Astroide

En matemáticas, una astroide es un tipo particular de curva de ruleta: una hipocicloide con cuatro cúspides. Específicamente, es el lugar geométrico de un punto en un círculo que rueda dentro de un círculo fijo con un radio cuatro veces mayor. Por generación doble, también es el lugar geométrico de un punto en un círculo que rueda dentro de un círculo fijo con 4/3 veces el radio. También se puede definir como la envolvente de un segmento de recta de longitud fija que se mueve manteniendo un punto final en cada uno de los ejes. Se trata, pues, de la envolvente de la barra móvil del trasmallo de Arquímedes.

Su nombre moderno proviene de la palabra griega que significa "estrella". Fue propuesta, originalmente en la forma de "Astrois", por Joseph Johann von Littrow en 1838. La curva tenía una variedad de nombres, incluyendo tetracúspide (aún en uso), cubocicloide y paraciclo. Tiene una forma casi idéntica a la evolución de una elipse.

Ecuaciones

Si el radio del círculo fijo es a entonces la ecuación viene dada por

x2/3+Sí.2/3=a2/3.{displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}

Las ecuaciones paramétricas son

x=a#3⁡ ⁡ t=a4()3#⁡ ⁡ ()t)+#⁡ ⁡ ()3t)),Sí.=apecado3⁡ ⁡ t=a4()3pecado⁡ ⁡ ()t)− − pecado⁡ ⁡ ()3t)).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc}left(3cos left(tright)+cos left(3tright)right),[2ex]y=asin ^{3}t limit={frac}{4}} {b}}}

La ecuación del pedal con respecto al origen es

r2=a2− − 3p2,{displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2}

la ecuación de Whewell es

s=3a4#⁡ ⁡ 2φ φ ,{displaystyle s={3a over 4}cos 2varphi}

R2+4s2=9a24.{displaystyle R^{2}+4s^{2}={frac {9a^{2}{4}}

La ecuación polar es

r=a()#2/3⁡ ⁡ Silencio Silencio +pecado2/3⁡ ⁡ Silencio Silencio )3/2.{displaystyle r={frac {}{cos ^{2/3}theta +sin ^{2/3}theta right)}}}}}}

El astroide es un verdadero locus de una curva algebraica plano del género cero. Tiene la ecuación

()x2+Sí.2− − a2)3+27a2x2Sí.2=0.{displaystyle left(x^{2}+y^{2}-a^{2}right)^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0. }

La astroide es, por tanto, una curva algebraica real de grado seis.

Derivación de la ecuación polinómica

La ecuación polinómica se puede derivar de la ecuación de Leibniz mediante álgebra elemental:

x2/3+Sí.2/3=a2/3.{displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}

Cubo de ambos lados:

x6/3+3x4/3Sí.2/3+3x2/3Sí.4/3+Sí.6/3=a6/3x2+3x2/3Sí.2/3()x2/3+Sí.2/3)+Sí.2=a2x2+Sí.2− − a2=− − 3x2/3Sí.2/3()x2/3+Sí.2/3){3x}{2} {2}2}2}2}=0}ccccH0}ccH0}ccH0}}ccH0}cH0}

Cuba ambos lados nuevamente:

()x2+Sí.2− − a2)3=− − 27x2Sí.2()x2/3+Sí.2/3)3{displaystyle left(x^{2}+y^{2}-a^{2}right)^{3}=-27x^{2}y^{2}left(x^{2/3}+y^{2/3}right)^{3}}}}}}

Pero desde:

x2/3+Sí.2/3=a2/3{displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3},}

Se deduce que

()x2/3+Sí.2/3)3=a2.{displaystyle left(x^{2/3}+y^{2/3}right)^{3}=a^{2}

Por lo tanto:

()x2+Sí.2− − a2)3=− − 27x2Sí.2a2{displaystyle left(x^{2}+y^{2}-a^{2}right)^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}}

()x2+Sí.2− − a2)3+27x2Sí.2a2=0.{displaystyle left(x^{2}+y^{2}-a^{2}right)^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0}

Propiedades métricas

Zona cerrada

38π π a2{displaystyle {frac {3}}pi a^{2}

Longitud de la curva

6a{displaystyle 6a}

Volumen de la superficie de la revolución de la zona del recinto sobre la x-Eje.

32105π π a3{displaystyle {frac {32}}pi a^{3}

Área de la superficie de la revolución x- eje

125π π a2{displaystyle {frac {12}{5}pi a^{2}

Propiedades

El astroide tiene cuatro singularidades cúspides en el plano real, los puntos de la estrella. Tiene dos singularidades de cúspide más complejas en el infinito y cuatro puntos dobles complejos, para un total de diez singularidades.

La curva dual al astroide es la curva cruciforme con ecuación x2Sí.2=x2+Sí.2.{fnMicrosoftstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}El evolute de un astroide es un astrónomo dos veces más grande.

El astroide tiene sólo una línea tangente en cada dirección orientada, lo que lo convierte en un ejemplo de erizo.