Análisis matemático

El análisis es la rama de las matemáticas que se ocupa de las funciones continuas, los límites y las teorías relacionadas, como la diferenciación, la integración, la medida, las secuencias infinitas, las series y las funciones analíticas.

Estas teorías generalmente se estudian en el contexto de números y funciones reales y complejos. El análisis evolucionó del cálculo, que involucra los conceptos y técnicas elementales del análisis. El análisis puede distinguirse de la geometría; sin embargo, se puede aplicar a cualquier espacio de objetos matemáticos que tenga una definición de cercanía (un espacio topológico) o distancias específicas entre objetos (un espacio métrico).

Historia

Antiguo

El análisis matemático se desarrolló formalmente en el siglo XVII durante la Revolución Científica, pero muchas de sus ideas se remontan a matemáticos anteriores. Los primeros resultados en el análisis estaban implícitamente presentes en los primeros días de las matemáticas griegas antiguas. Por ejemplo, una suma geométrica infinita está implícita en la paradoja de la dicotomía de Zenón. (Estrictamente hablando, el punto de la paradoja es negar que la suma infinita existe). Más tarde, los matemáticos griegos como Eudoxo y Arquímedes hicieron un uso más explícito, pero informal, de los conceptos de límites y convergencia cuando usaron el método de agotamiento. para calcular el área y el volumen de regiones y sólidos. El uso explícito de los infinitesimales aparece en El método de los teoremas mecánicos de Arquímedes., una obra redescubierta en el siglo XX. En Asia, el matemático chino Liu Hui utilizó el método de agotamiento en el siglo III dC para encontrar el área de un círculo. De la literatura jainista, parece que los hindúes estaban en posesión de las fórmulas para la suma de las series aritmética y geométrica desde el siglo IV a. C. Ācārya Bhadrabāhu usa la suma de una serie geométrica en su Kalpasūtra en 433 a. Se ha encontrado que instancias de series aritméticas ocurren implícitamente en la literatura védica desde el año 2000 a.

Medieval

Zu Chongzhi estableció un método que luego se llamaría principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera en el siglo V. En el siglo XII, el matemático indio Bhāskara II dio ejemplos de derivadas y utilizó lo que ahora se conoce como el teorema de Rolle.

En el siglo XIV, Madhava de Sangamagrama desarrolló expansiones de series infinitas, ahora llamadas series de Taylor, de funciones como seno, coseno, tangente y arcotangente. Junto con su desarrollo de la serie de Taylor de funciones trigonométricas, también estimó la magnitud de los términos de error resultantes del truncamiento de estas series y dio una aproximación racional de algunas series infinitas. Sus seguidores en la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala ampliaron aún más sus obras, hasta el siglo XVI.

Moderno

Cimientos

Los fundamentos modernos del análisis matemático se establecieron en la Europa del siglo XVII. Esto comenzó cuando Fermat y Descartes desarrollaron la geometría analítica, que es la precursora del cálculo moderno. El método de adecuación de Fermat le permitió determinar los máximos y mínimos de funciones y las tangentes de curvas. La publicación de Descartes de La Géométrieen 1637, que introdujo el sistema de coordenadas cartesianas, se considera el establecimiento del análisis matemático. Serían unas décadas más tarde que Newton y Leibniz desarrollaron de forma independiente el cálculo infinitesimal, que creció, con el estímulo del trabajo aplicado que continuó durante el siglo XVIII, en temas de análisis como el cálculo de variaciones, ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias, análisis de Fourier y funciones generadoras. Durante este período, se aplicaron técnicas de cálculo para aproximar problemas discretos por problemas continuos.

