Cálculo fraccionario

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Rama de análisis matemático con aplicaciones fraccionadas de derivados e integrales

Cálculo fraccional es una rama de análisis matemático que estudia las diferentes posibilidades de definir potencias de número real o potencias de número complejo del operador de diferenciación $D$

{displaystyle Df(x)={frac {d}{dx}}f(x),,}

y del operador de integración $J$

{displaystyle Jf(x)=int _{0}^{x}f(s),ds,,}

y desarrollar un cálculo para dichos operadores generalizando el clásico.

En este contexto, el término poderes se refiere a la aplicación iterativa de un operador lineal $D$ a una función $f$ , es decir, componiendo repetidamente $D$ con sí mismo, como en ${displaystyle D^{n}(f)=(underbrace {Dcirc Dcirc Dcirc cdots circ D} _{n})(f)=underbrace {D(D(D(cdots D} _{n}(f)cdots))).}$

Por ejemplo, se puede pedir una interpretación significativa de

{displaystyle {sqrt {D}}=D^{scriptstyle {frac {1}{2}}}}

como un análogo de la raíz cuadrada funcional para el operador de diferenciación, es decir, una expresión para algún operador lineal que, cuando se aplica dos veces a cualquier función, tendrá el mismo efecto que la diferenciación. De manera más general, uno puede considerar la cuestión de definir un operador lineal

{displaystyle D^{a}}

para cada número real $a$ de tal manera que, cuando $a$ toma un valor entero $ninmathbb{Z}$ , coincide con lo habitual $n$ - diferenciación múltiple $D$ si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0{displaystyle n confiado0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ , y con el $n$ - el poder de $J$ cuando $<math alttext="{displaystyle nn.0{displaystyle n made0} <img alt="n$ .

Una de las motivaciones detrás de la introducción y estudio de este tipo de extensiones del operador de diferenciación $D$ es que los conjuntos de poderes del operador ${displaystyle {D^{a}mid ain mathbb {R} }}$ definidos de esta manera continuo semigrupos con parámetro $a$ , del cual el original discreta semigrupo de ${displaystyle {D^{n}mid nin mathbb {Z} }}$ para entero $n$ es un subgrupo desnumerable: ya que los semigrupos continuos tienen una teoría matemática bien desarrollada, se pueden aplicar a otras ramas de las matemáticas.

Las ecuaciones diferenciales fraccionarias, también conocidas como ecuaciones diferenciales extraordinarias, son una generalización de las ecuaciones diferenciales mediante la aplicación del cálculo fraccionario.

Notas históricas

En matemáticas aplicadas y análisis matemático, una derivada fraccionaria es una derivada de cualquier orden arbitrario, real o complejo. Su primera aparición es en una carta escrita a Guillaume de l'Hôpital por Gottfried Wilhelm Leibniz en 1695. Casi al mismo tiempo, Leibniz le escribió a uno de los hermanos Bernoulli describiendo la similitud entre el teorema del binomio y la regla de Leibniz para el fraccionario. derivada de un producto de dos funciones. El cálculo fraccionario se introdujo en uno de los primeros artículos de Niels Henrik Abel donde se pueden encontrar todos los elementos: la idea de integración y diferenciación de orden fraccionario, la relación mutuamente inversa entre ellos, la comprensión de que la diferenciación e integración de orden fraccionario puede considerarse como la misma operación generalizada, e incluso la notación unificada para diferenciación e integración de orden real arbitrario. Independientemente, Liouville sentó las bases del tema en un artículo de 1832. El autodidacta Oliver Heaviside introdujo el uso práctico de operadores diferenciales fraccionarios en el análisis de líneas de transmisión eléctrica alrededor de 1890. La teoría y las aplicaciones del cálculo fraccionario se expandieron enormemente durante los siglos XIX y XX, y numerosos contribuyentes han dado diferentes definiciones para derivadas fraccionarias e integrales.

Naturaleza de la derivada fraccionaria

El $a$ -la derivada de una función $f$ en un momento $x$ es un propiedad local sólo cuando $a$ es un entero; este no es el caso de los derivados de potencia no-integer. En otras palabras, un derivado fraccional no entero de $f$ a $x=a$ depende de todos los valores $f$ , incluso aquellos lejos de $a$ . Por lo tanto, se espera que la operación derivada fraccional implica algún tipo de condiciones de límites, que implica información sobre la función más adelante.

