Ángulos internos y externos.

En geometría, un ángulo de un polígono está formado por dos lados adyacentes. Para un polígono simple (que no se interseca), independientemente de si es convexo o no convexo, este ángulo se llama ángulo interno (o ángulo interior) si un punto dentro del ángulo está en el interior del polígono. Un polígono tiene exactamente un ángulo interno por vértice.

Si cada ángulo interno de un polígono simple es menor que un ángulo recto (π radianes o 180°), entonces el polígono se llama convexo.

Por el contrario, un ángulo externo (también llamado ángulo de giro o ángulo exterior) es un ángulo formado por un lado de un polígono simple y una línea que se extiende desde un lado adyacente.

Propiedades

• La suma del ángulo interno y el ángulo externo en el mismo vértice es π radians (180°).
• La suma de todos los ángulos internos de un polígono simple es π(n2) - radios o 180(n–2) grados, donde n es el número de lados. La fórmula se puede probar utilizando la inducción matemática: comenzando por un triángulo, para el cual la suma del ángulo es de 180°, luego reemplazando un lado con dos lados conectados a otro vértice, y así sucesivamente.
• La suma de los ángulos externos de cualquier polígono simple convexo o no convexo, si sólo uno de los dos ángulos externos se asume en cada vértice, es 2π radians (360°).
• La medida del ángulo exterior en un vértice no se ve afectada por qué lado se extiende: los dos ángulos exteriores que se pueden formar en un vértice al extender alternadamente un lado o el otro son ángulos verticales y por lo tanto son iguales.

Extensión a polígonos cruzados

El concepto de ángulo interior se puede extender de manera consistente a polígonos cruzados, como los polígonos de estrella, utilizando el concepto de ángulos dirigidos. En general, la suma de los ángulos interiores en grados de cualquier polígono cerrado, incluidos los cruzados (que se intersecan a sí mismos), viene dada por 180(n–2k)°, donde n es el número de vértices y el entero estrictamente positivo k es el número de revoluciones totales (360°) que uno realiza al caminar alrededor del perímetro del polígono. En otras palabras, la suma de todos los ángulos exteriores es 2πk radianes o 360k grados. Ejemplo: para polígonos convexos y cóncavos ordinarios, k = 1, ya que la suma de los ángulos exteriores es 360° y uno realiza sólo una revolución completa al caminar alrededor del perímetro.