Bipirámide triangular

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Dos tetrahedra unidos por una cara

En geometría, la bipirámide triangular es el hexaedro con seis caras triangulares, construido uniendo dos tetraedros uno frente al otro. La misma forma también se llama dipirámide triangular o bipirámide trigonal. Si estos tetraedros son regulares, todas las caras de la bipirámide triangular son equiláteras. Es un ejemplo de deltaedro y de sólido de Johnson.

Muchos poliedros están relacionados con la bipirámide triangular, como nuevas formas similares derivadas de diferentes enfoques y el prisma triangular como su poliedro dual. Las muchas aplicaciones de la bipirámide triangular incluyen la geometría molecular de la bipirámide trigonal que describe su grupo de átomos, la solución del problema de Thomson y la representación de sistemas de orden de colores en el siglo XVIII. La bipirámide triangular tiene un gráfico cuya construcción involucra el gráfico de la rueda.

Construcción

Al igual que otras bipirámides, la bipirámide triangular se puede construir mediante la fijación de dos tetraedros cara a cara. Estos tetraedros cubren su base triangular, tal que el poliedro resultante tiene seis triángulos, cinco vértices y nueve bordes. Se dice que la bipirámide triangular es derecho si los tetraedros son simétricamente regulares y ambos de sus apices están en la línea pasando por el centro de la base; de lo contrario, es oblicua. Si los tetraedros son regulares, entonces todos los bordes de la bipirámide triangular son iguales de longitud, formando las caras son triángulos equiláteros. Un poliedro con sólo triángulos equiláteros como caras se llama un deltahedron. Sólo hay ocho diferentes convex deltahedra, uno de los cuales es la bipirámide triangular con caras regulares. Más generalmente, el poliedro convexo en el que todas las caras son regulares es el sólido Johnson, y cada convex deltahedron es un sólido Johnson. La bipirámide triangular con las caras regulares está entre los sólidos Johnson numerados como ${displaystyle J_{12}}$ El sólido de la duodécima Johnson.

Propiedades

La superficie de una bipirámide triangular es seis veces la de todos los triángulos. En el caso de la longitud del borde ${displaystyle a}$ , su superficie es:

{displaystyle {frac {3{sqrt {3}}}{2}}a^{2}approx 2.598a^{2}.}

{displaystyle a}

{displaystyle {frac {sqrt {2}}{6}}a^{3}approx 0.238a^{3}.}

La bipirámide triangular tiene simetría de grupo de puntos tridimensional, el grupo dihedral ${displaystyle D_{3h}}$ de orden doce: la apariencia de la bipirámide triangular no se cambia ya que gira por uno, dos tercios, y ángulo completo alrededor del eje de la simetría (una línea que pasa a través de dos vértices y el centro de base verticalmente), y tiene simetría de espejo relativa a cualquier bisector de la base; también es simétrico al reflejarlo a través de un plano horizontal. El ángulo dihedral de una bipirámide triangular con caras regulares se puede calcular agregando el ángulo de dos tetrahedra regular: el ángulo de tetraedro entre las caras triangulares adyacentes en sí es ${displaystyle arccos(1/3)approx 70.5^{circ }}$ , y el ángulo dihedral de los triángulos adyacentes, en el borde donde dos tetrahedra fijación es dos veces que:

{displaystyle arccos left({frac {1}{3}}right)+arccos left({frac {1}{3}}right)approx 141.1^{circ }.}

Gráfico

Según el teorema de Steinitz, un gráfico puede ser representado como el esqueleto de un poliedro si es planar y gráfico de 3 conexiones. En otras palabras, los bordes de ese gráfico no cruzan sino que sólo intersecan en el punto, y uno de los dos vértices deja un subgrafo conectado cuando se elimina. La bipirámide triangular está representada por un gráfico con nueve bordes, construido añadiendo un vértice que se conecta a otros tres vértices del gráfico de rueda ${displaystyle W_{4}}$ , donde ${displaystyle W_{n}}$ representa el gráfico de la pirámide con ${displaystyle n}$ -base poligonal lateral.

Sajjad, Sardar & Pan (2024) construyó una cadena de gráficos bipiramidales triangulares organizándolos linealmente, como se muestra en la siguiente ilustración. La distancia de resistencia (medición de dos vértices de un gráfico utilizando la red eléctrica) de dicha construcción se puede calcular aplicando los principios de serie y paralelo, la transformación de malla en estrella y la transformación Y-Δ. Su estructura es un ejemplo del estudio de estructuras metal-orgánicas.

Poliedros relacionados

Geometric realization of the Goldner–Harary graph — El gráfico Goldner–Harary representa la bipirámide triangular aumentada por tetrahedra.

Algunos tipos de bipirámides triangulares pueden derivarse de diferentes maneras. Por ejemplo, el Kleetope de poliedros es una construcción que implica la unión de pirámides; en el caso de la bipirámide triangular, su Kleetope se puede construir a partir de una bipirámide triangular uniendo tetraedros en cada una de sus caras, cubriéndolas y reemplazándolas con otros tres triángulos; el esqueleto del poliedro resultante representa el gráfico de Goldner-Harary. Otro tipo de bipirámide triangular es cortando todos sus vértices; este proceso se conoce como truncamiento.

Las bipirámides son el poliedro dual de prismas, por lo que las bipirámides' los vértices corresponden a las caras del prisma, y las aristas entre pares de vértices de uno corresponden a las aristas entre pares de caras del otro. En consecuencia, la dualización de un poliedro dual es el poliedro original mismo. Por tanto, la bipirámide triangular es el poliedro dual del prisma triangular, y viceversa. El prisma triangular tiene cinco caras, nueve aristas y seis vértices, y tiene la misma simetría que la bipirámide triangular.

Aplicaciones

El problema de Thomson se refiere a la configuración de energía mínima de partículas cargadas en una esfera. Una de ellas es una bipirámide triangular, que es una solución conocida para el caso de cinco electrones, colocando los vértices de una bipirámide triangular inscrita en una esfera. Esta solución cuenta con la ayuda de una computadora matemáticamente rigurosa.

En la geometría del compuesto químico, la geometría molecular bipiramidal trigonal puede describirse como el grupo de átomos de la bipirámide triangular. Esta molécula tiene un elemento del grupo principal sin un par solitario activo, como lo describe un modelo que predice la geometría de las moléculas conocido como teoría VSEPR. Algunos ejemplos de esta estructura son el pentafluoruro de fósforo y el pentacloruro de fósforo en fase gaseosa.

En el estudio de la teoría del color, se utilizó la bipirámide triangular para representar el sistema de orden de color tridimensional en colores primarios. El astrónomo alemán Tobias Mayer presentó en 1758 que cada uno de sus vértices representa los colores: el blanco y el negro son, respectivamente, los vértices superior e inferior, mientras que el resto de los vértices son el rojo, el azul y el amarillo.

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