Modernización

En el siglo XVIII, Euler introdujo la noción de función matemática. El análisis real comenzó a emerger como un tema independiente cuando Bernard Bolzano introdujo la definición moderna de continuidad en 1816, pero el trabajo de Bolzano no se hizo ampliamente conocido hasta la década de 1870. En 1821, Cauchy comenzó a poner el cálculo sobre una base lógica firme al rechazar el principio de generalidad del álgebra ampliamente utilizado en trabajos anteriores, particularmente por Euler. En cambio, Cauchy formuló el cálculo en términos de ideas geométricas e infinitesimales. Por lo tanto, su definición de continuidad requería un cambio infinitesimal en x para corresponder a un cambio infinitesimal en y. También introdujo el concepto de la secuencia de Cauchy y comenzó la teoría formal del análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros estudiaron ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónico. Las contribuciones de estos matemáticos y otros, como Weierstrass, desarrollaron la definición (ε, δ) del enfoque del límite, fundando así el campo moderno del análisis matemático. Casi al mismo tiempo, Riemann introdujo su teoría de la integración e hizo avances significativos en el análisis complejo.

Hacia fines del siglo XIX, los matemáticos comenzaron a preocuparse de que estaban asumiendo la existencia de un continuo de números reales sin demostración. Luego, Dedekind construyó los números reales mediante cortes de Dedekind, en los que se definen formalmente los números irracionales, que sirven para llenar los "huecos" entre los números racionales, creando así un conjunto completo: el continuo de los números reales, que ya había sido desarrollado por Simon Stevin. en términos de expansiones decimales. Por esa época, los intentos de refinar los teoremas de la integración de Riemann llevaron al estudio del "tamaño" del conjunto de discontinuidades de las funciones reales.

Además, comenzaron a investigarse varios objetos patológicos (como funciones continuas en ninguna parte, funciones continuas pero diferenciables en ninguna parte y curvas que llenan el espacio), comúnmente conocidos como "monstruos". En este contexto, Jordan desarrolló su teoría de la medida, Cantor desarrolló lo que ahora se llama teoría ingenua de conjuntos y Baire demostró el teorema de la categoría de Baire. A principios del siglo XX, el cálculo se formalizó utilizando una teoría axiomática de conjuntos. Lebesgue mejoró enormemente la teoría de la medida e introdujo su propia teoría de la integración, ahora conocida como integración de Lebesgue, que resultó ser una gran mejora con respecto a la de Riemann. Hilbert introdujo los espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea del espacio vectorial normado estaba en el aire, y en la década de 1920 Banach creó el análisis funcional.

Conceptos importantes

Espacios métricos

En matemáticas, un espacio métrico es un conjunto donde se define una noción de distancia (llamada métrica) entre los elementos del conjunto.

Gran parte del análisis ocurre en algún espacio métrico; los más utilizados son la recta real, el plano complejo, el espacio euclidiano, otros espacios vectoriales y los números enteros. Los ejemplos de análisis sin métrica incluyen la teoría de la medida (que describe el tamaño en lugar de la distancia) y el análisis funcional (que estudia los espacios vectoriales topológicos que no necesitan tener ningún sentido de la distancia).

Formalmente, un espacio métrico es un par ordenado donde es un conjunto y es una métrica sobre , es decir, una función

tal que para cualquier , se cumple lo siguiente:

1. , con igualdad si y solo si (identidad de indiscernibles),
2. (simetría), y
3. (desigualdad triangular).

Tomando la tercera propiedad y dejando , se puede demostrar que (no negativo).

Secuencias y límites

Una secuencia es una lista ordenada. Como un conjunto, contiene miembros (también llamados elementos o términos). A diferencia de un conjunto, el orden es importante y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones de la secuencia. Más precisamente, una sucesión se puede definir como una función cuyo dominio es un conjunto numerable totalmente ordenado, como los números naturales.

