Casquete esférico

En geometría, un casquete esférico o una cúpula esférica es una porción de una esfera o de una bola cortada por un plano. También es un segmento esférico de una base, es decir, limitado por un solo plano. Si el plano pasa por el centro de la esfera (formando un círculo máximo), de modo que la altura del casquete es igual al radio de la esfera, el casquete esférico se llama hemisferio.

Volumen y superficie

El volumen del casquete esférico y el área de la superficie curva se pueden calcular usando combinaciones de

• El radio ${displaystyle r}$ de la esfera
• El radio ${displaystyle a}$ de la base de la tapa
• La altura ${displaystyle h}$ de la gorra
• El ángulo polar ${displaystyle theta }$ entre los rayos del centro de la esfera al ápice de la tapa (el polo) y el borde del disco formando la base de la tapa

	Uso ${displaystyle r}$ y ${displaystyle h}$	Uso ${displaystyle a}$ y ${displaystyle h}$	Uso ${displaystyle r}$ y ${displaystyle theta }$
Volumen	${displaystyle V={frac} {} {3r-h)}$	${displaystyle V={6}pi h(3a^{2}}}$	${displaystyle V={frac {fnMicroc} }{3}r^{3}(2+cos theta)(1-cos theta)^{2}$
Zona	${displaystyle A=2pi rh}$	${displaystyle A=pi (a^{2}+h^{2}}$	${displaystyle A=2pi r^{2}(1-cos theta)}$

Si ${displaystyle phi }$ denota la latitud en coordenadas geográficas, entonces ${displaystyle theta +phi =pi /2=90^{circ },}$, y ${displaystyle cos theta =sin phi }$.

La relación entre ${displaystyle h}$ y ${displaystyle r}$ es relevante mientras ${displaystyle 0leq hleq 2r}$. Por ejemplo, la sección roja de la ilustración es también una tapa esférica para la cual ${displaystyle h confíar}$.

Las fórmulas usando ${displaystyle r}$ y ${displaystyle h}$ puede ser reescrito para utilizar el radio ${displaystyle a}$ de la base de la tapa en lugar de ${displaystyle r}$, usando el teorema pitagórico:

${displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},}$

para que

${displaystyle r={frac - ¿Qué?$

Sustituyendo esto en las fórmulas se obtiene:

${displaystyle V={frac {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {3a^{2}+3h^{2h} {2h}-hright)={frac {1}{6}pi h(3a^{2}+h^{2}, }$

${displaystyle A=2pi {fnMicroc {fnMicroc}}{2h}h=pi (a^{2}+h^{2}}f}$

Deducir intuitivamente el área de superficie a partir del volumen del sector esférico

Tenga en cuenta que aparte del argumento basado en cálculos a continuación, el área de la capa esférica puede derivarse del volumen ${displaystyle V_{sec}$ del sector esférico, por un argumento intuitivo,

${displaystyle A={frac {3} {fn}V_{sec}={frac} {} {fn} {fnMicroc {2}}} {fnMicroc {2}} {f}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn} {fn}}} {fn}} {fnf} {fnfnKf}f}f}}f} {f}f}f}f}f}f}f}fn}f}f}f}f}f}f}f}fnfnfn}fnfnf}fnfnfnfnfn}fnfnfnfnf}fnfn}fnfnfnf}fnfnfnfn}fnfnfnfn}fnfnh}f}fn ¿Qué? rh,}$

El argumento intuitivo se basa en resumir el volumen total del sector de las pirámides triangulares infinitesimal. Utilizar la fórmula de volumen de pirámide (o cono) ${displaystyle V={frac {3}bh}$, donde ${displaystyle b}$ es el área infinitesimal de cada base piramidal (ubicada en la superficie de la esfera) y ${displaystyle h'}$ es la altura de cada pirámide desde su base a su ápice (en el centro de la esfera). Desde cada uno ${displaystyle h'}$, en el límite, es constante y equivalente al radio ${displaystyle r}$ de la esfera, la suma de las bases piramidales infinitesimal equipararía el área del sector esférico, y:

${displaystyle V_{sec}=sum [V]=sum {fn}bh=sum {1}{3}br={frac} {} {}}}sum} B={frac {r} {3}A}$

Deducir el volumen y el área de superficie mediante cálculo

Las fórmulas de volumen y área se pueden derivar examinando la rotación de la función.

