Anillo de matriz

En álgebra abstracta, un anillo de matriz es un conjunto de matrices con entradas en un anillo R que forman un anillo bajo la suma y multiplicación de matrices (Lam 1999). El conjunto de todas las matrices n × n con entradas en R es un anillo de matriz denotado M_n(R) (notaciones alternativas: Mat_n( R) y R^n×n). Algunos conjuntos de matrices infinitas forman anillos de matrices infinitos. Cualquier subanillo de un anillo de matriz es un anillo de matriz. Sobre un anillo, se pueden formar anillos matriciales.

Cuando R es un anillo conmutativo, el anillo matricial M_n(R) es un álgebra asociativa sobre R, y puede denominarse álgebra matricial. En esta configuración, si M es una matriz y r está en R, entonces la matriz rM es la matriz M con cada una de sus entradas multiplicada por r.

Ejemplos

• El conjunto de todos n × n matrices cuadradas sobre R, denotado M_n()R). Esto se llama a veces "el anillo lleno de n-por-n matrices".
• El conjunto de todas las matrices triangulares superiores R.
• El conjunto de todas las matrices triangulares inferiores R.
• El conjunto de todas las matrices diagonales R. Este subalgebra de M_n()R) es isomorfo al producto directo de n copias de R.
• Para cualquier conjunto de índice I, el anillo de endomorfismos de la derecha R- Mobiliario ${textstyle M=bigoplus _{iin I}R}$ es isomorfo al anillo ${displaystyle mathbb {CFM} _{I}(R)}$ de matrices finitas columna cuyas entradas están indexadas I × I y cuyas columnas contienen solamente muchas entradas no cero. El anillo de endomorfismos de M considerado como una izquierda R- El modulo es isomorfo al anillo ${displaystyle mathbb {RFM} _{I}(R)}$ de matrices finitas de fila.
• Si R es un álgebra de Banach, entonces la condición de fila o columna finiteness en el punto anterior puede ser relajado. Con la norma en su lugar, se pueden utilizar series absolutamente convergentes en lugar de sumas finitas. Por ejemplo, las matrices cuyas sumas de columna son secuencias absolutamente convergentes forman un anillo. Por supuesto, las matrices cuyas sumas de fila son series absolutamente convergentes también forman un anillo. Esta idea se puede utilizar para representar operadores en los espacios de Hilbert, por ejemplo.
• La intersección de los anillos de matriz final de fila y columna forma un anillo ${displaystyle mathbb {RCFM} _{I}(R)}$.
• Si R es conmutativo, entonces M_n()R) tiene una estructura de un *-álgebra sobre R, donde la involución * en M_n()R) es la transposición de matriz.
• Si A es un álgebra C*, luego M_n()A) es otro álgebra C*. Si A no es universal, entonces M_n()A) también no es universal. Por el teorema Gelfand-Naimark, existe un espacio Hilbert H y un isométrico *-isomorfismo de A a una norma-cerrada subalgebra del álgebra B()H) de operadores continuos; esto identifica M_n()A) con un subalgebra de B()H^⊕n). Para la sencillez, si suponemos que H es separable y A ${displaystyle subseteq }$ B()H) es un álgebra C* unitaria, podemos romper A en un anillo de matriz sobre un álgebra C* más pequeño. Uno puede hacerlo arreglando una proyección p y por lo tanto su proyección ortogonal 1 −p; se puede identificar A con ${displaystyle {begin{pmatrix}pAp pacientep(1-p)(1-p)Ap paciente(1-p)A(1-p)end{pmatrix}}$, donde la multiplicación de la matriz funciona según lo previsto debido a la ortogonalidad de las proyecciones. Para identificar A con un anillo de matriz sobre un álgebra C*, necesitamos que p y 1 −p tienen el mismo "rank"; más precisamente, necesitamos que p y 1 −p son Murray-von Neumann equivalente, es decir, existe una isometría parcial u tales que p = Uu* y 1 − p = u*u. Se puede generalizar fácilmente esto a matrices de tamaños más grandes.
• álgebras de matriz compleja M_n()C) son, hasta el isomorfismo, los únicos álgebras asociativas simples de dimensión finita sobre el campo C de números complejos. Antes de la invención de álgebras matriz, Hamilton en 1853 introdujo un anillo, cuyos elementos llamó biquaternions y autores modernos llamarían tensores en C ⊗_R H, que más tarde se demostró ser isomorfo a M₂()C). Una base de M₂()C) consiste en las cuatro unidades matriz (matrices con una 1 y todas las entradas 0); otra base es dada por la matriz de identidad y las tres matrices Pauli.
• Un anillo de matriz sobre un campo es un álgebra Frobenius, con forma Frobenius dada por el rastro del producto: σ()A, B.AB).

