Auto-similitud

Una curva Koch tiene una infinita repetición de la auto-similaridad cuando se magnifica.

Autosimilaridad estándar (trivial).

En matemáticas, un objeto autosimilar es exactamente o aproximadamente similar a una parte de sí mismo (es decir, el todo tiene la misma forma que una o más de las partes). Muchos objetos en el mundo real, como las costas, son estadísticamente similares a sí mismos: partes de ellos muestran las mismas propiedades estadísticas en muchas escalas. La autosimilitud es una propiedad típica de los fractales. La invariancia de escala es una forma exacta de autosimilitud en la que, con cualquier aumento, hay una parte más pequeña del objeto que es similar al todo. Por ejemplo, un lado del copo de nieve de Koch es tanto simétrico como invariable en escala; se puede ampliar continuamente 3x sin cambiar de forma. La similitud no trivial evidente en los fractales se distingue por su fina estructura o detalle en escalas arbitrariamente pequeñas. Como contraejemplo, mientras que cualquier parte de una línea recta puede parecerse al todo, no se revelan más detalles.

Se dice que un fenómeno en desarrollo de tiempo exhibe auto-similaridad si el valor numérico de cierta cantidad observable ${displaystyle f(x,t)}$ medidos en diferentes tiempos son diferentes pero la cantidad sin dimensiones correspondiente al valor dado de ${displaystyle x/t^{z}$ permanecer invariable. Sucede si la cantidad ${displaystyle f(x,t)}$ exhibe escalado dinámico. La idea es sólo una extensión de la idea de similitud de dos triángulos. Tenga en cuenta que dos triángulos son similares si los valores numéricos de sus lados son diferentes sin embargo las cantidades correspondientes, como sus ángulos, coinciden.

Peitgen et al. explican el concepto como tal:

Si partes de una figura son pequeñas réplicas del todo, entonces la figura se llama autosimilarUna figura es estrictamente autosimilar si la figura puede ser descompuesta en partes que son réplicas exactas del todo. Cualquier parte arbitraria contiene una réplica exacta de toda la figura.

Dado que matemáticamente, un fractal puede mostrar autosimilitud bajo un aumento indefinido, es imposible recrearlo físicamente. Peitgen et al. sugiere estudiar la autosimilitud usando aproximaciones:

Para dar un significado operativo a la propiedad de la auto-similaridad, estamos necesariamente restringidos a tratar con aproximaciones finitas de la figura límite. Esto se hace utilizando el método que llamaremos auto-similaridad de caja donde las mediciones se hacen en etapas finitas de la figura utilizando cuadrículas de varios tamaños.

Este vocabulario fue introducido por Benoit Mandelbrot en 1964.

Autoafinidad

Un fractal autoajustado con dimensión Hausdorff=1.8272.

En matemáticas, la autoafinidad es una característica de un fractal cuyas piezas están escaladas en diferentes cantidades en las direcciones x e y. Esto significa que para apreciar la auto-similitud de estos objetos fractales, deben ser reescalados utilizando una transformación afín anisótropa.

Definición

Un espacio topológico compacto X es auto-similar si existe un conjunto finito S indexar un conjunto de homeomorfismos no quirúrgicos ${displaystyle {f}:sin S}$ para la cual

${displaystyle X=bigcup _{sin S}f_{s}(X)}$

Si ${displaystyle Xsubset Y}$, llamamos X auto-similar si es el único subconjunto no vacío Y tal que la ecuación anterior sostiene para ${displaystyle {f}:sin S}$. Nosotros llamamos

${displaystyle {mathfrak}=(X,S,{f_{s}:sin S}}$

una estructura autosimilar. Los homeomorfismos se pueden iterar, dando como resultado un sistema de funciones iteradas. La composición de funciones crea la estructura algebraica de un monoide. Cuando el conjunto S tiene solo dos elementos, el monoide se conoce como monoide diádico. El monoide diádico se puede visualizar como un árbol binario infinito; más generalmente, si el conjunto S tiene elementos p, entonces el monoide puede representarse como un árbol p-ádico.

Los automorfismos del monoide diádico es el grupo modular; los automorfismos pueden representarse como rotaciones hiperbólicas del árbol binario.

Una noción más general que la autosimilitud es la autoafinidad.

Ejemplos

Auto-similaridad en el conjunto Mandelbrot mostrado mediante el zoom en el punto Feigenbaum en (−1.401155189..., 0)

Una imagen del helecho de Barnsley que exhibe afinidad auto-similaridad

El conjunto de Mandelbrot también es autosimilar en torno a los puntos de Misiurewicz.

La autosimilitud tiene consecuencias importantes para el diseño de redes informáticas, ya que el tráfico de red típico tiene propiedades autosimilares. Por ejemplo, en ingeniería de teletráfico, los patrones de tráfico de datos conmutados por paquetes parecen ser estadísticamente similares. Esta propiedad significa que los modelos simples que utilizan una distribución de Poisson son inexactos, y es probable que las redes diseñadas sin tener en cuenta la autosimilitud funcionen de formas inesperadas.

Del mismo modo, los movimientos del mercado de valores se describen como autoafines, es decir, parecen autosimilares cuando se transforman a través de una transformación afín adecuada para el nivel de detalle que se muestra. Andrew Lo describe la autosimilitud del rendimiento del logaritmo del mercado de valores en econometría.

Las reglas de subdivisión finita son una técnica eficaz para crear conjuntos autosimilares, incluidos el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski.

Un triángulo subdividido repetidamente utilizando la subdivisión barígena. El complemento de los grandes círculos se convierte en una alfombra Sierpinski

En cibernética

El modelo de sistema viable de Stafford Beer es un modelo organizacional con una jerarquía autosimilar afín, donde un sistema viable dado es un elemento del Sistema Uno de un sistema viable un nivel recursivo superior, y para quien los elementos de su Sistema Uno son sistemas viables un nivel recursivo más abajo.

En la naturaleza

Cerca de un brócoli románico.

La autosimilitud también se puede encontrar en la naturaleza. A la derecha hay una imagen perfectamente autosimilar generada matemáticamente de un helecho, que tiene un marcado parecido con los helechos naturales. Otras plantas, como el brócoli romanesco, exhiben una fuerte autosimilitud.

En música

• Los cánones más estrictos muestran varios tipos y cantidades de auto-similaridad, al igual que las secciones de fugues.
• Un tono Shepard es auto-similar en los dominios de frecuencia o longitud de onda.
• El compositor danés Per Nørgård ha hecho uso de una secuencia de enteros autosimilares llamada la serie de infinitos en gran parte de su música.
• En el campo de investigación de la recuperación de la información musical, la auto-similaridad se refiere comúnmente al hecho de que la música a menudo consiste en partes que se repiten en el tiempo. En otras palabras, la música es auto-similar bajo traducción temporal, en lugar de (o además) bajo escalado.