Axiomas de hilbert

axiomas de Hilbert son un conjunto de 20 suposiciones propuestas por David Hilbert en 1899 en su libro Grundlagen der Geometrie (tr. Los fundamentos de Geometría) como base para un tratamiento moderno de la geometría euclidiana. Otras axiomatizaciones modernas bien conocidas de la geometría euclidiana son las de Alfred Tarski y George Birkhoff.

Los axiomas

El sistema de axioma de Hilbert se construye con seis nociones primitivas: tres términos primitivos:

• punto;
• línea;
• avión;

y tres relaciones primitivas:

• Entrenamiento, una relación ternaria que une puntos;
• Lies on (Containment), tres relaciones binarias, un punto de conexión y líneas rectas, un punto de conexión y planos, y un enlace de líneas y planos rectos;
• Congruencia, dos relaciones binarias, un segmento de línea de enlace y un ángulo de conexión, cada una denotado por un infijo ..

Los segmentos de línea, ángulos y triángulos pueden definirse cada uno en términos de puntos y líneas rectas, utilizando las relaciones de entrelaza y contención. Todos los puntos, líneas rectas y planos en los siguientes axiomas son distintos a menos que se indique lo contrario.

Yo. Incidencia

1. Por cada dos puntos A y B existe una línea a que los contiene a ambos. Escribimos AB = a o BA = a. En lugar de "contiene", también podemos emplear otras formas de expresión; por ejemplo, podemos decir "A mentiras a", "A es un punto a", "a pasa A y por B", "a uniones A a B", etc. Si A mentiras a y al mismo tiempo en otra línea b, hacemos uso también de la expresión: "Las líneas a y b tener el punto A en común", etc.
2. Por cada dos puntos no existe más de una línea que los contiene; por consiguiente, si AB = a y AC = a, donde B ل C, entonces también BC = a.
3. Hay al menos dos puntos en una línea. Existen al menos tres puntos que no mienten en la misma línea.
4. Por cada tres puntos A, B, C no situado en la misma línea existe un plano α que contiene todos ellos. Para cada plano existe un punto que está en él. Escribimos ABC = α. Empleamos también las expresiones: "A, B, C mienten α"; "A, B, C son puntos de α", etc.
5. Por cada tres puntos A, B, C que no mienten en la misma línea, no existe más de un avión que los contiene a todos.
6. Si dos puntos A, B de una línea a miente en un avión α, entonces cada punto a mentiras α. En este caso decimos: "La línea a mentiras en el avión α", etc.
7. Si dos aviones α, β Tener un punto A en común, entonces tienen al menos un segundo punto B en común.
8. Hay por lo menos cuatro puntos que no mienten en un avión.

II. Orden

1. Si un punto B mentiras entre puntos A y C, B es también entre C y A, y existe una línea que contiene los puntos distintos A, B, C.
2. Si A y C son dos puntos, entonces existe al menos un punto B en la línea AC tales que C mentiras entre A y B.
3. De los tres puntos situados en una línea, no hay más que uno que se encuentra entre los otros dos.
4. El Axioma de Pasch: A, B, C ser tres puntos que no mienten en la misma línea y dejar a ser una línea en el avión ABC y no pasando por ninguno de los puntos A, B, C. Entonces, si la línea a pasa a través de un punto del segmento AB, también pasará a través de un punto del segmento BC o un punto del segmento AC.

III. Congruencia

1. Si A, B son dos puntos en una línea aY si A′ es un punto sobre la misma o otra línea a′, entonces, en un lado dado de A′ en la línea recta a′, siempre podemos encontrar un punto B′ para que el segmento AB es congruente con el segmento A.B′. Indicamos esta relación por escrito AB. A.B.. Cada segmento es congruente con sí mismo; es decir, siempre tenemos AB. AB.
   Podemos decir brevemente el axioma anterior diciendo que cada segmento puede ser despedido sobre un lado dado de un punto dado de una línea recta dada en al menos una manera.
2. Si un segmento AB es congruente con el segmento A.B′ y también al segmento A.B′′, entonces el segmento A.B′ es congruente con el segmento A.B′′; es decir, si AB. A.B. y AB. A.B.Entonces A.B.. A.B..
3. Vamos. AB y BC ser dos segmentos de una línea a que no tienen puntos en común aparte del punto B, y, además, vamos A.B′ y B.C′ ser dos segmentos de la misma o de otra línea a′ tener, igualmente, ningún punto más que B"en común. Entonces, si AB. A.B. y BC. B.C., tenemos AC. A.C..
4. Dejar un ángulo ∠h,k) se da en el avión α y dejar una línea a′ se dan en un avión α′. Supongamos también que, en el avión α′, un lado definido de la línea recta a"se asignará. Denote by h′ un rayo de la línea recta a′ emanando de un punto O′ de esta línea. Entonces en el avión α′ hay uno y sólo un rayo k′ tal que el ángulo ∠h, k)o ∠k, h), es congruente con el ángulo ∠h′, k′) y al mismo tiempo todos los puntos interiores del ángulo ∠h′, k′) mentira sobre el lado dado a′. Expresamos esta relación por medio de la notación ∠h, k≅h′, k′).
5. Si el ángulo ∠h, k) es congruente con el ángulo ∠h′, k′) y al ángulo ∠h′, k′′, entonces el ángulo ∠h′, k′) es congruente con el ángulo ∠h′, k′′; es decir, si ∠h, k≅h′, k′) y ∠h, k≅h′, k′′Entonces ∠h′, k′)h′, k′′.
6. Si, en los dos triángulos ABC y A.B.C′ las congruencias AB. A.B., AC. A.C., ∠BAC ≅B.A.C. Espera, entonces la congruencia ∠ABC ≅A.B.C. sostiene (y, por un cambio de notación, sigue que ∠ACB ≅A.C.B. también sostiene).

