Centro (teoría de grupos)

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Mesa de Cayley para D4 mostrando elementos del centro, {e, a²}, comulgar con todos los demás elementos (esto se puede ver notando que todas las ocurrencias de un elemento central dado se organizan simétricamente sobre el centro diagonal o notando que la fila y la columna que comienzan con un elemento central dado son transposes entre sí).
∘	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
e	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
b	b	e	a³b	a²b	ab	a³	a²	a
a	a	ab	a²	a³	e	a²b	a³b	b
a²	a²	a²b	a³	e	a	a³b	b	ab
a³	a³	a³b	e	a	a²	b	ab	a²b
ab	ab	a	b	a³b	a²b	e	a³	a²
a²b	a²b	a²	ab	b	a³b	a	e	a³
a³b	a³b	a³	a²b	ab	b	a²	a	e

En álgebra abstracta, el centro de un grupo, $G$ , es el conjunto de elementos que conmutan con cada elemento de $G$ . Se denota $Z(G)$ , del alemán Zentrum, que significa centro. En notación de constructor de conjuntos,

Z(G ♪♪ z ▪ G Silencio g ▪ G, zg = gz}

El centro es un subgrupo normal, $Z(G) ⊲ G$ . Como subgrupo, siempre es característico, pero no necesariamente completamente característico. El grupo cociente, $G / Z(G)$ , es isomorfo al grupo de automorfismo interno, $Posada(G)$ .

Un grupo $G$ es abeliano si y solo si $Z(G) = G$ . En el otro extremo, se dice que un grupo es sin centro si $Z(G)$ es trivial; es decir, consta únicamente del elemento identidad.

Los elementos del centro a veces se denominan centrales.

Como subgrupo

El centro de G es siempre un subgrupo de $G$ . En particular:

$Z(G)$ contiene el elemento de identidad $G$ , porque se comunica con cada elemento de $g$ , por definición: $eg = g = ge$ , donde $e$ es la identidad;
Si $x$ y $Sí.$ están dentro $Z(G)$ , entonces lo es $xy$ , por asociación: $() xy) g = x () #) x () gy) = xg) Sí. = gx) Sí. = g () xy)$ para cada uno $g ▪ G$ i.e., $Z(G)$ está cerrado;
Si $x$ está dentro $Z(G)$ , entonces lo es $x -1$ como, para todos $g$ dentro $G$ , $x -1$ comunicaciones con $g$ : $() gx = xg \Rightarrow x -1 gxx -1 = x -1 xgx -1 \Rightarrow x -1 g = gx -1)$ .

Además, el centro de $G$ es siempre un subgrupo normal de $G$ . Dado que todos los elementos de $Z(G)$ conmutan, se cierra bajo conjugación.

Tenga en cuenta que un homomorfismo $f : G \to H$ entre grupos generalmente no restringirse a un homomorfismo entre sus centros. Aunque $f (Z (G))$ conmuta con $f (G)$ , a menos que $f$ sea sobreyectiva $f (Z (G))$ no necesita viajar con todos los $H$ y por lo tanto no necesita ser un subconjunto de $Z (H)$ . Dicho de otra manera, no hay "centro" functor entre las categorías Grp y Ab. Aunque podemos mapear objetos, no podemos mapear flechas.

Clases de conjugación y centralizadores

Por definición, el centro es el conjunto de elementos para los cuales la clase de conjugación de cada elemento es el elemento mismo; es decir, $Cl(g) = {g}$ .

El centro es también la intersección de todos los centralizadores de cada elemento de $G$ . Como los centralizadores son subgrupos, esto nuevamente muestra que el centro es un subgrupo.

