Álgebra universal

El álgebra universal (a veces llamada álgebra general) es el campo de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas en sí mismas, no ejemplos ("modelos") de estructuras algebraicas. Por ejemplo, en lugar de tomar grupos particulares como objeto de estudio, en álgebra universal uno toma la clase de grupos como objeto de estudio.

En álgebra universal, un álgebra (o estructura algebraica) es un conjunto A junto con una colección de operaciones en A. Una operación n -aria en A es una función que toma n elementos de A y devuelve un solo elemento de A. Por lo tanto, una operación 0-aria (u operación nula) se puede representar simplemente como un elemento de A, o una constante, a menudo denotada por una letra como a. Una operación 1-aria (u operación unaria) es simplemente una función de A aA, a menudo denotada por un símbolo colocado delante de su argumento, como ~ x. Una operación biaria (u operación binaria) a menudo se denota con un símbolo colocado entre sus argumentos, como xy. Las operaciones de aridad mayor o no especificada generalmente se indican mediante símbolos de función, con los argumentos colocados entre paréntesis y separados por comas, como f (x, y, z) o f (x 1,..., x n). Algunos investigadores permiten operaciones infinitas, como textstyle bigwedge _{alpha in J}x_{alpha }donde Jes un conjunto índice infinito, lo que conduce a la teoría algebraica de redes completas. Una forma de hablar de un álgebra, entonces, es referirse a ella como un álgebra de cierto tipo Omega, donde Omegahay una secuencia ordenada de números naturales que representan la aridad de las operaciones del álgebra.

Una vez que se han especificado las operaciones, la naturaleza del álgebra se define aún más mediante axiomas, que en el álgebra universal a menudo toman la forma de identidades o leyes ecuacionales. Un ejemplo es el axioma asociativo para una operación binaria, que viene dado por la ecuación x ∗ (yz) = (xy) ∗ z. Se pretende que el axioma se cumpla para todos los elementos x, y y z del conjunto A.

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