El derivado fraccional de una función de orden $a$ se define hoy en día a menudo por medio de las transformaciones integrales Fourier o Mellin.

Heurística

Una pregunta bastante natural es si existe un operador lineal $H$ , o semiderivada, tal que

{displaystyle H^{2}f(x)=Df(x)={dfrac {d}{dx}}f(x)=f'(x),.}

Resulta que existe tal operador, y de hecho para cualquier $a > 0$ , existe un operador $P$ tal que

{displaystyle left(P^{a}fright)(x)=f'(x),}

o dicho de otro modo, la definición de $d n y / dx n$ se puede extender a todos los valores reales de $n$ .

Sea $f (x)$ una función definida para $x > 0$ . Forme la integral definida de 0 a $x$ . Llama esto

{displaystyle (Jf)(x)=int _{0}^{x}f(t),dt,.}

Repetir este proceso da

{displaystyle left(J^{2}fright)(x)=int _{0}^{x}(Jf)(t),dt=int _{0}^{x}left(int _{0}^{t}f(s),dsright)dt,,}

La fórmula de Cauchy para la integración repetida, a saber

{displaystyle left(J^{n}fright)(x)={frac {1}{(n-1)!}}int _{0}^{x}left(x-tright)^{n-1}f(t),dt,,}

n

Usar la función gamma para eliminar la naturaleza discreta de la función factorial nos brinda un candidato natural para las aplicaciones fraccionarias del operador integral.

{displaystyle left(J^{alpha }fright)(x)={frac {1}{Gamma (alpha)}}int _{0}^{x}left(x-tright)^{alpha -1}f(t),dt,.}

De hecho, este es un operador bien definido.

Es sencillo demostrar que el operador $J$ satisface

{displaystyle left(J^{alpha }right)left(J^{beta }fright)(x)=left(J^{beta }right)left(J^{alpha }fright)(x)=left(J^{alpha +beta }fright)(x)={frac {1}{Gamma (alpha +beta)}}int _{0}^{x}left(x-tright)^{alpha +beta -1}f(t),dt,.}

Prueba

{displaystyle {begin{aligned}left(J^{alpha }right)left(J^{beta }fright)(x)&={frac {1}{Gamma (alpha)}}int _{0}^{x}(x-t)^{alpha -1}left(J^{beta }fright)(t),dt\&={frac {1}{Gamma (alpha)Gamma (beta)}}int _{0}^{x}int _{0}^{t}left(x-tright)^{alpha -1}left(t-sright)^{beta -1}f(s),ds,dt\&={frac {1}{Gamma (alpha)Gamma (beta)}}int _{0}^{x}f(s)left(int _{s}^{x}left(x-tright)^{alpha -1}left(t-sright)^{beta -1},dtright),dsend{aligned}}}

donde en el último paso intercambiamos el orden de integración y sacamos el

f () s)

factor del

t

integración.

Cambiar variables a $r$ definidas por $t = s + x - s) r$ ,

{displaystyle left(J^{alpha }right)left(J^{beta }fright)(x)={frac {1}{Gamma (alpha)Gamma (beta)}}int _{0}^{x}left(x-sright)^{alpha +beta -1}f(s)left(int _{0}^{1}left(1-rright)^{alpha -1}r^{beta -1},drright),ds}

El integral interior es la función beta que satisface la siguiente propiedad:

{displaystyle int _{0}^{1}left(1-rright)^{alpha -1}r^{beta -1},dr=B(alphabeta)={frac {Gamma (alpha),Gamma (beta)}{Gamma (alpha +beta)}}}

Sustituir de nuevo en la ecuación:

{displaystyle left(J^{alpha }right)left(J^{beta }fright)(x)={frac {1}{Gamma (alpha +beta)}}int _{0}^{x}left(x-sright)^{alpha +beta -1}f(s),ds=left(J^{alpha +beta }fright)(x)}

Intercambiando $α$ y $β$ muestra que el orden en que $J$ El operador se aplica es irrelevante y completa la prueba.