${displaystyle f(x)={sqrt {2}-(x-r)}={sqrt {2rx-x^{2}}}}$

para ${displaystyle xin [0,h]}$, utilizando las fórmulas la superficie de la rotación para el área y el sólido de la revolución para el volumen. El área es

${displaystyle A=2piint _{0}{h}f(x){sqrt {1+f'(x)^{2}},dx}$

El derivado de ${displaystyle f}$ es

${displaystyle f'(x)={frac {r-x}{sqrt {2rx-x^{2}}}}$

y por lo tanto

${displaystyle 1+f'(x)}{2}={frac {}{2rx-x^{2}}}}}$

Por lo tanto, la fórmula para el área es

${displaystyle A=2pi int {fnMicroc {2}{2rx-x^{2}},dx=2pi int ¿Por qué? Rh!$

El volumen es

${displaystyle V=pi int ¿Por qué? ¿Por qué? [1}{3}x^{3}derecha] {pi h^{2}{3} {3r-h)}$

Aplicaciones

Volúmenes de unión e intersección de dos esferas que se cruzan

El volumen de la unión de dos esferas intersectorias de radio ${displaystyle R_{1}$ y ${displaystyle R_{2}$ es

${displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}, }$

dónde

${displaystyle V^{(1)}={frac {4pi} ## {3}r_{1} {3}+{frac {4pi} } {3}r_{2} {3}}$

es la suma de los volúmenes de las dos esferas aisladas, y

${displaystyle V^{(2)}={ frac {pi [3r_{1}-h_{1})+{frac {pic} ¿Qué?$

la suma de los volúmenes de las dos capas esféricas que forman su intersección. Si ${displaystyle dleq r_{1}+r_{2}$ es distancia entre los dos centros de esfera, eliminación de las variables ${displaystyle h_{1}$ y ${displaystyle h_{2}$ guías a

${displaystyle V^{(2)}={frac {pi }{12d}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})} {2}derecha),}$

Volumen de un casquete esférico con base curva

El volumen de una tapa esférica con una base curvada se puede calcular considerando dos esferas con radio ${displaystyle R_{1}$ y ${displaystyle R_{2}$, separado por alguna distancia ${displaystyle d}$, y para lo cual sus superficies se intersectan en ${displaystyle x=h}$. Es decir, la curvatura de la base viene de la esfera 2. El volumen es por lo tanto la diferencia entre el gorro de la esfera 2 (con altura) ${displaystyle (r_{2}-r_{1})-(d-h)}$) y la gorra de la esfera 1 (con altura ${displaystyle h}$),

${displaystyle {begin{aligned}V pl={frac {pi} {2} {3} {3r_{1}-h)-{2} [3r_{2}-r_{1}-(d-h)]} {2} {3} [3r_{2}-(r_{2}-r_{1})-(d-h)]],\V={2} {ccc} {cccc} {ccccccccc}cccccccc} {ccccccccccccccccccccccccccccccccH00}cccccccccccccccH00}ccH00}cccH ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {2r_{2}+r_{1} {d-h}}+1right],end{aligned}}}}}$

Esta fórmula es válida sólo para configuraciones que satisfacen ${displaystyle 0 won_{2}$ y ${displaystyle d-(r_{2}-r_{1} R_{1}$. Si la esfera 2 es muy grande ${displaystyle r_{2}gg R_{1}$, por consiguiente ${displaystyle dgg h}$ y ${displaystyle r_{2}approx ♪$, que es el caso de una tapa esférica con una base que tiene una curvatura insignificante, la ecuación anterior es igual al volumen de una tapa esférica con una base plana, como se esperaba.

Áreas de esferas que se cruzan

Considere dos esferas intersectorias de radio ${displaystyle R_{1}$ y ${displaystyle R_{2}$, con sus centros separados por distancia ${displaystyle d}$. Intersectan si

${displaystyle Silencio_{1}-r_{2} r_{1}+r_{2}$

De la ley de los cosines, el ángulo polar de la capa esférica en la esfera del radio ${displaystyle R_{1}$ es

${displaystyle cos theta ={frac {fn} {2}} {2}} {2}}} {2r_}d}}} {2r_{1}d}}$

Usando esto, la superficie de la capa esférica en la esfera del radio ${displaystyle R_{1}$ es

${displaystyle A_{1}=2pi r_{1}{2}left(1+{frac {fnK} {2} {2}}}} {2}}} {2r_}d}}}right)}$

Área de superficie delimitada por discos paralelos

La superficie curvada del segmento esférico ligada por dos discos paralelos es la diferencia de superficies de sus respectivas capas esféricas. Para una esfera de radio ${displaystyle r}$, y gorros con alturas ${displaystyle h_{1}$ y ${displaystyle h_{2}$, el área es