Estructura

• El anillo de matriz M_n()R) se puede identificar con el anillo de endomorfismos de la derecha libre R-module de rango n; es decir, M_n()R)_R()Rⁿ). La multiplicación de matriz corresponde a la composición de endomorfismos.
• El anillo M_n()DSobre un anillo de división D es un anillo sencillo Artiniano, un tipo especial de anillo semisimple. Los anillos ${displaystyle mathbb {CFM} _{I}(D)}$ y ${displaystyle mathbb {RFM} _{I}(D)}$ son no simple y no Artinian si el conjunto I es infinito, pero todavía son anillos lineales completos.
• El teorema Artin-Wedderburn establece que cada anillo semisimple es isomorfo a un producto directo finito ${textstyle prod ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$, para algunos enteros no negativos r, números enteros positivos n_i, y anillos de división D_i.
• Cuando vemos M_n()C) como el anillo de endomorfismos lineales de Cⁿ, esas matrices que desaparecen en un subespacial dado V formar un ideal izquierdo. Por el contrario, para un ideal izquierdo dado I of M_n()C) la intersección de los espacios nulos de todas las matrices en I da un subespacio Cⁿ. Bajo esta construcción, los ideales izquierdos de M_n()C) están en bijección con los subespacios de Cⁿ.
• Hay una bijeción entre los ideales de dos caras de M_n()R) y los ideales de dos caras de R. Es decir, para cada ideal I de R, el conjunto de todos n × n matrices con entradas I es un ideal de M_n()R), y cada ideal de M_n()R) surge de esta manera. Esto implica que M_n()R) es simple si y sólo si R es simple. Para n ≥ 2, no todo ideal izquierdo o ideal derecho de M_n()R) surge por la construcción anterior de un ideal izquierdo o un ideal derecho en R. Por ejemplo, el conjunto de matrices cuyas columnas con índices 2 a n son todas cero formas un ideal izquierdo en M_n()R).
• La correspondencia ideal anterior realmente surge del hecho de que los anillos R y M_n()R) son Morita equivalente. Roughly speaking, this means that the category of left R-módulos y la categoría de M de izquierda_n()RLos horarios son muy similares. Debido a esto, hay una correspondencia bijeactiva natural entre clases de isomorfismo de izquierda R-módulos y M izquierdo_n()R)-modules, y entre las clases de isomorfismo de ideales izquierdos de R e ideales izquierdos de M_n()R). Las declaraciones idénticas sostienen los módulos adecuados y los ideales adecuados. A través de la equivalencia Morita, M_n()R) hereda cualquier propiedad morita-invariante de R, como ser simple, Artinian, Noetherian, primo.

Propiedades

• Si S es un subing de R, entonces M_n()S) es un subring de M_n()R). Por ejemplo, M_n()Z) es un subring de M_n()Q).
• El anillo de matriz M_n()R) es conmutativo si y sólo si n = 0, R = 0, o R es conmutativo y n = 1. De hecho, esto es cierto también para la subringe de matrices triangulares superiores. Aquí hay un ejemplo que muestra dos triangular superior 2 × 2 matrices que no se comunican, suponiendo 1 ≥ 0 dentro R:

  ${begin{bmatrix}1$