Esta relación se denomina propiedad de semigrupo de operadores fraccionarios de diferencia integral. Desafortunadamente, el proceso comparable para el operador derivado $D$ es significativamente más complejo, pero se puede demostrar que $D$ no es ni conmutativo ni aditivo en general.

Integrales fraccionarias

Integral fraccionaria de Riemann-Liouville

La forma clásica de cálculo fraccionario viene dada por la integral de Riemann-Liouville, que es esencialmente lo que se ha descrito anteriormente. La teoría de la integración fraccionaria para funciones periódicas (por lo tanto, incluye la "condición límite" de repetirse después de un período) está dada por la integral de Weyl. Se define en series de Fourier y requiere que el coeficiente de Fourier constante desaparezca (por lo tanto, se aplica a funciones en el círculo unitario cuyas integrales se evalúan como cero). La integral de Riemann-Liouville existe en dos formas, superior e inferior. Considerando el intervalo $[a, b]$ , las integrales se definen como

{displaystyle {begin{alignedat}{2}_{a}D_{t}^{-alpha }f(t)&={}_{a}I_{t}^{alpha }f(t)&&={frac {1}{Gamma (alpha)}}int _{a}^{t}left(t-tau right)^{alpha -1}f(tau),dtau \_{t}D_{b}^{-alpha }f(t)&={}_{t}I_{b}^{alpha }f(t)&&={frac {1}{Gamma (alpha)}}int _{t}^{b}left(tau -tright)^{alpha -1}f(tau),dtau end{alignedat}}}

Donde el primero es válido para $t > a$ y este último es válido para $t < b$ .

Por el contrario, la derivada de Grünwald-Letnikov comienza con la derivada en lugar de la integral.

Integral fraccionario de Hadamard

La integral fraccionaria de Hadamard fue introducida por Jacques Hadamard y está dada por la siguiente fórmula,

a,.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">aDt− − α α f()t)=1.. ()α α )∫ ∫ at()log⁡ ⁡ tτ τ )α α − − 1f()τ τ )dτ τ τ τ ,t■a.{displaystyle _{a}mathbf {fnMicrosoft Sans Serif} {1}{g}int}int_{a} {c}gn}gnun}gnun}nun}nunci)} {nnunci} {fnunci} {fnunci} {nun} {fnunci} {nunci}nun}nun}nun}nun} {nun} {nun} {nun} {nun} {nun}nun}nun}nun}nun}nun}nun}nun}nun}nun}nunnunnun}nun}nun}nun}nunnun}nunnun}nun}nunnunnunnunnun}nun}nunnun}nunnun}nunnunnunnun}nunnun}a,.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c612d068ec6405224e6707e6850bb6cbd303db" style="vertical-align: -2.671ex; width:54.018ex; height:6.676ex;"/>

Integral fraccionaria de Atangana-Baleanu

La integral fraccionaria de Atangana-Baleanu de una función continua se define como:

{displaystyle ^{AB}{}_{a}I_{t}^{alpha }f(t)={frac {1-alpha }{AB(alpha)}}f(t)+{frac {alpha }{AB(alpha)Gamma (alpha)}}int _{a}^{t}left(t-tau right)^{alpha -1}f(tau),dtau }

Derivadas fraccionales

(feminine)

A diferencia de las derivadas newtonianas clásicas, las derivadas fraccionarias se pueden definir de diversas formas que, a menudo, no conducen todas al mismo resultado, incluso para funciones suaves. Algunos de estos se definen a través de una integral fraccionaria. Debido a la incompatibilidad de las definiciones, con frecuencia es necesario ser explícito sobre qué definición se utiliza.

Derivados fraccionales de un Gaussiano, interpolando continuamente entre la función y su primer derivado.

Derivada fraccionaria de Riemann-Liouville

La derivada correspondiente se calcula utilizando la regla de Lagrange para operadores diferenciales. Cálculo de la $n$ ésima derivada de orden sobre la integral de orden $(n - α)$ , se obtiene la derivada de orden $α$ . Es importante señalar que $n$ es el entero más pequeño mayor que $α$ (es decir, $n = ⌈ α ⌉$ ). Similar a las definiciones de la integral de Riemann-Liouville, la derivada tiene variantes superiores e inferiores.