Una de las propiedades más importantes de una sucesión es la convergencia. Informalmente, una sucesión converge si tiene un límite. Continuando informalmente, una sucesión (simplemente infinita) tiene un límite si se acerca a algún punto x, llamado límite, cuando n se vuelve muy grande. Es decir, para una secuencia abstracta (a _n) (con n que va desde 1 hasta el infinito entendido) la distancia entre a _n y x tiende a 0 cuando n → ∞, denotada

Ramas principales

Análisis reales

El análisis real (tradicionalmente, la teoría de funciones de una variable real) es una rama del análisis matemático que se ocupa de los números reales y las funciones de valor real de una variable real. En particular, se ocupa de las propiedades analíticas de las funciones y secuencias reales, incluida la convergencia y los límites de las secuencias de números reales, el cálculo de los números reales y la continuidad, la suavidad y las propiedades relacionadas de las funciones con valores reales.

Análisis complejo

El análisis complejo (tradicionalmente conocido como la teoría de funciones de una variable compleja) es la rama del análisis matemático que investiga funciones de números complejos. Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluida la geometría algebraica, la teoría de números, las matemáticas aplicadas; así como en física, incluyendo hidrodinámica, termodinámica, ingeniería mecánica, ingeniería eléctrica y, en particular, teoría cuántica de campos.

El análisis complejo se ocupa particularmente de las funciones analíticas de variables complejas (o, más generalmente, funciones meromórficas). Debido a que las partes real e imaginaria separadas de cualquier función analítica deben satisfacer la ecuación de Laplace, el análisis complejo es ampliamente aplicable a problemas bidimensionales en física.

Análisis funcional

El análisis funcional es una rama del análisis matemático, cuyo núcleo está formado por el estudio de espacios vectoriales dotados de algún tipo de estructura relacionada con los límites (por ejemplo, producto interno, norma, topología, etc.) y los operadores lineales que actúan sobre estos espacios. y respetando estas estructuras en un sentido adecuado. Las raíces históricas del análisis funcional se encuentran en el estudio de espacios de funciones y la formulación de propiedades de transformaciones de funciones como la transformada de Fourier como transformaciones que definen operadores continuos, unitarios, etc. entre espacios de funciones. Este punto de vista resultó ser particularmente útil para el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales.

Análisis armónico

El análisis armónico es una rama del análisis matemático que se ocupa de la representación de funciones y señales como la superposición de ondas básicas. Esto incluye el estudio de las nociones de series de Fourier y transformadas de Fourier (análisis de Fourier), y de sus generalizaciones. El análisis armónico tiene aplicaciones en áreas tan diversas como la teoría musical, la teoría de números, la teoría de la representación, el procesamiento de señales, la mecánica cuántica, el análisis de mareas y la neurociencia.

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática para una función desconocida de una o varias variables que relaciona los valores de la función misma y sus derivadas de varios órdenes. Las ecuaciones diferenciales juegan un papel destacado en la ingeniería, la física, la economía, la biología y otras disciplinas.

Las ecuaciones diferenciales surgen en muchas áreas de la ciencia y la tecnología, específicamente cada vez que se conoce o postula una relación determinista que involucra algunas cantidades que varían continuamente (modeladas por funciones) y sus tasas de cambio en el espacio o el tiempo (expresadas como derivadas). Esto se ilustra en la mecánica clásica, donde el movimiento de un cuerpo se describe por su posición y velocidad a medida que varía el valor del tiempo. Las leyes de Newton permiten (dada la posición, velocidad, aceleración y varias fuerzas que actúan sobre el cuerpo) expresar estas variables dinámicamente como una ecuación diferencial para la posición desconocida del cuerpo en función del tiempo. En algunos casos, esta ecuación diferencial (llamada ecuación de movimiento) puede resolverse explícitamente.

Teoría de la medida

Una medida en un conjunto es una forma sistemática de asignar un número a cada subconjunto adecuado de ese conjunto, interpretado intuitivamente como su tamaño. En este sentido, una medida es una generalización de los conceptos de longitud, área y volumen. Un ejemplo particularmente importante es la medida de Lebesgue en un espacio euclidiano, que asigna la longitud, el área y el volumen convencionales de la geometría euclidiana a subconjuntos adecuados del espacio euclidiano bidimensional . Por ejemplo, la medida de Lebesgue del intervalo en los números reales es su longitud en el sentido cotidiano de la palabra, específicamente, 1.

