Álgebra no asociativa

El álgebra no asociativa (o álgebra distributiva) es un álgebra sobre un campo en el que no se supone que la operación de multiplicación binaria sea asociativa. Es decir, una estructura algebraica A es un álgebra no asociativa sobre un campo K si es un espacio vectorial sobre K y está equipada con una K -operación de multiplicación binaria bilineal A × A → Aque puede o no ser asociativo. Los ejemplos incluyen álgebras de Lie, álgebras de Jordan, los octoniones y el espacio euclidiano tridimensional equipado con la operación de producto cruzado. Como no se supone que la multiplicación sea asociativa, es necesario usar paréntesis para indicar el orden de las multiplicaciones. Por ejemplo, las expresiones (ab)(cd), (a (bc)) dy a (b (cd)) pueden arrojar respuestas diferentes.

Si bien este uso de no asociativo significa que no se asume la asociatividad, no significa que no se permita la asociatividad. En otras palabras, "no asociativo" significa "no necesariamente asociativo", al igual que "no conmutativo" significa "no necesariamente conmutativo" para anillos no conmutativos.

Un álgebra es unitaria o unitaria si tiene un elemento de identidad e con ex = x = xe para todo x en el álgebra. Por ejemplo, los octoniones son unitarios, pero las álgebras de Lie nunca lo son.

La estructura del álgebra no asociativa de A puede estudiarse asociándola con otras álgebras asociativas que son subálgebras del álgebra completa de K -endomorfismos de A como un K -espacio vectorial. Dos de ellas son el álgebra de derivación y el álgebra envolvente (asociativa), siendo esta última en cierto sentido "el álgebra asociativa más pequeña que contiene A ".

De manera más general, algunos autores consideran el concepto de un álgebra no asociativa sobre un anillo conmutativo R: Un módulo R equipado con una operación de multiplicación binaria bilineal R. Si una estructura obedece todos los axiomas de los anillos excepto la asociatividad (por ejemplo, cualquier álgebra R), entonces es naturalmente un álgebra, por lo que algunos autores se refieren a las álgebras no asociativas como anillos no asociativos.

Álgebras que satisfacen identidades

Las estructuras en forma de anillo con dos operaciones binarias y sin otras restricciones son una clase amplia, que es demasiado general para estudiar. Por esta razón, los tipos más conocidos de álgebras no asociativas satisfacen identidades, o propiedades, que simplifican un poco la multiplicación. Estos incluyen los siguientes.

Propiedades habituales

Sean x, y y z elementos arbitrarios del álgebra A sobre el campo K. Deje que las potencias a enteros positivos (distintos de cero) se definan recursivamente por x ≝ x y x ≝ x x (potencias de la derecha) o x ≝ xx (potencias de la izquierda) dependiendo de los autores.

• Unital: existe un elemento e tal que ex = x = xe; en ese caso podemos definir x ≝ e.
• Asociativo: (xy) z = x (yz).
• Conmutativo: xy = yx.
• Anticonmutativo: xy = − yx.
• Identidad de Jacobi: (xy) z + (yz) x + (zx) y = 0 o x (yz) + y (zx) + z (xy) = 0 dependiendo de los autores.
• Identidad de Jordan: (x y) x = x (yx) o (xy) x = x (yx) dependiendo de los autores.
• Alternativa: (xx) y = x (xy) (alternativa izquierda) y (yx) x = y (xx) (alternativa derecha).
• Flexible: (xy) x = x (yx).
• n potencia asociativa con n ≥ 2: x x = x para todos los enteros k tal que 0 < k < n.
  • Asociativa de tercera potencia: x x = xx.
  • Asociativa de cuarta potencia: x x = x x = xx (compárese con la conmutativa de cuarta potencia a continuación).
• Asociativa de potencias: la subálgebra generada por cualquier elemento es asociativa, es decir, n potencia asociativa para todo n ≥ 2.
• n potencia conmutativa con n ≥ 2: x x = x x para todos los enteros k tal que 0 < k < n.
  • Tercera potencia conmutativa: x x = xx.
  • Conmutativa de cuarta potencia: x x = xx (compárese con la asociativa de cuarta potencia anterior).
• Potencia conmutativa: la subálgebra generada por cualquier elemento es conmutativa, es decir, enésima potencia conmutativa para todo n ≥ 2.
• Nilpotente de índice n ≥ 2: el producto de cualquier n elementos, en cualquier asociación, se anula, pero no para algunos n −1 elementos: x ₁ x ₂ … x _n = 0 y existen n −1 elementos tal que y ₁ y ₂ … y _{n −1} ≠ 0 para una asociación específica.
• Nil de índice n ≥ 2: potencia asociativa y x = 0 y existe un elemento y tal que y ≠ 0.