{displaystyle {begin{alignedat}{2}_{a}D_{t}^{alpha }f(t)&={frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{a}D_{t}^{-(n-alpha)}f(t)&&={frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{a}I_{t}^{n-alpha }f(t)\_{t}D_{b}^{alpha }f(t)&={frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{t}D_{b}^{-(n-alpha)}f(t)&&={frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{t}I_{b}^{n-alpha }f(t)end{alignedat}}}

Derivada fraccionaria de Caputo

Otra opción para calcular derivadas fraccionarias es la derivada fraccionaria de Caputo. Fue presentado por Michele Caputo en su artículo de 1967. A diferencia de la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville, al resolver ecuaciones diferenciales utilizando la definición de Caputo, no es necesario definir las condiciones iniciales de orden fraccionario. La definición de Caputo se ilustra a continuación, donde nuevamente $n = ⌈ α ⌉$ :

{displaystyle {}^{C}D_{t}^{alpha }f(t)={frac {1}{Gamma (n-alpha)}}int _{0}^{t}{frac {f^{(n)}(tau)}{left(t-tau right)^{alpha +1-n}}},dtau.}

Existe la derivada fraccionaria de Caputo definida como:

<math alttext="{displaystyle {}D^{nu }f(t)={frac {1}{Gamma (n-nu)}}int _{0}^{t}(t-u)^{(n-nu -1)}f^{(n)}(u),duqquad (n-1)<nu D.. f()t)=1.. ()n− − .. )∫ ∫ 0t()t− − u)()n− − .. − − 1)f()n)()u)du()n− − 1)... .n{displaystyle {}D^{nu }f(t)={frac {1}{Gamma (n-nu)}int _{0}{t}(t-u)^{(n-nu -1)}f^{(n)}(u),duqquad (n-1) interpretadonu<img alt="{displaystyle {}D^{nu }f(t)={frac {1}{Gamma (n-nu)}}int _{0}^{t}(t-u)^{(n-nu -1)}f^{(n)}(u),duqquad (n-1)<nu

f () t)

{displaystyle {}_{a}^{b}D^{nu }f(t)=int _{a}^{b}phi (nu)left[D^{(nu)}f(t)right],dnu =int _{a}^{b}left[{frac {phi (nu)}{Gamma (1-nu)}}int _{0}^{t}left(t-uright)^{-nu }f'(u),duright],dnu }

φ () .)

Derivada fraccionaria de Caputo-Fabrizio

En un documento de 2015, M. Caputo y M. Fabrizio presentaron una definición de derivación fraccional con un núcleo no singular, para una función $f(t)$ de $C^{1}$ dado por:

{displaystyle _{a}^{CF}D_{t}^{alpha }f(t)={frac {1}{1-alpha }}int _{a}^{t}f'(tau) e^{left(-alpha {frac {t-tau }{1-alpha }}right)} dtau}

Donde $<math alttext="{displaystyle aa.0,α α ▪ ▪ ()0,1]{displaystyle a won0,alpha in (0,1]} <img alt="{displaystyle a$

Derivada fraccional Atangana – Baleanu

(feminine)

En 2016, Atangana y Baleanu sugirieron operadores diferenciales basados en la función generalizada Mittag-Leffler. El objetivo era introducir operadores diferenciales fraccionados con núcleo no local no lineal. Sus operadores diferenciales fraccionados se dan a continuación en sentido Riemann-Liouville y sentido Caputo respectivamente. Para una función $f(t)$ de $C^{1}$ dado por

{displaystyle _{a}^{ABC}D_{t}^{alpha }f(t)={frac {AB(alpha)}{1-alpha }}int _{a}^{t}f'(tau)E_{alpha }left(-alpha {frac {(t-tau)^{alpha }}{1-alpha }}right)dtau}

Si la función es continua, la derivada de Atangana-Baleanu en el sentido de Riemann-Liouville viene dada por:

{displaystyle _{a}^{ABC}D_{t}^{alpha }f(t)={frac {AB(alpha)}{1-alpha }}{frac {d}{dt}}int _{a}^{t}f(tau)E_{alpha }left(-alpha {frac {(t-tau)^{alpha }}{1-alpha }}right)dtau}