Técnicamente, una medida es una función que asigna un número real no negativo o +∞ a (ciertos) subconjuntos de un conjunto . Debe asignar 0 al conjunto vacío y ser (contable) aditivo: la medida de un subconjunto 'grande' que se puede descomponer en un número finito (o contable) de subconjuntos disjuntos 'menores', es la suma de las medidas de los subconjuntos "más pequeños". En general, si uno quiere asociar un tamaño consistente a cada subconjunto de un conjunto dado mientras satisface los otros axiomas de una medida, solo encuentra ejemplos triviales como la medida de conteo. Este problema se resolvió definiendo medida solo en una subcolección de todos los subconjuntos; los llamados subconjuntos medibles, que se requieren para formar un-álgebra. Esto significa que las uniones contables, las intersecciones contables y los complementos de subconjuntos medibles son medibles. Los conjuntos no medibles en un espacio euclidiano, en los que la medida de Lebesgue no puede definirse consistentemente, son necesariamente complicados en el sentido de estar mal mezclados con su complemento. De hecho, su existencia es una consecuencia no trivial del axioma de elección.

Análisis numérico

El análisis numérico es el estudio de algoritmos que utilizan la aproximación numérica (a diferencia de las manipulaciones simbólicas generales) para los problemas del análisis matemático (a diferencia de las matemáticas discretas).

El análisis numérico moderno no busca respuestas exactas, porque las respuestas exactas a menudo son imposibles de obtener en la práctica. En cambio, gran parte del análisis numérico se ocupa de obtener soluciones aproximadas manteniendo límites razonables en los errores.

El análisis numérico naturalmente encuentra aplicaciones en todos los campos de la ingeniería y las ciencias físicas, pero en el siglo XXI, las ciencias de la vida e incluso las artes han adoptado elementos de los cálculos científicos. Las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en la mecánica celeste (planetas, estrellas y galaxias); el álgebra lineal numérica es importante para el análisis de datos; Las ecuaciones diferenciales estocásticas y las cadenas de Markov son esenciales en la simulación de células vivas para la medicina y la biología.

Análisis vectorial

El análisis vectorial es una rama del análisis matemático que trata con valores que tienen tanto magnitud como dirección. Algunos ejemplos de vectores incluyen velocidad, fuerza y ​​desplazamiento. Los vectores se asocian comúnmente con escalares, valores que describen la magnitud.

Análisis escalar

El análisis escalar es una rama del análisis matemático que se ocupa de los valores relacionados con la escala en lugar de la dirección. Los valores como la temperatura son escalares porque describen la magnitud de un valor sin tener en cuenta la dirección, la fuerza o el desplazamiento que ese valor pueda tener o no.

Análisis tensorial

Otros temas

• El cálculo de variaciones trata con funciones extremas, a diferencia del cálculo ordinario que trata con funciones.
• El análisis armónico se ocupa de la representación de funciones o señales como la superposición de ondas básicas.
• El análisis geométrico involucra el uso de métodos geométricos en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y la aplicación de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales a la geometría.
• Análisis de Clifford, el estudio de las funciones valoradas de Clifford que son aniquiladas por operadores de Dirac o similares a Dirac, denominadas en general funciones monogénicas o analíticas de Clifford.
• Análisis p -ádico, el estudio del análisis dentro del contexto de los números p -ádicos, que difiere en algunos aspectos interesantes y sorprendentes de sus contrapartes reales y complejas.
• Análisis no estándar, que investiga los números hiperreales y sus funciones y da un tratamiento riguroso a los números infinitesimales e infinitamente grandes.
• Análisis computable, el estudio de qué partes del análisis pueden llevarse a cabo de manera computable.
• Cálculo estocástico: nociones analíticas desarrolladas para procesos estocásticos.
• Análisis de valores establecidos: aplica ideas del análisis y la topología a funciones de valores establecidos.
• Análisis convexo, el estudio de conjuntos y funciones convexas.
• Análisis idempotente: análisis en el contexto de un semiring idempotente, donde la falta de un inverso aditivo se compensa de alguna manera con la regla idempotente A + A = A.
  • Análisis tropical: análisis del semiring idempotente llamado semiring tropical (o álgebra max-plus / min-plus algebra).
• Análisis constructivo, que se basa en una base de lógica constructiva, en lugar de clásica, y teoría de conjuntos.
• Análisis intuicionista, que se desarrolla a partir de la lógica constructiva como el análisis constructivo, pero también incorpora secuencias de elección.
• Análisis paraconsistente, que se basa en una base de lógica y teoría de conjuntos paraconsistente, en lugar de clásica.
• Análisis infinitesimal suave, que se desarrolla en un topos suave.