Relaciones entre propiedades

Para K de cualquier característica:

• Asociativo implica alternativa.
• Dos cualesquiera de las tres propiedades alternativa izquierda, alternativa derecha y flexible implican la tercera.
  • Así, alternativa implica flexible.
• La alternativa implica la identidad jordana.
• Conmutativo implica flexible.
• Anticonmutativo implica flexible.
• Alternativa implica poder asociativo.
• Flexible implica asociativo de tercera potencia.
• La asociativa de segunda potencia y la conmutativa de segunda potencia son siempre verdaderas.
• La tercera potencia asociativa y la tercera potencia conmutativa son equivalentes.
• n -ésima potencia asociativa implica n -ésima potencia conmutativa.
• Nil de índice 2 implica anticonmutativo.
• El cero del índice 2 implica la identidad de Jordan.
• Nilpotente de índice 3 implica identidad de Jacobi.
• Nilpotente de índice n implica cero de índice N con 2 ≤ N ≤ n.
• Unital y nil del índice n son incompatibles.

Si K ≠ GF(2) o dim(A) ≤ 3:

• Jordan identidad y conmutativo juntos implican poder asociativo.

Si char(K) ≠ 2:

• La alternativa correcta implica poder asociativo.
  • Del mismo modo, la alternativa de izquierda implica poder asociativo.
• Las identidades de Unital y Jordan juntas implican flexibilidad.
• Jordán identidad y flexible juntos implican poder asociativo.
• Conmutativo y anticonmutativo juntos implican nilpotente de índice 2.
• Anticonmutativo implica cero de índice 2.
• Unitario y anticonmutativo son incompatibles.

Si char(K) ≠ 3:

• La identidad unitaria y jacobi son incompatibles.

Si char(K) ∉ {2,3,5 }:

• Conmutativa y x = x x (una de las dos identidades que definen la cuarta potencia asociativa) juntas implican potencia asociativa.

Si char(K) = 0:

• Asociativa de tercera potencia y x = x x (una de las dos identidades que definen la asociativa de cuarta potencia) juntas implican asociativa de potencia.

Si char(K) = 2:

• Conmutativo y anticonmutativo son equivalentes.

Asociado

El asociado en A es el K -mapa multilineal dado por[ X, y, z ] = (xy) z - X (yz).

Mide el grado de no asociatividad de , y puede usarse para expresar convenientemente algunas identidades posibles satisfechas por A.

Sean x, y y z elementos arbitrarios del álgebra.

• Asociativo: [ x, y, z ] = 0.
• Alternativa: [ x, x, y ] = 0 (alternativa izquierda) y [ y, x, x ] = 0 (alternativa derecha).
  • Implica que la permutación de dos términos cualesquiera cambia el signo: [ x, y, z ] = −[ x, z, y ] = −[ z, y, x ] = −[ y, x, z ]; lo contrario se cumple solo si char(K) ≠ 2.
• Flexible: [ x, y, x ] = 0.
  • Implica que permutar los términos extremos cambia el signo: [ x, y, z ] = −[ z, y, x ]; lo contrario se cumple solo si char(K) ≠ 2.
• Identidad de Jordan: [ x, y, x ] = 0 o [ x, y, x ] = 0 dependiendo de los autores.
• Asociativa de tercera potencia: [ x, x, x ] = 0.

