Álgebra multilineal

El álgebra multilineal es un subcampo de las matemáticas que amplía los métodos del álgebra lineal. Así como el álgebra lineal se basa en el concepto de vector y desarrolla la teoría de los espacios vectoriales, el álgebra multilineal se basa en los conceptos de vectores p y multivectores con álgebras de Grassmann.

En un espacio vectorial de dimensión n, normalmente solo se utilizan los vectores. Sin embargo; según Hermann Grassmann y otros, esta presunción pasa por alto la complejidad de considerar las estructuras de pares, triples y multivectores generales. Con varias posibilidades combinatorias, el espacio de multivectores tiene 2dimensiones. La formulación abstracta del determinante es la aplicación más inmediata. El álgebra multilineal también tiene aplicaciones en el estudio mecánico de la respuesta del material al estrés y la deformación con varios módulos de elasticidad. Esta referencia práctica llevó al uso de la palabra tensor para describir los elementos del espacio multilineal. La estructura adicional en un espacio multilineal lo ha llevado a jugar un papel importante en varios estudios en matemáticas superiores. Aunque Grassmann comenzó el tema en 1844 con su Ausdehnungslehre, que también se volvió a publicar en 1862, su trabajo tardó en encontrar aceptación ya que el álgebra lineal ordinaria proporcionó suficientes desafíos para la comprensión.

El tema del álgebra multilineal se aplica en algunos estudios de cálculo multivariante y variedades donde entra en juego la matriz jacobiana. Las diferenciales infinitesimales del cálculo de una sola variable se convierten en formas diferenciales en el cálculo multivariante, y su manipulación se realiza con álgebra exterior.

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