Aplicaciones

Las técnicas de análisis también se encuentran en otras áreas como:

Ciencias fisicas

La gran mayoría de la mecánica clásica, la relatividad y la mecánica cuántica se basa en el análisis aplicado y, en particular, en las ecuaciones diferenciales. Los ejemplos de ecuaciones diferenciales importantes incluyen la segunda ley de Newton, la ecuación de Schrödinger y las ecuaciones de campo de Einstein.

El análisis funcional también es un factor importante en la mecánica cuántica.

Procesamiento de la señal

Al procesar señales, como audio, ondas de radio, ondas de luz, ondas sísmicas e incluso imágenes, el análisis de Fourier puede aislar componentes individuales de una forma de onda compuesta, concentrándolos para detectarlos o eliminarlos más fácilmente. Una gran familia de técnicas de procesamiento de señales consiste en la transformación de Fourier de una señal, la manipulación de los datos transformados por Fourier de manera sencilla y la inversión de la transformación.

Otras áreas de las matemáticas.

Las técnicas de análisis se utilizan en muchas áreas de las matemáticas, que incluyen:

• Teoría analítica de números
• Combinatoria analítica
• Probabilidad continua
• Entropía diferencial en la teoría de la información
• juegos diferenciales
• Geometría diferencial, la aplicación del cálculo a espacios matemáticos específicos conocidos como variedades que poseen una estructura interna complicada pero se comportan localmente de manera simple.
• Variedades diferenciables
• Topología diferencial
• Ecuaciones diferenciales parciales

Libros de texto famosos

• Fundamento del análisis: la aritmética de números enteros racionales, irracionales y complejos, por Edmund Landau
• Análisis real introductorio, por Andrey Kolmogorov, Sergei Fomin
• Cálculo diferencial e integral (3 volúmenes), por Grigorii Fichtenholz
• Los fundamentos del análisis matemático (2 volúmenes), de Grigorii Fichtenholz
• Un curso de análisis matemático (2 volúmenes), de Sergey Nikolsky
• Análisis matemático (2 volúmenes), de Vladimir Zorich
• Un curso de matemáticas superiores (5 volúmenes, 6 partes), por Vladimir Smirnov
• Cálculo Diferencial e Integral, por Nikolai Piskunov
• Un curso de análisis matemático, de Aleksandr Khinchin
• Análisis matemático: un curso especial, por Georgiy Shilov
• Teoría de Funciones de Variable Real (2 tomos), de Isidor Natanson
• Problemas de análisis matemático, de Boris Demidovich
• Problemas y teoremas en análisis (2 volúmenes), por George Polya, Gabor Szegö
• Análisis matemático: un enfoque moderno para el cálculo avanzado, por Tom Apostol
• Principios de análisis matemático, de Walter Rudin
• Análisis real: teoría de la medida, integración y espacios de Hilbert, por Elias Stein
• Análisis complejo, por Elias Stein
• Análisis funcional: Introducción a otros temas de análisis, por Elias Stein
• Análisis (2 volúmenes), de Terence Tao
• Análisis (3 volúmenes), por Herbert Amann, Joachim Escher
• Análisis real y funcional, por Vladimir Bogachev, Oleg Smolyanov
• Análisis Real y Funcional, por Serge Lang