El núcleo es el conjunto de elementos que se asocian con todos los demás: es decir, el n en A tal que[ norte, UN, UN ] = [ UN, norte, UN ] = [ UN, UN, norte ] = {0}.

El núcleo es un subanillo asociativo de A.

Centro

El centro de A es el conjunto de elementos que conmutan y se asocian con todo en A, que es la intersección de

con el núcleo. Resulta que para elementos de C(A) basta que dos de los conjuntos sean para que el tercero también sea el conjunto cero.

Ejemplos

• El espacio euclidiano R con la multiplicación dada por el producto vectorial vectorial es un ejemplo de álgebra que es anticonmutativa y no asociativa. El producto cruz también satisface la identidad de Jacobi.
• Las álgebras de mentira son álgebras que satisfacen la anticonmutatividad y la identidad de Jacobi.
• Álgebras de campos vectoriales en una variedad diferenciable (si K es R o los números complejos C) o una variedad algebraica (para K general);
• Las álgebras de Jordan son álgebras que satisfacen la ley conmutativa y la identidad de Jordan.
• Cada álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie utilizando el conmutador como paréntesis de Lie. De hecho, cada álgebra de Lie puede construirse de esta manera o es una subálgebra de un álgebra de Lie así construida.
• Toda álgebra asociativa sobre un campo de característica distinta de 2 da lugar a un álgebra de Jordan al definir una nueva multiplicación x*y = (xy + yx)/2. A diferencia del caso del álgebra de Lie, no todas las álgebras de Jordan se pueden construir de esta manera. Los que pueden se llaman especiales.
• Las álgebras alternativas son álgebras que satisfacen la propiedad alternativa. Los ejemplos más importantes de álgebras alternativas son los octoniones (un álgebra sobre los reales) y las generalizaciones de los octoniones sobre otros campos. Todas las álgebras asociativas son alternativas. Hasta el isomorfismo, la única alternativa real de dimensión finita, las álgebras de división (ver más abajo) son los reales, complejos, cuaterniones y octoniones.
• Álgebras asociativas de potencias, son aquellas álgebras que satisfacen la identidad asociativa de potencias. Los ejemplos incluyen todas las álgebras asociativas, todas las álgebras alternativas, las álgebras de Jordan sobre un campo que no sea GF(2) (consulte la sección anterior) y las sedeniones.
• El álgebra de cuaterniones hiperbólicos sobre R, que era un álgebra experimental antes de la adopción del espacio de Minkowski para la relatividad especial.

Más clases de álgebras:

• Álgebras graduadas. Estos incluyen la mayoría de las álgebras de interés para el álgebra multilineal, como el álgebra tensorial, el álgebra simétrica y el álgebra exterior sobre un espacio vectorial dado. Las álgebras graduadas se pueden generalizar a álgebras filtradas.
• Álgebras de división, en las que existen inversos multiplicativos. Se han clasificado las álgebras de división alternativa de dimensión finita sobre el campo de los números reales. Son los números reales (dimensión 1), los números complejos (dimensión 2), los cuaterniones (dimensión 4) y los octoniones (dimensión 8). Los cuaterniones y los octoniones no son conmutativos. De estas álgebras, todas son asociativas excepto los octoniones.
• Álgebras cuadráticas, que requieren que xx = re + sx, para algunos elementos r y s en el campo fundamental, y e una unidad para el álgebra. Los ejemplos incluyen todas las álgebras alternativas de dimensión finita y el álgebra de matrices reales de 2 por 2. Hasta el isomorfismo la única alternativa, álgebras reales cuadráticas sin divisores de cero son los reales, complejos, cuaterniones y octoniones.
• Las álgebras de Cayley-Dickson (donde K es R), que comienzan con:
  • C (un álgebra conmutativa y asociativa);
  • los cuaterniones H (un álgebra asociativa);
  • los octoniones (un álgebra alternativa);
  • los sedeniones y la secuencia infinita de álgebras de Cayley-Dickson (álgebras asociativas de potencias).
• Las álgebras hipercomplejas son todas R -álgebras unitarias de dimensión finita, por lo que incluyen álgebras de Cayley-Dickson y muchas más.
• Las álgebras de Poisson se consideran en la cuantización geométrica. Llevan dos multiplicaciones, convirtiéndolas en álgebras conmutativas y álgebras de Lie de diferente forma.
• Las álgebras genéticas son álgebras no asociativas utilizadas en la genética matemática.
• Sistemas triples

