Análisis de redes (circuitos eléctricos)

En ingeniería eléctrica y electrónica, una red es un conjunto de componentes interconectados. El análisis de red es el proceso de encontrar los voltajes y las corrientes a través de todos los componentes de la red. Existen muchas técnicas para calcular estos valores; sin embargo, en su mayor parte, las técnicas suponen componentes lineales. Excepto donde se indique lo contrario, los métodos descritos en este artículo son aplicables únicamente al análisis de redes lineales.

Definiciones

Circuitos equivalentes

Un procedimiento útil en el análisis de redes es simplificar la red reduciendo el número de componentes. Esto se puede hacer reemplazando componentes físicos con otros componentes teóricos que tengan el mismo efecto. Una técnica particular podría reducir directamente el número de componentes, por ejemplo combinando impedancias en serie. Por otro lado, podría simplemente cambiar la forma a una en la que los componentes puedan reducirse en una operación posterior. Por ejemplo, se podría transformar un generador de tensión en un generador de corriente utilizando el teorema de Norton para poder luego combinar la resistencia interna del generador con una carga de impedancia paralela.

Un circuito resistivo es un circuito que contiene sólo resistencias, fuentes de corriente ideales y fuentes de voltaje ideales. Si las fuentes son fuentes constantes (CC), el resultado es un circuito de CC. El análisis de un circuito consiste en resolver los voltajes y corrientes presentes en el circuito. Los principios de solución descritos aquí también se aplican al análisis fasorial de circuitos de CA.

Se dice que dos circuitos son equivalentes con respecto a un par de terminales si el voltaje a través de los terminales y la corriente a través de los terminales para una red tienen la misma relación que el voltaje y la corriente en los terminales. de la otra red.

Si V2=V1{displaystyle V_{2}=V_{1} implicación I2=I1{displaystyle I_{2}=I_{1} para todos (real) valores de V₁, entonces con respecto a terminales ab y xy, circuito 1 y circuito 2 son equivalentes.

Lo anterior es una definición suficiente para una red de un solo puerto. Para más de un puerto, se debe definir que las corrientes y voltajes entre todos los pares de puertos correspondientes deben tener la misma relación. Por ejemplo, las redes en estrella y en triángulo son efectivamente redes de tres puertos y, por lo tanto, requieren tres ecuaciones simultáneas para especificar completamente su equivalencia.

Impedancias en serie y en paralelo

Algunas redes de impedancias de dos terminales pueden eventualmente reducirse a una sola impedancia mediante aplicaciones sucesivas de impedancias en serie o impedancias en paralelo.

• Impedancias en serie:
  Zeq=Z1+Z2+⋯ ⋯ +Zn.{displaystyle Z_{mathrm {eq} }=Z_{1}+Z_{2}+,cdots ,+Z_{n}

  
• Impedancias paralelas:
  1Zeq=1Z1+1Z2+⋯ ⋯ +1Zn.{displaystyle {frac}{Z_{mathrm {eq} }={frac {1}{Z_{1}}+{frac} {1}{Z_{2}}+,cdots {fn}}

  
  • Lo anterior simplificado sólo para dos impedancias en paralelo:
    Zeq=Z1Z2Z1+Z2.{displaystyle Z_{mathrm {eq} }={frac {Z_{1}Z_{2} {Z_{1}}}

    

Transformación delta-estrella

Una red de impedancias con más de dos terminales no puede reducirse a un circuito equivalente de impedancia. An n- la red terminal puede, en el mejor de los casos, reducirse n impedancias (en el peor ()n2){fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin {n}{2}}). Para una red de tres terminales, las tres impedancias se pueden expresar como una red de tres nodos delta (Δ) o cuatro estrellas de nodo (Y). Estas dos redes son equivalentes y las transformaciones entre ellas se dan a continuación. Una red general con un número arbitrario de nodos no puede reducirse al número mínimo de impedancias utilizando sólo series y combinaciones paralelas. En general, las transformaciones de Y-Δ y Δ-Y también deben utilizarse. Para algunas redes también se puede requerir la extensión de Y-Δ a transformaciones de polígonos estrella.

Para lograr equivalencia, las impedancias entre cualquier par de terminales deben ser las mismas para ambas redes, lo que da como resultado un conjunto de tres ecuaciones simultáneas. Las ecuaciones siguientes se expresan como resistencias, pero se aplican igualmente al caso general con impedancias.