El núcleo utilizado en el derivado fraccional Atangana–Baleanu tiene algunas propiedades de una función de distribución acumulativa. Por ejemplo, para todos $alpha in (0,1]$ , la función $E_alpha$ está aumentando en la línea real, converge a ${displaystyle 0}$ dentro $-infty$ , y $E_{alpha }(0)=1$ . Por lo tanto, tenemos eso, la función $xmapsto 1-E_{alpha }(-x^{alpha })$ es la función de distribución acumulativa de una medida de probabilidad en los números reales positivos. La distribución se define, por lo tanto, y cualquiera de sus múltiplos, se llama Mittag-Leffler distribución de orden $alpha$ . También es muy conocido que todas estas distribuciones de probabilidad son absolutamente continuas. En particular, la función Mittag-Leffler tiene un caso particular $E_{1}$ , que es la función exponencial, la distribución Mittag-Leffler del orden $1$ es por lo tanto una distribución exponencial. Sin embargo, para $alpha in (0,1)$ , las distribuciones Mittag-Leffler son de cola pesada. Su transformación Laplace es dada por:

{displaystyle mathbb {E} (e^{-lambda X_{alpha }})={frac {1}{1+lambda ^{alpha }}},}

Esto implica directamente que, para $alpha in (0,1)$ , la expectativa es infinita. Además, estas distribuciones son distribuciones geométricas estables.

Derivada de Riesz

La derivada de Riesz se define como

{displaystyle {mathcal {F}}left{{frac {partial ^{alpha }u}{partial left|xright|^{alpha }}}right}(k)=-left|kright|^{alpha }{mathcal {F}}{u}(k),}

Donde ${mathcal {F}}$ denota la transformación Fourier.

Otros tipos

Los derivados fraccionarios clásicos incluyen:

Grünwald-Letnikov derivative
Sonin-Letnikov derivativo
Liouville derivative
Derivado de Caputo
Hadamard derivative
Marchaud derivative
Riesz derivative
Miller-Ross derivative
Weyl derivative
Erdélyi–Kober derivative
${displaystyle F^{alpha }}$ -derivativo

Los nuevos derivados fraccionarios incluyen:

Coimbra derivative
Katugampola derivada
Hilfer derivative
Davidson derivado
Chen derivative
Caputo Fabrizio derivado
Atangana–Baleanu derivative

Generalizaciones

Operadora Erdélyi – Kober

(feminine)

El operador Erdélyi–Kober es un operador integral introducido por Arthur Erdélyi (1940). y Hermann Kober (1940) y está dada por

{displaystyle {frac {x^{-nu -alpha +1}}{Gamma (alpha)}}int _{0}^{x}left(t-xright)^{alpha -1}t^{-alpha -nu }f(t),dt,,}

que generaliza la integral fraccionaria de Riemann-Liouville y la integral de Weyl.

Cálculo funcional

En el contexto del análisis funcional, las funciones $f (D)$ más generales que las potencias se estudian en el funcional cálculo de la teoría espectral. La teoría de los operadores pseudodiferenciales también permite considerar potencias de $D$ . Los operadores que surgen son ejemplos de operadores integrales singulares; y la generalización de la teoría clásica a dimensiones superiores se denomina teoría de los potenciales de Riesz. Así que hay una serie de teorías contemporáneas disponibles, dentro de las cuales se puede discutir el cálculo fraccionario. Véase también el operador Erdélyi-Kober, importante en la teoría de funciones especiales (Kober 1940), (Erdélyi 1950-1951).

Aplicaciones

Conservación fraccionaria de la masa

Como describen Wheatcraft y Meerschaert (2008), se necesita una ecuación de conservación de masa fraccionada para modelar el flujo de fluido cuando el volumen de control no es lo suficientemente grande en comparación con la escala de heterogeneidad y cuando el flujo dentro del volumen de control no es lineal. En el documento al que se hace referencia, la ecuación de conservación fraccionaria de la masa para el flujo de fluidos es:

{displaystyle -rho left(nabla ^{alpha }cdot {vec {u}}right)=Gamma (alpha +1)Delta x^{1-alpha }rho left(beta _{s}+phi beta _{w}right){frac {partial p}{partial t}}}