Propiedades

Hay varias propiedades que pueden resultar familiares de la teoría de anillos o de las álgebras asociativas, que no siempre son ciertas para las álgebras no asociativas. A diferencia del caso asociativo, los elementos con un inverso multiplicativo (de dos lados) también pueden ser un divisor de cero. Por ejemplo, todos los elementos distintos de cero de los sedeniones tienen un inverso de dos lados, pero algunos de ellos también son divisores de cero.

Álgebra no asociativa libre

El álgebra libre no asociativa sobre un conjunto X sobre un campo K se define como el álgebra con base formada por todos los monomios no asociativos, productos formales finitos de elementos de X que conservan los paréntesis. El producto de los monomios u, v es simplemente (u)(v). El álgebra es unitaria si se toma el producto vacío como un monomio.

Kurosh demostró que toda subálgebra de un álgebra libre no asociativa es libre.

Álgebras asociadas

Un álgebra A sobre un campo K es en particular un K -espacio vectorial, por lo que se puede considerar el álgebra asociativa Fin _K (A) del endomorfismo de K -espacio vectorial lineal de A. Podemos asociar a la estructura del álgebra sobre A dos subálgebras del Extremo _K (A), el álgebra de derivación y el álgebra envolvente (asociativa).

Álgebra de derivación

Una derivación sobre A es una aplicación D con la propiedad

Las derivaciones sobre A forman un subespacio Der _K (A) en End _K (A). El conmutador de dos derivaciones es nuevamente una derivación, de modo que el corchete de Lie le da a Der _K (A) una estructura de álgebra de Lie.

Álgebra envolvente

Hay mapas lineales L y R adjuntos a cada elemento a de un álgebra A:

El álgebra envolvente asociativa o álgebra de multiplicación de A es el álgebra asociativa generada por los mapas lineales izquierdo y derecho. El centroide de A es el centralizador del álgebra envolvente en el álgebra de endomorfismo End _K (A). Un álgebra es central si su centroide consta de los K -múltiplos escalares de la identidad.

Algunas de las posibles identidades satisfechas por álgebras no asociativas pueden expresarse convenientemente en términos de aplicaciones lineales:

• Conmutativa: cada L (a) es igual a la correspondiente R (a);
• Asociativo: cualquier L conmuta con cualquier R;
• Flexible: cada L (a) conmuta con la correspondiente R (a);
• Jordan: cada L (a) conmuta con R (a);
• Alternativa: todo L (a) = L (a) y lo mismo para la derecha.

La representación cuadrática Q está definida por:

o equivalente

El artículo sobre álgebras envolventes universales describe la construcción canónica de las álgebras envolventes, así como los teoremas de tipo PBW para ellas. Para las álgebras de Lie, tales álgebras envolventes tienen una propiedad universal, que no se cumple, en general, para las álgebras no asociativas. El ejemplo más conocido es, quizás, el álgebra de Albert, un álgebra de Jordan excepcional que no está envuelta por la construcción canónica del álgebra envolvente para las álgebras de Jordan.