IV. Paralelos

1. El axioma de Euclid: a ser cualquier línea y A un punto no en él. Luego hay en la mayoría de una línea en el avión, determinada por a y A, eso pasa A y no se intersecte a.

V. Continuidad

1. Axiom of Archimedes: Si AB y CD son cualquier segmento entonces existe un número n tales que n segmentos CD construido contigualmente desde A, a lo largo del rayo A a través de B, pasará más allá del punto B.
2. Axioma de la línea completa: Una extensión (una línea extendida de una línea que ya existe, generalmente utilizada en geometría) de un conjunto de puntos en una línea con su orden y relaciones de congruencia que preservarían las relaciones existentes entre los elementos originales, así como las propiedades fundamentales del orden de línea y la congruencia que sigue de Axioms I-III y de V-1 es imposible.

Hilbert ha descartado el axioma

Hilbert (1899) incluyó un axioma 21 que decía lo siguiente:

II.4. Cualesquiera cuatro puntos A, B, C, D de una línea siempre se puede etiquetar para que B mentirá entre A y C y también entre A y D, y, además, eso C mentirá entre A y D y también entre B y D.

Esta declaración también se conoce como teorema de Pasch.

E.H. Moore y R.L. Moore demostraron independientemente que este axioma es redundante, y el anterior publicó este resultado en un artículo que aparece en el Transacciones de la American Mathematical Society en 1902.

Antes de esto, el axioma de Pasch, ahora listado como II.4, estaba numerado como II.5.

Ediciones y traducciones de Grundlagen der Geometrie

La monografía original, basada en sus propias conferencias, fue organizada y escrita por Hilbert para un discurso conmemorativo pronunciado en 1899. Esto fue seguido rápidamente por una traducción al francés, en la que Hilbert añadió V.2, el Axioma de la Completitud. E.J. Townsend y con derechos de autor en 1902. Esta traducción incorporó los cambios realizados en la traducción francesa y, por lo tanto, se considera una traducción de la segunda edición. Hilbert continuó haciendo cambios en el texto y aparecieron varias ediciones en alemán. La séptima edición fue la última que apareció en vida de Hilbert. En el prefacio de esta edición Hilbert escribió:

"La séptima edición actual de mi libro Foundations of Geometry trae mejoras y adiciones considerables a la edición anterior, en parte de mis conferencias posteriores sobre este tema y en parte de las mejoras realizadas entre tanto por otros escritores. El texto principal del libro ha sido revisado en consecuencia."

Nuevas ediciones siguieron a la séptima, pero el texto principal esencialmente no fue revisado. Las modificaciones en estas ediciones se producen en los apéndices y en los suplementos. Los cambios en el texto fueron grandes en comparación con el original y Open Court Publishers, que había publicado la traducción de Townsend, encargó una nueva traducción al inglés. Entonces, la segunda edición en inglés fue traducida por Leo Unger de la décima edición alemana en 1971. Esta traducción incorpora varias revisiones y ampliaciones de las ediciones alemanas posteriores de Paul Bernays.

La traducción de Unger difiere de la traducción de Townsend con respecto a los axiomas en los siguientes aspectos:

• El viejo axioma II.4 es renombrado como Teorema 5 y movido.
• El viejo axioma II.5 (Axioma de Pascua) es renumerado como II.4.
• V.2, el Axiom of Line Completeness, sustituyó:

Axioma de la integridad. A un sistema de puntos, líneas rectas y planos, es imposible añadir otros elementos de tal manera que el sistema así generalizado formará una nueva geometría obedeciendo a todos los cinco grupos de axiomas. En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, si consideramos válidos los cinco grupos de axiomas.

• El viejo axioma V.2 ahora es Teorema 32.

Las dos últimas modificaciones se deben a P. Bernays.

Otros cambios de nota son:

• El término línea recta utilizado por Townsend ha sido reemplazado por línea por todas partes.
• El Axiomas of Incidence fueron llamados Axiomas de conexión por Townsend.

Aplicación

Estos axiomas axiomatizan la geometría sólida euclidiana. Eliminando cinco axiomas que mencionan "plano" de manera esencial, concretamente I.4-8, y modificando III.4 y IV.1 para omitir la mención de los planos, se obtiene una axiomatización de la geometría plana euclidiana.

Los axiomas de Hilbert, a diferencia de los axiomas de Tarski, no constituyen una teoría de primer orden porque los axiomas V.1-2 no pueden expresarse en lógica de primer orden.

El valor de los Grundlagen de Hilbert era más metodológico que sustantivo o pedagógico. Otras contribuciones importantes a la axiomática de la geometría fueron las de Moritz Pasch, Mario Pieri, Oswald Veblen, Edward Vermilye Huntington, Gilbert Robinson y Henry George Forder. El valor de los Grundlagen es su enfoque pionero de las cuestiones metamatemáticas, incluido el uso de modelos para demostrar la independencia de los axiomas; y la necesidad de demostrar la coherencia y la integridad de un sistema de axiomas.

Las matemáticas en el siglo XX evolucionaron hasta convertirse en una red de sistemas formales axiomáticos. Esto estuvo influenciado, en gran medida, por el ejemplo que Hilbert dio en los Grundlagen. Sin embargo, un esfuerzo de 2003 (Meikle y Fleuriot) para formalizar los Grundlagen con una computadora encontró que algunas de las pruebas de Hilbert parecen basarse en diagramas e intuición geométrica, y como tal reveló algunas posibilidades. ambigüedades y omisiones en sus definiciones.