Análisis electroquímico

Al estudiar el comportamiento redox de un sustrato en solución, se aplica un voltaje en la superficie de un electrodo para forzar la transferencia de electrones entre el electrodo y el sustrato. La transferencia de electrones resultante se mide como corriente. La corriente depende de la concentración de sustrato en la superficie del electrodo. A medida que se consume el sustrato, el sustrato fresco se difunde hacia el electrodo como se describe en las leyes de difusión de Fick. Tomando la transformada de Laplace de la segunda ley de Fick se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden (aquí en forma adimensional):

{displaystyle {frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)}

cuya solución $C (x, s)$ contiene la mitad de la potencia dependencia de $s$ . Tomando la derivada de $C (x, s)$ y luego la transformada inversa de Laplace produce la siguiente relación:

{displaystyle {frac {d}{dx}}C(x,t)={frac {d^{scriptstyle {frac {1}{2}}}}{dt^{scriptstyle {frac {1}{2}}}}}C(x,t)}

que relaciona la concentración de sustrato en la superficie del electrodo con la corriente. Esta relación se aplica en cinética electroquímica para dilucidar el comportamiento mecanicista. Por ejemplo, se ha utilizado para estudiar la tasa de dimerización de sustratos tras la reducción electroquímica.

Problema de flujo de agua subterránea

En 2013–2014, Atangana et al. describió algunos problemas de flujo de agua subterránea utilizando el concepto de derivada con orden fraccionario. En estos trabajos, la ley de Darcy clásica se generaliza considerando el flujo de agua como una función de una derivada de orden no entero de la cabeza piezométrica. Esta ley generalizada y la ley de conservación de la masa se utilizan luego para derivar una nueva ecuación para el flujo de agua subterránea.

Ecuación de dispersión de advección fraccionaria

Se ha demostrado que esta ecuación es útil para modelar el flujo de contaminantes en medios porosos heterogéneos.

Atangana y Kilicman ampliaron la ecuación de dispersión de advección fraccionaria a una ecuación de orden variable. En su trabajo, la ecuación de dispersión hidrodinámica se generalizó utilizando el concepto de derivada de orden variacional. La ecuación modificada se resolvió numéricamente mediante el método de Crank-Nicolson. La estabilidad y convergencia en simulaciones numéricas mostró que la ecuación modificada es más confiable para predecir el movimiento de la contaminación en acuíferos deformables que las ecuaciones con derivadas enteras y fraccionarias constantes

Modelos de ecuaciones de difusión fraccionaria espacio-temporal

Los procesos de difusión anómalos en medios complejos se pueden caracterizar bien mediante el uso de modelos de ecuaciones de difusión de orden fraccionario. El término de la derivada temporal corresponde al decaimiento de la cola pesada a largo plazo y la derivada espacial a la no localidad de difusión. La ecuación que gobierna la difusión fraccional espacio-tiempo se puede escribir como

{displaystyle {frac {partial ^{alpha }u}{partial t^{alpha }}}=-K(-Delta)^{beta }u.}

Una extensión simple de la derivada fraccionaria es la derivada fraccionaria de orden variable, $α$ y $β$ se transforman en $α (x, t)$ y $β (x, t)$ . Sus aplicaciones en el modelado de difusión anómala se pueden encontrar en la referencia.

Modelos de amortiguamiento estructural

Las derivadas fraccionarias se utilizan para modelar el amortiguamiento viscoelástico en determinados tipos de materiales, como los polímeros.

Controladores PID

La generalización de los controladores PID para usar órdenes fraccionarios puede aumentar su grado de libertad. La nueva ecuación que relaciona la variable de control $u (t)$ en términos de un valor de error $e (t)$ se puede escribir como

{displaystyle u(t)=K_{mathrm {p} }e(t)+K_{mathrm {i} }D_{t}^{-alpha }e(t)+K_{mathrm {d} }D_{t}^{beta }e(t)}

donde $α$ y $β$ son órdenes fraccionarios positivos y $K p$ , $K i$ y $K d$ , todas no negativas, denotan los coeficientes para la proporcional, integral y términos derivados, respectivamente (a veces denominados $P$ , $I$ y $D$ ).