Ecuaciones de transformación de delta a estrella

Ra=RacRabRac+Rab+RbcRb=RabRbcRac+Rab+RbcRc=RbcRacRac+Rab+Rbc{displaystyle {begin{aligned}R_{a} {R_{mathrm {ac}R_{mathrm {ab} }{R_{mathrm {ac} }+R_{mathrm {ab} }+R_{mathrm {bc} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {R_{mathrm {ab} }R_{mathrm {bc} }{R_{mathrm {ac} }+R_{mathrm {ab} }+R_{mathrm {bc} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrom} {bc}R_{mathrm {ac} }{R_{mathrm {ac} }+R_{mathrm {ab} }end{aligned}

Ecuaciones de transformación estrella-delta

Rac=RaRb+RbRc+RcRaRbRab=RaRb+RbRc+RcRaRcRbc=RaRb+RbRc+RcRaRa{displaystyle {begin{aligned}R_{mathrm {ac} {R_{a}R_{b}}\\c}} {c}} {c}}}}\\\\\c} {c} {c}}}} {\c}}}\\\\\c} {c} {c}}}}}}\\\c}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\c}}}}}}}\\\\\\\c}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\ {R_{a}R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a} {R_{c}}}\\\\\\\c} {c}}}}}\\\\\\\cH00} {c}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\c}m} {\c}m} {c}m}c} {c}c}c}c}c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\c}\\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\c} {bc} {R_{a}R_{b}}}end{aligned}

Forma general de eliminación de nodos de red

Las transformaciones estrella-delta y de serie-resistor son casos especiales del algoritmo general de eliminación de nodos de la red resistor. Cualquier nodo conectado por N resistores ()R₁... R_N) a los nodos 1... N puede ser reemplazado por ()N2){displaystyle {tbinom {N}{2}} resistores interconectando el resto N nodos. La resistencia entre dos nodos x, y es dado por:

RxSí.=RxRSí... i=1N1Ri{displaystyle R_{mathrm {xy} }=R_{x}R_{y}sum ¿Por qué? {1} {R_{i}}}

Para una estrella a triángulo (N = 3), esto se reduce a:

Rab=RaRb()1Ra+1Rb+1Rc)=RaRb()RaRb+RaRc+RbRc)RaRbRc=RaRb+RbRc+RcRaRc{displaystyle {begin{aligned}R_{mathrm {ab} }duc=R_{b}left({frac} {1} {fn} {fnK}} {fnK}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}} {fn} {fn}}}} {f} {f} {f}}}}}}} {f}}} {f} {f}}} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\f}}}}\\\f} {\\f}\\f}}}}}\\f}f}}\f}\f}\f}f}}}}f}\f}f}\f}f}f}f}\\f}f}f}f}\f}}}f}f}}}}}}}} {1}{b}+{frac} {1}{c}right)={frac} {R_{b}R_{c}} {R_{a}R_{b}R_{c}}}\c}} {R_{c}}} {R_{a}R_{b}}}\\\\\c}\\\\\\c}\\\c}\\\\\\\c}\\\\\\\\\\c}\\c}\\\\c}\\\\\\\c}\\\\c}\\\\\\\c}\\\\\c}\\c}\c}\c}c}\c}c}\c}c}\c}\c}\\c} {R_{a}R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a} {R_{c}}}end{aligned}}}}}

Para una reducción en serie (N = 2), esto se reduce a:

Rab=RaRb()1Ra+1Rb)=RaRb()Ra+Rb)RaRb=Ra+Rb{displaystyle R_{mathrm {ab} }=R_{a}R_{b}left({frac {1} {fn} {fnK}} {fnK}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}} {fn} {fn}}}} {f} {f} {f}}}}}}} {f}}} {f} {f}}} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\f}}}}\\\f} {\\f}\\f}}}}}\\f}f}}\f}\f}\f}f}}}}f}\f}f}\f}f}f}f}\\f}f}f}f}\f}}}f}f}}}}}}}} {1}{b}derecha)={frac {R_{a}R_{b}=R_{a}+R_{b} {R_{b}}=R_{a}+R_{b}}

Para un resistor colgante (por ejemplo)N = 1) resulta en la eliminación de la resistencia porque ()12)=0{fnK}=0}.

Transformación de fuentes

Un generador con impedancia interna (es decir, generador no ideal) puede ser representado como un generador de tensión ideal o un generador de corriente ideal más la impedancia. Estas dos formas son equivalentes y las transformaciones se dan a continuación. Si las dos redes son equivalentes con respecto a terminales ab, entonces V y I debe ser idéntico para ambas redes. Así,

Vs=RIs{displaystyle V_{mathrm {}=RI_{mathrm {},!} o Is=VsR{displaystyle I_{mathrm} {frac {fnhm} {fnh}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}} {fn}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}

• El teorema de Norton afirma que cualquier red lineal biterminal puede reducirse a un generador de corriente ideal y una impedancia paralela.
• El teorema de Thévenin afirma que cualquier red lineal biterminal puede reducirse a un generador de tensión ideal más una impedancia de serie.