Conjugación

Considere el mapa, $f : G \to Aut(G)$ , de $G$ al grupo de automorfismos de $G$ definido por $f (g) = ϕ g$ , donde $ϕ g$ es el automorfismo de $G$ definido por

f () g) h) φ g () h) ghg -1

La función, $f$ es un homomorfismo de grupo, y su núcleo es precisamente el centro de $G$ , y su imagen se denomina grupo de automorfismos internos de $G$ , denotado $Posada(G)$ . Por el primer teorema de isomorfismo obtenemos,

G /Z(G ≃ Inn G)

El cokernel de este mapa es el grupo $Out(G)$ de automorfismos externos, y estos forman la secuencia exacta

1 Levántate Z G  G  G Levántate. G Levántate 1

Ejemplos

El centro de un grupo abeliano, $G$ , es todo $G$ .
El centro del grupo Heisenberg, $H$ , es el conjunto de matrices de la forma: ${fnMicrosoft Sans}}$
El centro de un grupo sencillo nonabeliano es trivial.
El centro del grupo dihedral, $D n$ , es trivial para extraño $n \geq 3$ . Para incluso $n \geq 4$ , el centro consta del elemento de identidad junto con la rotación de 180° del polígono.
El centro del grupo de quaternion, $Q 8 = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}$ , es ${1, -1}$ .
El centro del grupo simétrico, $S n$ , es trivial para $n \geq 3$ .
El centro del grupo alternante, $A n$ , es trivial para $n \geq 4$ .
El centro del grupo lineal general sobre un campo $F$ , $GL n (F)$ , es la colección de matrices escalar, $# n}$ .
El centro del grupo ortogonal, $O n (F)$ es $I n, -I n}$ .
El centro del grupo ortogonal especial, $Así que... n)$ es todo el grupo cuando $n = 2$ , y de otro modo $I n, -I n}$ cuando n es incluso, y trivial cuando n Es extraño.
El centro del grupo unitario, ${displaystyle U(n)}$ es ${displaystyle left{e^{itheta }cdot I_{n}mid theta in [0,2pi)right}$ .
El centro del grupo unitario especial, ${displaystyle operatorname {SU} (n)}$ es ${textstyle leftlbrace e^{itheta }cdot I_{n}mid theta ={frac {2kpi } k=0,1,dotsn-1rightrbrace }$ .
El centro del grupo multiplicador de cuaternones no cero es el grupo multiplicador de números reales no cero.
Usando la ecuación de clase, se puede demostrar que el centro de cualquier grupo de p finito no-trivial es no-trivial.
Si el grupo cociente $G /Z(G)$ es cíclico, $G$ es abeliano (y por lo tanto $G = Z(G)$ Así que $G /Z(G)$ es trivial).
El centro del grupo megaminx es un grupo cíclico de orden 2, y el centro del grupo kilominx es trivial.

Centros superiores

Al cociente por el centro de un grupo se obtiene una secuencia de grupos denominada serie central superior:

() G 0 = G Levántate. G 1 = G 0 /Z(G 0)  G 2 = G 1 /Z(G 1) 

El núcleo del mapa $G \to G i$ es el $i$ ésimo centro de $G$ (segundo centro, tercer centro, etc.) y se denota $Z i (< i>G)$ . Concretamente, el ( $i + 1$ )-er centro son los términos que conmutan con todos los elementos hasta un elemento de la $i$ ésimo centro. Siguiendo esta definición, uno puede definir el centro 0 de un grupo para que sea el subgrupo de identidad. Esto se puede continuar con ordinales transfinitos por inducción transfinita; la unión de todos los centros superiores se llama hipercentro.

La cadena ascendente de subgrupos

1 \leq Z G \leq Z 2 () G \leq \leq

se estabiliza en i (equivalentemente, $Z i (G) = Z i+1 (G)$ ) si y solo si $G i$ no tiene centro.

Ejemplos

Para un grupo sin centro, todos los centros superiores son cero, que es el caso $Z 0 () G) = Z 1 () G)$ de estabilización.
Por la lema de Grün, el cociente de un grupo perfecto por su centro es sin centro, por lo tanto todos los centros superiores son iguales al centro. Este es un caso de estabilización en $Z 1 () G) = Z 2 () G)$ .

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Estanislao Ulam

Profesor Lucasiano de Matemáticas