${displaystyle A=2pi.$

o, utilizando coordenadas geográficas con latitudes ${displaystyle phi _{1}$ y ${displaystyle phi _{2}$,

${displaystyle A=2pi r^{2} Toddsin phi _{1}-sin phi _{2} durable,}$

Por ejemplo, suponiendo que la Tierra es una esfera de 6371 km de radio, la superficie del Ártico (al norte del Círculo Polar Ártico, en la latitud 66,56° en agosto de 2016) es 2π·6371²|sin 90° − sin 66,56°| = 21,04 millones de km², o 0,5·|sin 90° − sin 66,56°| = 4,125% de la superficie total de la Tierra.

Esta fórmula también se puede utilizar para demostrar que la mitad de la superficie de la Tierra se encuentra entre las latitudes 30° Sur y 30° Norte en una zona esférica que abarca todos los trópicos.

Generalizaciones

Secciones de otros sólidos

La cúpula esferoidal se obtiene seccionando una porción de un esferoide de modo que la cúpula resultante sea circularmente simétrica (con un eje de rotación) y, de la misma manera, la cúpula elipsoidal se deriva del elipsoide.

Capa hiperesférica

Generalmente, ${displaystyle n}$- volumen dimensional de una capa hiperesférica de altura ${displaystyle h}$ y radio ${displaystyle r}$ dentro ${displaystyle n}$-dimensional El espacio euclidiano es dado por:

$${displaystyle V={frac {fnMicroc {n-1}{2},r^{n}{, Gamma left ({frac {n+1}{2}right)}int _{0}^{arccos left({frac {r-h}{r}}right)}sin ^{n}theta),mathrm {d} theta }$$

${displaystyle "Gamma"$

${displaystyle Gamma (z)=int ¿Qué?$

La fórmula para ${displaystyle V}$ se puede expresar en términos del volumen de la unidad n-ball ${textstyle C_{n}=pi ^{n/2}/Gamma [1+{frac {n}{2}}}$ y la función hipergeométrica ${displaystyle {}_{2}F_{1}$ o la función beta incompleta regularizada ${displaystyle I_{x}(a,b)}$ como

$${displaystyle V=C_{n},r^{n}left({frac {1}{2},-,{frac {r-h}{r}},{frac} #Gamma [1+{frac {fn} {fn}\fnMicroc}\fnMicroc {n+1}{2}}} {,,}_{2}F_{1}left({tfrac} {1}{2}},{tfrac {1-n}{2}};{tfrac {3}{2}};left({tfrac {r-h}{r}}right)}{2}right)={frac]={frac {1}{2}C_{n},r^{n}I_{(2rh-h^{2}/r^{2}}left({frac} {n+1}{2}},{frac {1}{2}right),}$$

y la fórmula de área ${displaystyle A}$ se puede expresar en términos de la zona de la unidad n-ball ${displaystyle A_{n}={scriptstyle 2pi ^{n/2}/Gamma [{frac {n}{2}}}}$ como

$${displaystyle A={frac {1}{2}A_{n},r^{n-1}I_{(2rh-h^{2}/r^{2}}left({frac} {n-1}{2}},{frac {1} {2}derecha}}$$

${displaystyle 0leq hleq r}$

A principios de (1986, URSS Academ. Press) se derivaron las siguientes fórmulas:

$${displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=C_{n}p_{n}(q),}$$

$${displaystyle q=1-h/r(0leq qleq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2,}$$

$${displaystyle G_{n}(q)=int _{0} {q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.}$$

Para extraño ${displaystyle n=2k+1}$:

$${displaystyle G_{n}(q)=sum ¿Qué? {k}{i}{frac} {q^{2i+1}{2i+1}}$$

Asintóticas

Se muestra en eso, si ${displaystyle nto infty }$ y ${displaystyle q{sqrt {}}}}$Entonces ${displaystyle p_{n}(q)to 1-F({q{sqrt {n}}}}$ Donde ${displaystyle F()}$ es la parte integral de la distribución normal estándar.

Un límite más cuantitativo ${displaystyle A/A_{n}=n^{Theta (1)}cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}$. Para tapas grandes (es decir, cuando ${displaystyle (1-h/r)}cdot n=O(1)}$ como ${displaystyle nto infty }$), el límite simplifica a ${displaystyle n^{Theta (1)}cdot e^{-(1-h/r)^{2}n/2}$.