Redes simples

Algunas redes muy simples se pueden analizar sin la necesidad de aplicar enfoques más sistemáticos.

División de tensión de componentes en serie

Considere impedancias que están conectados serie. Tensión Vi{displaystyle V_{i} cualquier impedancia Zi{displaystyle Z_{i} es

Vi=ZiI=()ZiZ1+Z2+⋯ ⋯ +Zn)V{displaystyle V_{i}=Z_{i}I=left({frac {Z_{i}{Z_{1}+Z_{2}+cdots - Sí.

División actual de componentes paralelos

Considere las no admiten que están conectados paralelo. La corriente Ii{displaystyle I_{i} mediante cualquier admisión Yi{displaystyle Y... es

Ii=YiV=()YiY1+Y2+⋯ ⋯ +Yn)I{displaystyle I_{i}=Y_{i}V=left({frac {Y_{i}{1}+Y_{2}+cdots - Sí. I}

para i=1,2,...,n.{displaystyle i=1,2,...,n.}

Caso especial: división actual de dos componentes paralelos

I1=()Z2Z1+Z2)I{displaystyle I_{1}=left({frac {Z_{2}{Z_{1}+Z_{2}}right) I}

I2=()Z1Z1+Z2)I{displaystyle I_{2}=left({frac {Z_{1} {Z_{1}}derecha) I}

Análisis nodal

El análisis nodal utiliza el concepto de voltaje de nodo y considera que los voltajes de nodo son variables desconocidas. Para todos los nodos, excepto un nodo de referencia elegido, el voltaje del nodo se define como la caída de voltaje desde el nodo al nodo de referencia. Por lo tanto, hay N-1 voltajes de nodo para un circuito con N nodos.

En principio, el análisis nodal utiliza la ley de corrientes de Kirchhoff (KCL) en N-1 nodos para obtener N-1 ecuaciones independientes. Dado que las ecuaciones generadas con KCL están en términos de corrientes que entran y salen de los nodos, estas corrientes, si no se conocen sus valores, deben representarse mediante variables desconocidas (voltajes de nodo). Para algunos elementos (como resistencias y condensadores), obtener las corrientes de los elementos en términos de voltajes de nodo es trivial.

Para algunos elementos comunes donde esto no es posible, se desarrollan métodos especializados. Por ejemplo, se utiliza un concepto llamado supernodo para circuitos con fuentes de voltaje independientes.

1. Label todos nodos en el circuito. Arbitrarcialmente seleccione cualquier nodo como referencia.
2. Defina una variable de voltaje de cada nodo restante a la referencia. Estas variables de tensión deben definirse como subidas de tensión con respecto al nodo de referencia.
3. Escribe una ecuación KCL para cada nodo excepto la referencia.
4. Resolver el sistema resultante de ecuaciones.

Análisis de malla

Malla: un bucle que no contiene un bucle interno.

1. Cuenta el número de “panes de ventana” en el circuito. Asignar una corriente de malla a cada panel de ventana.
2. Escribe una ecuación KVL para cada malla cuya corriente es desconocida.
3. Resolver las ecuaciones resultantes

Superposición

En este método, se calcula el efecto de cada generador por turno. Todos los generadores distintos del considerado se retiran y se cortocircuitan en el caso de generadores de tensión o se abren en el caso de generadores de corriente. La corriente total o el voltaje total a través de una rama en particular se calcula sumando todas las corrientes o voltajes individuales.

Hay una suposición subyacente en este método de que la corriente o el voltaje total es una superposición lineal de sus partes. Por lo tanto, el método no se puede utilizar si hay componentes no lineales presentes. La superposición de potencias no se puede utilizar para encontrar la potencia total consumida por los elementos, incluso en circuitos lineales. La potencia varía según el cuadrado del voltaje o corriente total y el cuadrado de la suma generalmente no es igual a la suma de los cuadrados. La potencia total en un elemento se puede encontrar aplicando superposición a los voltajes y la corriente de forma independiente y luego calculando la potencia a partir del voltaje y la corriente totales.

Elección del método

La elección del método es hasta cierto punto una cuestión de gustos. Si la red es particularmente simple o sólo se requiere una corriente o voltaje específico, entonces la aplicación ad hoc de algunos circuitos equivalentes simples puede dar la respuesta sin recurrir a métodos más sistemáticos.