Ecuaciones de ondas acústicas para medios complejos

La propagación de ondas acústicas en medios complejos, como en tejidos biológicos, comúnmente implica atenuación que obedece a una ley de potencia de frecuencia. Este tipo de fenómeno se puede describir utilizando una ecuación de onda causal que incorpora derivadas fraccionarias de tiempo:

{displaystyle nabla ^{2}u-{dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}+tau _{sigma }^{alpha }{dfrac {partial ^{alpha }}{partial t^{alpha }}}nabla ^{2}u-{dfrac {tau _{epsilon }^{beta }}{c_{0}^{2}}}{dfrac {partial ^{beta +2}u}{partial t^{beta +2}}}=0,.}

Véase también Holm & Näsholm (2011) y las referencias que contiene. Dichos modelos están vinculados a la hipótesis comúnmente reconocida de que múltiples fenómenos de relajación dan lugar a la atenuación medida en medios complejos. Este enlace se describe con más detalle en Näsholm & Holm (2011b) y en el documento de la encuesta, así como en el artículo Atenuación acústica. Ver Holm & Nasholm (2013) por un artículo que compara ecuaciones de ondas fraccionarias que modelan la atenuación de la ley de potencia. Este libro sobre la atenuación de la ley de potencias también cubre el tema con más detalle.

Pandey y Holm dieron un significado físico a las ecuaciones diferenciales fraccionarias al derivarlas de principios físicos e interpretar el orden fraccionario en términos de los parámetros de los medios acústicos, por ejemplo en sedimentos marinos granulares no consolidados saturados de fluido. Curiosamente, Pandey y Holm derivaron la ley de Lomnitz en sismología y la ley de Nutting en reología no newtoniana usando el marco del cálculo fraccionario. Se utilizó la ley de Nutting para modelar la propagación de ondas en sedimentos marinos utilizando derivadas fraccionarias.

Ecuación fraccionaria de Schrödinger en teoría cuántica

La ecuación fraccionaria de Schrödinger, una ecuación fundamental de la mecánica cuántica fraccionaria, tiene la siguiente forma:

{displaystyle ihbar {frac {partial psi (mathbf {r}t)}{partial t}}=D_{alpha }left(-hbar ^{2}Delta right)^{frac {alpha }{2}}psi (mathbf {r}t)+V(mathbf {r}t)psi (mathbf {r}t),.}

donde la solución de la ecuación es la función de onda $ψ (r, t)$ – la amplitud de probabilidad mecánica cuántica para que la partícula tenga un vector de posición dado $r$ en cualquier momento $t$ , y $ħ$ es la constante de Planck reducida. La función de energía potencial $V (r, t)$ depende del sistema.

Además, ${textstyle Delta ={frac {partial ^{2}}{partial mathbf {r} ^{2}}}}$ es el operador de Laplace, y $D α$ es una constante de escala con dimensión física $[D α J 1 - α \cdotm α \cdot - α = kg 1 - α \cdotm 2 - α \cdot α - 2$ , (at $α = 2$ , ${textstyle D_{2}={frac {1}{2m}}}$ para una partícula de masa $m$ ), y el operador $() - ▪ 2 Δ) α /2$ es el derivado tridimensional fraccional de Riesz definido por

{displaystyle (-hbar ^{2}Delta)^{frac {alpha }{2}}psi (mathbf {r}t)={frac {1}{(2pi hbar)^{3}}}int d^{3}pe^{{frac {i}{hbar }}mathbf {p} cdot mathbf {r} }|mathbf {p} |^{alpha }varphi (mathbf {p}t),.}

El índice $α$ en la ecuación fraccionaria de Schrödinger es el índice de Lévy, $1 < α \leq 2$ .

Ecuación fraccionaria de Schrödinger de orden variable

Como una generalización natural de la ecuación fraccionaria de Schrödinger, la ecuación fraccionaria de Schrödinger de orden variable se ha explotado para estudiar fenómenos cuánticos fraccionarios:

{displaystyle ihbar {frac {partial psi ^{alpha (mathbf {r})}(mathbf {r}t)}{partial t^{alpha (mathbf {r})}}}=left(-hbar ^{2}Delta right)^{frac {beta (t)}{2}}psi (mathbf {r}t)+V(mathbf {r}t)psi (mathbf {r}t),}

Donde ${textstyle Delta ={frac {partial ^{2}}{partial mathbf {r} ^{2}}}}$ es el operador de Laplace y el operador $() - ▪ 2 Δ) β () t)/2$ es la variable-orden fraccional quantum Riesz derivativo.

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