disminución del 1% de la esperanza de vida al nacer tiene el mismo impacto en la IDH como una disminución del 1% en la educación o los ingresos. Así, como base para las comparaciones de los logros, este método también es más respetuoso de las diferencias intrínsecas entre las dimensiones que un promedio simple.

No todos los valores utilizados para calcular el índice de desarrollo humano son normalizados; algunos de ellos tienen la forma ${displaystyle left(X-X_{text{min}}right)/left(X_{text{norm}}-X_{text{min}}right)}$ . Esto hace que la elección del medio geométrico sea menos obvia de lo que uno esperaría de la sección "Propiedades" arriba.

El ingreso equivalente de bienestar distribuido equitativamente asociado con un índice de Atkinson con un parámetro de aversión a la desigualdad de 1,0 es simplemente la media geométrica de los ingresos. Para valores distintos de uno, el valor equivalente es una norma Lp dividida por el número de elementos, siendo p igual a uno menos el parámetro de aversión a la desigualdad.

Geometría

La altitud de un triángulo derecho desde su ángulo recto hasta su hipotenusa es la media geométrica de las longitudes de los segmentos en que se divide la hipotenusa. Usando el teorema de Pitágoras en los 3 triángulos de los lados ()p+q, r, s), ()r, p, h) y ()s, h, q),

{displaystyle {begin{aligned}(p+q)^{2};;&=quad r^{2};;,+quad s^{2}\p^{2}!!+!2pq!+!q^{2}&=overbrace {p^{2}!!+!h^{2}} +overbrace {h^{2}!!+!q^{2}} \2pqquad ;;;&=2h^{2};therefore h!=!{sqrt {pq}}\end{aligned}}}

En el caso de un triángulo rectángulo, su altura es la longitud de una línea que se extiende perpendicularmente desde la hipotenusa hasta su vértice de 90°. Imaginando que esta línea divide la hipotenusa en dos segmentos, la media geométrica de las longitudes de estos segmentos es la longitud de la altura. Esta propiedad se conoce como el teorema de la media geométrica.

En una elipse, el semieje menor es la media geométrica de las distancias máxima y mínima de la elipse a un foco; es también la media geométrica del semieje mayor y del semilato recto. El semieje mayor de una elipse es la media geométrica de la distancia desde el centro a cualquiera de los focos y la distancia desde el centro a cualquier directriz.

Otra forma de pensarlo es la siguiente:

Considere un círculo con radio $r$ . Ahora tome dos puntos diametralmente opuestos en el círculo y aplique presión desde ambos extremos para deformarlo en un elipse con ejes semi-major y semi-minor de longitudes $a$ y $b$ .

Dado que el área del círculo y la elipse se mantienen iguales, tenemos:

${displaystyle {begin{aligned}pi r^{2}&=pi ab\r^{2}&=ab\r&={sqrt {ab}}end{aligned}}}$

El radio del círculo es la media geométrica de los ejes semi-mayor y semi-menor de la elipse formada al deformar el círculo.

La distancia al horizonte de una esfera es aproximadamente igual a la media geométrica de la distancia al punto más cercano de la esfera y la distancia al punto más lejano de la esfera cuando la distancia al punto más cercano de la esfera es pequeña.

Tanto en la aproximación de la cuadratura del círculo según S.A. Ramanujan (1914) como en la construcción del Heptadecágono según "enviado por T. P. Stowell, acreditado a Leybourn's Math. Repositorio, 1818", se emplea la media geométrica.

Relaciones de aspecto

Comparación de área igual de las ratios de aspecto utilizadas por Kerns Powers para derivar el estándar SMPTE 16:9. TV 4:3/1.33 en rojo, 1.66 en naranja, 16:9/1.77 en azul, 1.85 en amarillo, Panavision/2.2 en mauve y CinemaScope/2.35 en púrpura.

La media geométrica se ha utilizado para elegir una relación de aspecto de compromiso en películas y videos: dadas dos relaciones de aspecto, la media geométrica de ellas proporciona un compromiso entre ellas, distorsionando o recortando ambas en algún sentido por igual. Concretamente, dos rectángulos de igual área (con el mismo centro y lados paralelos) de distinta relación de aspecto se cortan en un rectángulo cuyo aspecto es la media geométrica, y su casco (rectángulo más pequeño que los contiene a ambos) tiene también la relación de aspecto de su significado geometrico.