• Análisis nominal: El número de variables de tensión, y por lo tanto las ecuaciones simultáneas para resolver, iguala el número de nodos menos uno. Cada fuente de tensión conectada al nodo de referencia reduce el número de desconocidos y ecuaciones por uno.
• Análisis de malla: El número de variables actuales, y por lo tanto ecuaciones simultáneas para resolver, equivale al número de mallas. Cada fuente actual en una malla reduce el número de desconocidos por uno. El análisis de malla sólo se puede utilizar con redes que se pueden dibujar como una red de planificación, es decir, sin componentes de cruce.
• La superposición es posiblemente el método más conceptualmente simple, pero rápidamente conduce a un gran número de ecuaciones y combinaciones de impedancia desordenada a medida que la red se hace más grande.
• Eficaces aproximaciones medianas: Para una red compuesta por una alta densidad de resistores aleatorios, una solución exacta para cada elemento individual puede ser poco práctico o imposible. En cambio, la resistencia efectiva y las propiedades de distribución actual se pueden modelar en términos de medidas gráficas y propiedades geométricas de las redes.

Función de transferencia

Una función de transferencia expresa la relación entre una entrada y una salida de una red. Para redes resistivas, siempre será un número real simple o una expresión que se reduce a un número real. Las redes resistivas están representadas por un sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas. Sin embargo, en el caso general de redes lineales, la red está representada por un sistema de ecuaciones diferenciales lineales simultáneas. En el análisis de redes, en lugar de utilizar las ecuaciones diferenciales directamente, es una práctica habitual realizar primero una transformada de Laplace sobre ellas y luego expresar el resultado en términos del parámetro de Laplace s, que en general es complejo. Esto se describe como trabajar en el dominio s. Trabajar con las ecuaciones directamente se describiría como trabajar en el dominio del tiempo (o t) porque los resultados se expresarían como cantidades que varían en el tiempo. La transformada de Laplace es el método matemático de transformación entre el dominio s y el dominio t.

Este enfoque es estándar en la teoría de control y es útil para determinar la estabilidad de un sistema, por ejemplo, en un amplificador con retroalimentación.

Dos funciones de transferencia de componentes terminales

Para dos componentes terminales, la función de transferencia, o más generalmente para elementos no lineales, la ecuación constitutiva, es la relación entre la entrada de corriente al dispositivo y el voltaje resultante a través de él. La función de transferencia, Z(s), tendrá entonces unidades de impedancia, ohmios. Para los tres componentes pasivos que se encuentran en las redes eléctricas, las funciones de transferencia son;

Resistor	Z()s)=R{displaystyle Z(s)=R,!}
Inductor	Z()s)=sL{displaystyle Z(s)=sL,!}
Capacitor	Z()s)=1sC{displaystyle Z(s)={frac {1}{sC}}

Para una red a la que sólo se aplican señales de CA estables, s se reemplaza por jω y se obtienen los valores más familiares de la teoría de redes de CA.

Resistor	Z()j⋅ ⋅ )=R{displaystyle Z(jomega)=R,!}
Inductor	Z()j⋅ ⋅ )=j⋅ ⋅ L{displaystyle Z(jomega)=jomega ¡L,!
Capacitor	Z()j⋅ ⋅ )=1j⋅ ⋅ C{displaystyle Z(jomega)={frac {1}{jomega C}

Finalmente, para una red a la que solo se aplica CC estable, s se reemplaza por cero y se aplica la teoría de redes de CC.

Resistor	Z=R{displaystyle Z=R,!}
Inductor	Z=0{displaystyle Z=0,!
Capacitor	Z=JUEGO JUEGO {displaystyle Z=infty ,!

Función de transferencia de red de dos puertos

Las funciones de transferencia, en general, en la teoría de control reciben el símbolo H(s). Más comúnmente en electrónica, la función de transferencia se define como la relación entre el voltaje de salida y el voltaje de entrada y se le da el símbolo A(s), o más comúnmente (porque el análisis se realiza invariablemente en términos de respuesta de onda sinusoidal), A(jω), de modo que;

A()j⋅ ⋅ )=VoVi{displaystyle A(jomega)={frac {fnh} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}}}}} {fn}}}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

La A significa atenuación o amplificación, según el contexto. En general, esta será una función compleja de jω, que puede derivarse de un análisis de las impedancias en la red y sus funciones de transferencia individuales. A veces al analista sólo le interesa la magnitud de la ganancia y no el ángulo de fase. En este caso, los números complejos pueden eliminarse de la función de transferencia y luego escribirse como;

