Antiprisma cuadrado chato

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Modelo 3D de un antiprisma cuadrado snub

En geometría, el antiprisma cuadrado chato es uno de los sólidos de Johnson (J85). Un sólido de Johnson es uno de los 92 poliedros estrictamente convexos que se componen de caras de polígonos regulares pero que no son poliedros uniformes (es decir, no son sólidos platónicos, sólidos de Arquímedes, prismas o antiprismas). Fueron nombrados por Norman Johnson, quien enumeró estos poliedros por primera vez en 1966.

Es uno de los sólidos elementales de Johnson que no surgen del proceso de "cortar y pegar" manipulaciones de los sólidos platónicos y de Arquímedes, aunque es un pariente del icosaedro que tiene simetría cuádruple en lugar de triple.

Construcción

El antiprisma cuadrado desaire se construye como su nombre indica, un antiprisma cuadrado desairado y representado como ss{2,8}, con s{2,8} como antiprisma cuadrado. Se puede construir en notación poliédrica de Conway como sY4 (pirámide cuadrada chata).

También se puede construir como una girobianticúpula cuadrada, conectando dos anticúpulas con orientaciones giratorias.

Coordenadas cartesianas

Sea k ≈ 0.82354 la raíz positiva del polinomio cúbico

Además, definamos h ≈ 1.35374 por

Entonces, las coordenadas cartesianas de un antiprisma cuadrado chato con longitud de arista 2 están dadas por la unión de las órbitas de los puntos

bajo la acción del grupo generado por una rotación alrededor del eje z de 90° y por una rotación de 180° alrededor de una recta perpendicular a la z -eje y formando un ángulo de 22,5° con el eje x.

Entonces podemos calcular el área de superficie de un antiprisma cuadrado chato de longitud de borde a como

y su volumen como

donde ξ ≈ 3.60122 es la raíz real mayor del polinomio

Antiprismas desairadas

(feminine)

Construido de manera similar, el ss{2,6} es un antiprisma triangular chato (un octaedro de simetría inferior) y resulta como un icosaedro regular. Un antiprisma pentagonal chato, ss{2,10} o antiprismas n superiores pueden construirse de manera similar, pero no como un poliedro convexo con triángulos equiláteros. El sólido de Johnson anterior, el disfenoide chato, también encaja constructivamente como ss{2,4}, pero hay que conservar dos caras digones degeneradas (dibujadas en rojo) en el antiprisma digonal.

Snub antiprismos
Simmetría D2d[2]+,4], (2*2) D3d[2]+,6], (2*3) D4d[2]+,8], (2*4) D5d[2]+,10], (2*5)
Antiprismos
s{2,4}
A2

(v:4; e:8; f:6)

S{2,6}
A3

(v:6; e:12; f:8)

s{2,8}
A4

(v:8; e:16; f:10)

S{2,10}
A5

(v:10; e:20; f:12)
Truncado
antiprismos

Ts{2,4}
tA2
(v:16;e:24;f:10)

Ts{2,6}
tA3
(v:24; e:36; f:14)

ts{2,8}
tA4
(v:32; e:48; f:18)

Ts{2,10}
tA5
(v:40; e:60; f:22)
Simmetría D2[2,2]+, (222) D3[3,2]+, (322) D4, [4,2]+, (422) D5[5,2]+, (522)
Snub
antiprismos
J84 Icosahedron J85 Concave
SY3 = HtA3 SY4 = HtA4 SY5 = HtA5

ss{2,4}
(v:8; e:20; f:14)

ss{2,6}
(v:12; e:30; f:20)

ss{2,8}
(v:16; e:40; f:26)

Ss{2,10}
(v:20; e:50; f:32)

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