En la elección de 16:9 relación de aspecto por el SMPTE, balanceando 2.35 y 4:3, la media geométrica es ${textstyle {sqrt {2.35times {frac {4}{3}}}}approx 1.7701}$ , y así ${textstyle 16:9=1.77{overline {7}}}$ ... fue elegido. Esto fue descubierto empíricamente por Kerns Powers, que cortó rectángulos con áreas iguales y los moldeó para que coincidan cada una de las relaciones de aspecto populares. Cuando se superpone con sus puntos centrales alineados, encontró que todos esos rectángulos de la relación de aspecto encajan dentro de un rectángulo exterior con una relación de aspecto de 1.77:1 y todos ellos también cubrieron un rectángulo interior común más pequeño con la misma relación de aspecto 1.77:1. El valor encontrado por Powers es exactamente la media geométrica de las ratios de aspecto extremo, 4:3(1.33:1) y CinemaScope(2.35:1), que coincide ${textstyle 16:9}$ () ${textstyle 1.77{overline {7}}:1}$ ). Las ratios intermedias no tienen efecto en el resultado, sólo las dos ratios extremas.

Aplicar la misma técnica media geométrica a 16:9 y 4:3 produce aproximadamente los 14:9 ( ${textstyle 1.55{overline {5}}}$ ...) ratio de aspecto, que también se utiliza como un compromiso entre estas ratios. En este caso 14:9 es exactamente el aritmética media de ${textstyle 16:9}$ y ${textstyle 4:3=12:9}$ , ya que 14 es el promedio de 16 y 12, mientras que el preciso geométrica es ${textstyle {sqrt {{frac {16}{9}}times {frac {4}{3}}}}approx 1.5396approx 13.8:9,}$ pero los dos diferentes medios, aritmética y geométrica, son aproximadamente iguales porque ambos números están suficientemente cerca uno del otro (una diferencia de menos del 2%).

Formatos de papel

La media geométrica también se utiliza para calcular formatos de papel serie B y C. El $B_{n}$ formato tiene un área que es la media geométrica de las áreas $A_{n}$ y ${displaystyle A_{n-1}}$ . Por ejemplo, el área de un papel B1 es ${displaystyle {frac {sqrt {2}}{2}}mathrm {m} ^{2}}$ , porque es la media geométrica de las áreas de un A0 ( ${displaystyle 1mathrm {m} ^{2}}$ ) y un A1 ( ${displaystyle {frac {1}{2}}mathrm {m} ^{2}}$ papel ${displaystyle {sqrt {1mathrm {m} ^{2}cdot {frac {1}{2}}mathrm {m} ^{2}}}={sqrt {{frac {1}{2}}mathrm {m} ^{4}}}={frac {1}{sqrt {2}}}mathrm {m} ^{2}={frac {sqrt {2}}{2}}mathrm {m} ^{2}}$ ).

El mismo principio se aplica a la serie C, cuya área es la media geométrica de las series A y B. Por ejemplo, el formato C4 tiene un área que es la media geométrica de las áreas de A4 y B4.

Una ventaja que surge de esta relación es que un papel A4 cabe dentro de un sobre C4 y ambos caben dentro de un sobre B4.

Otras aplicaciones

Espectralidad: en el procesamiento de señales, plana espectral, una medida de cómo es plana o arañada un espectro, se define como la relación de la media geométrica del espectro de potencia a su media aritmética.
Recubrimientos antirreflejos: En recubrimientos ópticos, donde es necesario minimizar la reflexión entre dos medios de índices refractivos n₀ y n₂, el índice refractivo óptimo n₁ del recubrimiento antirreflejos es dado por la media geométrica: $n_{1}={sqrt {n_{0}n_{2}}}$ .
Mezcla de color subtráctil: La curva de reflectancia espectral para mezclas de pintura (de igual resistencia a la inclinación, opacidad y dilución) es aproximadamente la media geométrica de las curvas de reflectancia individual de las pinturas computadas en cada longitud de onda de sus espectros.
Procesamiento de imagen: El filtro medio geométrico se utiliza como filtro de ruido en el procesamiento de imágenes.

Notas y referencias

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^ La media geométrica sólo se aplica a los números del mismo signo para evitar tomar la raíz de un producto negativo, que resultaría en números imaginarios, y también para satisfacer ciertas propiedades sobre medios, que se explica más adelante en el artículo. La definición es inequívoca si se permite 0 (que produce una media geométrica de 0), pero puede ser excluida, ya que con frecuencia se desea tomar el logaritmo de medios geométricos (para convertir entre multiplicación y adición), y uno no puede tomar el logaritmo de 0.
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^ Si AC = a BC = b. OC = AM de a y b, y radio r = QO = OG.
Usando el teorema de Pitágoras, QC2 = QO2 + OC2 ∴ QC = √QO2 + OC2 = QM.
Usando el teorema de Pitágoras, OC2 = OG2 + GC2OC2 - OG2 = MM.
Usando triángulos similares, HC/GC = GC/OC ▪ HC = GC2/OC = HM.
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