A()⋅ ⋅ )=SilencioVoViSilencio{displaystyle A(omega)=lefttención{frac {V_{o} {V_{i}}}justo en la vida

Dos parámetros de puerto

El concepto de una red de dos puertos puede ser útil en el análisis de red como un enfoque de caja negra para el análisis. El comportamiento de la red de dos puertos en una red más grande puede caracterizarse por completo sin indicar necesariamente nada sobre la estructura interna. Sin embargo, para ello es necesario tener más información que sólo la A(jω) descrita anteriormente. Se puede demostrar que se requieren cuatro parámetros de este tipo para caracterizar completamente la red de dos puertos. Éstas podrían ser la función de transferencia avanzada, la impedancia de entrada, la función de transferencia inversa (es decir, el voltaje que aparece en la entrada cuando se aplica un voltaje a la salida) y la impedancia de salida. Hay muchos otros (ver el artículo principal para una lista completa), uno de ellos expresa los cuatro parámetros como impedancias. Es habitual expresar los cuatro parámetros como matriz;

[V1V0]=[z()j⋅ ⋅ )11z()j⋅ ⋅ )12z()j⋅ ⋅ )21z()j⋅ ⋅ )22][I1I0]{displaystyle {begin{bmatrix}V_{1}V_{0}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}z(jomega)_{11} Jomega)_{12}z(jomega)_{21}Consejo(jomega)_{22}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}I_{1}I_{0}end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

La matriz podrá abreviarse a un elemento representativo;

[z()j⋅ ⋅ )]{displaystyle left[z(jomega)right] o simplemente [z]{displaystyle left[zright]

Estos conceptos se pueden extender a redes de más de dos puertos. Sin embargo, esto rara vez se hace en la realidad porque, en muchos casos prácticos, los puertos se consideran puramente de entrada o puramente de salida. Si se ignoran las funciones de transferencia de dirección inversa, una red multipuerto siempre se puede descomponer en varias redes de dos puertos.

Componentes distribuidos

Cuando una red se compone de componentes discretos, el análisis utilizando redes de dos puertos es una cuestión de elección, no esencial. Alternativamente, la red siempre puede analizarse en términos de sus funciones de transferencia de componentes individuales. Sin embargo, si una red contiene componentes distribuidos, como en el caso de una línea de transmisión, entonces no es posible analizar en términos de componentes individuales ya que no existen. El enfoque más común para esto es modelar la línea como una red de dos puertos y caracterizarla usando parámetros de dos puertos (o algo equivalente a ellos). Otro ejemplo de esta técnica es modelar las portadoras que cruzan la región base en un transistor de alta frecuencia. La región base debe modelarse como resistencia y capacitancia distribuidas en lugar de componentes agrupados.

Análisis de imágenes

Las líneas de transmisión y ciertos tipos de diseño de filtros utilizan el método de imagen para determinar sus parámetros de transferencia. En este método, se considera el comportamiento de una cadena infinitamente larga conectada en cascada de redes idénticas. Luego se calculan las impedancias de entrada y salida y las funciones de transmisión directa e inversa para esta cadena infinitamente larga. Aunque los valores teóricos así obtenidos nunca pueden realizarse exactamente en la práctica, en muchos casos sirven como una muy buena aproximación al comportamiento de una cadena finita, siempre que no sea demasiado corta.

Análisis de redes basado en el tiempo con simulación

La mayoría de los métodos de análisis calculan los valores de voltaje y corriente para redes estáticas, que son circuitos que constan únicamente de componentes sin memoria pero que tienen dificultades con redes dinámicas complejas. En general, las ecuaciones que describen el comportamiento de un circuito dinámico tienen la forma de un sistema de ecuaciones algebraico diferencial (DAE). Los DAE son difíciles de resolver y los métodos para hacerlo aún no se comprenden ni se desarrollan completamente (a partir de 2010). Además, no existe un teorema general que garantice que las soluciones para DAE existirán y serán únicas. En casos especiales, las ecuaciones del circuito dinámico tendrán la forma de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), que son más fáciles de resolver, ya que los métodos numéricos para resolver EDO tienen una rica historia, que se remonta a finales del siglo XIX. Una estrategia para adaptar los métodos de solución ODE a DAE se llama discretización directa y es el método elegido en la simulación de circuitos.

Los métodos basados en la simulación para el análisis de red basado en el tiempo resuelven un circuito que se plantea como un problema de valor inicial (IVP). Es decir, los valores de los componentes con memorias (por ejemplo, los voltajes en condensadores y corrientes a través de inductores) se dan en un punto inicial de tiempo t₀, y el análisis se hace por el tiempo t0≤ ≤ t≤ ≤ tf{displaystyle T_{0}leq tleq t_{f}. Desde la búsqueda de resultados numéricos para el número infinito de puntos de tiempo t₀ a t_f no es posible, este período de tiempo se discretiza en casos de tiempo discretos, y la solución numérica se encuentra por cada caso. El tiempo entre los casos de tiempo se llama el paso del tiempo y se puede fijar a lo largo de toda la simulación o puede ser adaptable.

En un IVP, al encontrar una solución para el tiempo t_n+1, la solución para el tiempo t _n ya se conoce. Luego, se utiliza la discretización temporal para reemplazar las derivadas con diferencias, como

x.()tn+1).. xn+1− − xnhn+1{displaystyle x'(t_{n+1})approx {frac {x_{n+1}-x_{n} {h_{n+1}}}

Si todos los componentes del circuito eran lineales o el circuito se linealizó de antemano, el sistema de ecuaciones en este punto es un sistema de ecuaciones lineales y se resuelve con métodos de álgebra lineal numérica. De lo contrario, es un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales y se resuelve con métodos numéricos no lineales, como los algoritmos de búsqueda de raíces.

Comparación con otros métodos

Los métodos de simulación son mucho más aplicables que los métodos basados en la transformada de Laplace, como las funciones de transferencia, que solo funcionan para redes dinámicas simples con condensadores e inductores. Además, las señales de entrada a la red no se pueden definir arbitrariamente para los métodos basados en la transformada de Laplace.

Redes no lineales

La mayoría de los diseños electrónicos son, en realidad, no lineales. Son muy pocos los que no incluyen algunos dispositivos semiconductores. Estos son invariablemente no lineales, la función de transferencia de una unión pn de semiconductor ideal está dada por la relación muy no lineal;

i=Io()ev/VT− − 1){displaystyle i=I_{o}left(e^{v}/{V_{T}-1right)}

dónde;

• i y v son la corriente instantánea y el voltaje.
• I_o es un parámetro arbitrario llamado la corriente de fuga inversa cuyo valor depende de la construcción del dispositivo.
• V_T es un parámetro proporcional a la temperatura llamada tensión térmica e igual a unos 25mV a temperatura ambiente.

Hay muchas otras formas en que puede aparecer la no linealidad en una red. Todos los métodos que utilizan superposición lineal fallarán cuando estén presentes componentes no lineales. Existen varias opciones para abordar la no linealidad según el tipo de circuito y la información que el analista desee obtener.

Ecuaciones constitutivas

La ecuación de diodo anterior es un ejemplo de una ecuación constitutiva de elementos de la forma general,

f()v,i)=0{displaystyle f(v,i)=0}

Esto se puede considerar como una resistencia no lineal. Las ecuaciones constitutivas correspondientes para inductores y condensadores no lineales son respectivamente;

f()v,φ φ )=0{displaystyle f(v,varphi)=0}

f()v,q)=0{displaystyle f(v,q)=0}

donde f es cualquier función arbitraria, φ es el flujo magnético almacenado y q es la carga almacenada.

Existencia, unicidad y estabilidad

Una consideración importante en el análisis no lineal es la cuestión de la unicidad. Para una red compuesta de componentes lineales siempre habrá una, y sólo una, solución única para un conjunto dado de condiciones de contorno. Este no es siempre el caso en circuitos no lineales. Por ejemplo, una resistencia lineal a la que se le aplica una corriente fija tiene solo una solución para el voltaje a través de ella. Por otro lado, el diodo túnel no lineal tiene hasta tres soluciones para el voltaje para una corriente determinada. Es decir, una solución particular para la corriente que pasa por el diodo no es única, puede haber otras igualmente válidas. En algunos casos puede que no haya solución alguna: debe considerarse la cuestión de la existencia de soluciones.

Otra consideración importante es la cuestión de la estabilidad. Puede existir una solución particular, pero puede que no sea estable, alejándose rápidamente de ese punto al menor estímulo. Se puede demostrar que una red que es absolutamente estable para todas las condiciones debe tener una, y sólo una, solución para cada conjunto de condiciones.

Métodos

Análisis booleano de redes de conmutación

Un dispositivo de conmutación es aquel en el que la no linealidad se utiliza para producir dos estados opuestos. Los dispositivos CMOS en circuitos digitales, por ejemplo, tienen su salida conectada al riel de suministro positivo o negativo y nunca se encuentran en ningún punto intermedio, excepto durante un período transitorio cuando el dispositivo está conmutando. Aquí la no linealidad está diseñada para ser extrema y el analista puede aprovechar ese hecho. Este tipo de redes se pueden analizar utilizando el álgebra booleana asignando dos estados ("encendido"/"apagado", "positivo"/"negativo" o cualquier estado que se esté utilizando) a las constantes booleanas "0" y "1".

Los transitorios se ignoran en este análisis, junto con cualquier ligera discrepancia entre el estado del dispositivo y el estado nominal asignado a un valor booleano. Por ejemplo, el valor booleano "1" puede ser asignado al estado de +5V. La salida del dispositivo puede ser +4,5 V, pero el analista todavía considera que es booleano "1". Los fabricantes de dispositivos normalmente especificarán un rango de valores en sus hojas de datos que se considerarán indefinidos (es decir, el resultado será impredecible).

Los transitorios no carecen del todo de interés para el analista. La velocidad máxima de conmutación está determinada por la velocidad de transición de un estado a otro. Afortunadamente para el analista, para muchos dispositivos la mayor parte de la transición ocurre en la porción lineal de la función de transferencia del dispositivo y el análisis lineal se puede aplicar para obtener al menos una respuesta aproximada.

Es matemáticamente posible derivar álgebras booleanas que tengan más de dos estados. No se les ha encontrado mucho uso en electrónica, aunque los dispositivos de tres estados son bastante comunes.

Separación de análisis de sesgo y señal

Esta técnica se utiliza cuando el funcionamiento del circuito debe ser esencialmente lineal, pero los dispositivos utilizados para implementarlo no son lineales. Un amplificador de transistores es un ejemplo de este tipo de red. La esencia de esta técnica es separar el análisis en dos partes. En primer lugar, los sesgos de CC se analizan utilizando algún método no lineal. Esto establece el punto de funcionamiento inactivo del circuito. En segundo lugar, las características de la pequeña señal del circuito se analizan mediante análisis de red lineal. A continuación se dan ejemplos de métodos que se pueden utilizar para ambas etapas.

Método gráfico de análisis de CC

En muchos diseños de circuitos, la polarización de CC se alimenta a un componente no lineal a través de una resistencia (o posiblemente una red de resistencias). Dado que las resistencias son componentes lineales, es particularmente fácil determinar el punto de funcionamiento inactivo del dispositivo no lineal a partir de una gráfica de su función de transferencia. El método es el siguiente: a partir del análisis de red lineal, la función de transferencia de salida (es decir, el voltaje de salida contra la corriente de salida) se calcula para la red de resistencias y el generador que las acciona. Esta será una línea recta (llamada línea de carga) y se puede superponer fácilmente en el gráfico de la función de transferencia del dispositivo no lineal. El punto donde se cruzan las líneas es el punto de funcionamiento inactivo.

Quizás el método práctico más sencillo sea calcular el voltaje (lineal) del circuito abierto de la red y la corriente de cortocircuito y representarlos en la función de transferencia del dispositivo no lineal. La línea recta que une estos dos puntos es la función de transferencia de la red.

En realidad, el diseñador del circuito procedería en sentido inverso al descrito. A partir de un gráfico proporcionado en la hoja de datos del fabricante para el dispositivo no lineal, el diseñador elegiría el punto de funcionamiento deseado y luego calcularía los valores de los componentes lineales necesarios para lograrlo.

Todavía es posible utilizar este método si el dispositivo que se está polarizando tiene su polarización alimentada a través de otro dispositivo que en sí mismo no es lineal, por ejemplo, un diodo. Sin embargo, en este caso, la gráfica de la función de transferencia de red en el dispositivo que se está polarizando ya no sería una línea recta y, en consecuencia, sería más tediosa de realizar.

Circuito equivalente de señal pequeña

Este método se puede utilizar cuando la desviación de las señales de entrada y salida en una red permanece dentro de una porción sustancialmente lineal de la función de transferencia de dispositivos no lineales, o bien son tan pequeñas que se puede considerar la curva de la función de transferencia. lineal. Bajo un conjunto de estas condiciones específicas, el dispositivo no lineal puede representarse mediante una red lineal equivalente. Hay que recordar que este circuito equivalente es totalmente teórico y sólo válido para pequeñas desviaciones de señal. Es totalmente inaplicable a la polarización de CC del dispositivo.

Para un dispositivo simple de dos terminales, el circuito equivalente de señal pequeña no puede tener más de dos componentes. Una resistencia igual a la pendiente de la curva v/i en el punto de operación (llamada resistencia dinámica) y tangente a la curva. Un generador, porque esta tangente, en general, no pasará por el origen. Con más terminales, se requieren circuitos equivalentes más complicados.

Una forma popular de especificar el circuito equivalente de pequeña señal entre los fabricantes de transistores es utilizar los parámetros de red de dos puertos conocidos como parámetros [h]. Se trata de una matriz de cuatro parámetros como ocurre con los parámetros [z], pero en el caso de los parámetros [h] son una mezcla híbrida de impedancias, admitancias, ganancias de corriente y ganancias de voltaje. En este modelo el transistor de tres terminales se considera una red de dos puertos, siendo uno de sus terminales común a ambos puertos. Los parámetros [h] son bastante diferentes según qué terminal se elija como común. El parámetro más importante para los transistores suele ser la ganancia de corriente directa, h₂₁, en la configuración de emisor común. Esto se designa como h_fe en las hojas de datos.

El circuito equivalente de pequeña señal en términos de parámetros de dos puertos conduce al concepto de generadores dependientes. Es decir, el valor de un generador de voltaje o corriente depende linealmente de un voltaje o corriente en otra parte del circuito. Por ejemplo, el modelo de parámetro [z] conduce a generadores de voltaje dependientes como se muestra en este diagrama;

Siempre habrá generadores dependientes en un circuito equivalente de parámetros de dos puertos. Esto se aplica tanto a los parámetros [h] como a los [z] y de cualquier otro tipo. Estas dependencias deben preservarse al desarrollar las ecuaciones en un análisis de red lineal más amplio.

Método lineal por partes

En este método, la función de transferencia del dispositivo no lineal se divide en regiones. Cada una de estas regiones se aproxima mediante una línea recta. Por tanto, la función de transferencia será lineal hasta un punto particular donde habrá una discontinuidad. Pasado este punto, la función de transferencia volverá a ser lineal pero con una pendiente diferente.

Una aplicación bien conocida de este método es la aproximación de la función de transferencia de un diodo de unión pn. La función de transferencia de un diodo ideal se proporciona en la parte superior de esta sección (no lineal). Sin embargo, esta fórmula rara vez se utiliza en el análisis de redes, sino que se utiliza una aproximación por partes. Puede verse que la corriente del diodo disminuye rápidamente a -I_o a medida que cae el voltaje. Esta corriente, para la mayoría de los propósitos, es tan pequeña que puede ignorarse. Al aumentar el voltaje, la corriente aumenta exponencialmente. El diodo se modela como un circuito abierto hasta el punto más bajo de la curva exponencial, luego pasa este punto como una resistencia igual a la resistencia aparente del material semiconductor.

Los valores comúnmente aceptados para el voltaje del punto de transición son 0,7 V para dispositivos de silicio y 0,3 V para dispositivos de germanio. Un modelo aún más simple de diodo, que a veces se usa en aplicaciones de conmutación, es el cortocircuito para voltajes directos y el circuito abierto para voltajes inversos.

El modelo de una unión pn con polarización directa que tiene 0,7 V aproximadamente constantes también es una aproximación muy utilizada para el voltaje de la unión base-emisor del transistor en el diseño de amplificadores.

El método por partes es similar al método de señales pequeñas en el sentido de que las técnicas de análisis de redes lineales solo se pueden aplicar si la señal se mantiene dentro de ciertos límites. Si la señal cruza un punto de discontinuidad, entonces el modelo ya no es válido para propósitos de análisis lineal. Sin embargo, el modelo tiene la ventaja sobre las señales pequeñas de que es igualmente aplicable a la señal y a la polarización de CC. Por tanto, ambos podrán analizarse en las mismas operaciones y serán linealmente superponibles.

Componentes variables en el tiempo

En el análisis lineal, se supone que los componentes de la red no cambian, pero en algunos circuitos esto no se aplica, como los osciladores de barrido, los amplificadores controlados por voltaje y los ecualizadores variables. En muchas circunstancias, el cambio en el valor del componente es periódico. Un componente no lineal excitado con una señal periódica, por ejemplo, se puede representar como un componente lineal que varía periódicamente. Sidney Darlington describió un método para analizar dichos circuitos periódicos que varían en el tiempo. Desarrolló formas de circuitos canónicos que son análogas a las formas canónicas de Ronald M. Foster y Wilhelm Cauer utilizadas para analizar circuitos lineales.

Teoría de circuitos vectoriales

La generalización de la teoría de circuitos basada en cantidades escalares a corrientes vectoriales es una necesidad para los circuitos en evolución reciente, como los circuitos de espín. Las variables de circuito generalizadas constan de cuatro componentes: corriente escalar y corriente de espín vectorial en las direcciones x, y y z. Cada uno de los voltajes y corrientes se convierte en cantidades vectoriales con conductancia descrita como una matriz de conductancia de espín de 4x4.