Álgebra multilineal

El álgebra multilineal es un subcampo de las matemáticas que amplía los métodos del álgebra lineal. Así como el álgebra lineal se basa en el concepto de vector y desarrolla la teoría de los espacios vectoriales, el álgebra multilineal se basa en los conceptos de vectores p y multivectores con álgebras de Grassmann.

Origen

En un espacio vectorial de dimensión n, normalmente solo se utilizan los vectores. Sin embargo; según Hermann Grassmann y otros, esta presunción pasa por alto la complejidad de considerar las estructuras de pares, triples y multivectores generales. Con varias posibilidades combinatorias, el espacio de multivectores tiene 2dimensiones. La formulación abstracta del determinante es la aplicación más inmediata. El álgebra multilineal también tiene aplicaciones en el estudio mecánico de la respuesta del material al estrés y la deformación con varios módulos de elasticidad. Esta referencia práctica llevó al uso de la palabra tensor para describir los elementos del espacio multilineal. La estructura adicional en un espacio multilineal lo ha llevado a jugar un papel importante en varios estudios en matemáticas superiores. Aunque Grassmann comenzó el tema en 1844 con su Ausdehnungslehre, que también se volvió a publicar en 1862, su trabajo tardó en encontrar aceptación ya que el álgebra lineal ordinaria proporcionó suficientes desafíos para la comprensión.

El tema del álgebra multilineal se aplica en algunos estudios de cálculo multivariante y variedades donde entra en juego la matriz jacobiana. Las diferenciales infinitesimales del cálculo de una sola variable se convierten en formas diferenciales en el cálculo multivariante, y su manipulación se realiza con álgebra exterior.

Después de Grassmann, los desarrollos en álgebra multilineal fueron realizados en 1872 por Victor Schlegel cuando publicó la primera parte de su System der Raumlehre, y por Elwin Bruno Christoffel. Un gran avance en el álgebra multilineal se produjo en el trabajo de Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita (ver referencias). Fue la forma de cálculo diferencial absoluto del álgebra multilineal que Marcel Grossmann y Michele Besso introdujeron a Albert Einstein. La publicación en 1915 por Einstein de una explicación de la relatividad general para la precesión del perihelio de Mercurio, estableció el álgebra multilineal y los tensores como matemáticas físicamente importantes.

Uso en topología algebraica

A mediados del siglo XX, el estudio de los tensores se reformuló de manera más abstracta. El tratado Álgebra multilineal del grupo Bourbaki fue especialmente influyente; de ​​hecho, el término álgebra multilineal puede haberse originado allí.

Una razón en ese momento fue una nueva área de aplicación, el álgebra homológica. El desarrollo de la topología algebraica durante la década de 1940 dio un incentivo adicional para el desarrollo de un tratamiento puramente algebraico del producto tensorial. El cálculo de los grupos de homología del producto de dos espacios topológicos implica el producto tensorial; pero solo en los casos más simples, como un toro, se calcula directamente de esa manera (ver el teorema de Künneth). Los fenómenos topológicos eran lo suficientemente sutiles como para necesitar mejores conceptos fundamentales; técnicamente hablando, había que definir los funtores de Tor.

El material a organizar fue bastante extenso, incluyendo también ideas que se remontan a Hermann Grassmann, las ideas de la teoría de las formas diferenciales que habían llevado a la cohomología de De Rham, así como ideas más elementales como el producto cuña que generaliza el producto cruz.

La redacción bastante severa resultante del tema, por parte de Bourbaki, rechazó por completo un enfoque en el cálculo vectorial (la ruta del cuaternión, es decir, en el caso general, la relación con los grupos de Lie), y en su lugar, aplicó un enfoque novedoso utilizando la categoría teoría, con el enfoque del grupo de Lie visto como un asunto separado. Dado que esto conduce a un tratamiento mucho más limpio, probablemente no haya vuelta atrás en términos puramente matemáticos. (Estrictamente, se invocó el enfoque de propiedad universal; esto es algo más general que la teoría de categorías, y al mismo tiempo también se aclaraba la relación entre los dos como formas alternativas).

De hecho, lo que se hizo fue casi precisamente explicar que los espacios tensoriales son las construcciones necesarias para reducir los problemas multilineales a problemas lineales. Este ataque puramente algebraico no transmite ninguna intuición geométrica.

Al volver a expresar los problemas en términos de álgebra multilineal, existe una "mejor solución" clara y bien definida: las restricciones que ejerce la solución son exactamente las necesarias en la práctica. En general, no hay necesidad de invocar ninguna construcción ad hoc, idea geométrica o recurrir a sistemas de coordenadas. En la jerga de la teoría de categorías, todo es enteramente natural.

Temas de álgebra multilineal

El tema del álgebra multilineal ha evolucionado menos que la presentación a lo largo de los años. Aquí hay otras páginas centralmente relevantes para él:

• Operador bilineal
• Tratamiento de tensores sin componentes
• regla de Cramer
• doble espacio
• Notación de Einstein
• álgebra exterior
• Derivado exterior
• Producto Interno
• delta de Kronecker
• Símbolo Levi-Civita
• tensor métrico
• tensor mixto
• Mapa multilineal
• forma multilineal
• Álgebra simétrica, potencia simétrica
• tensor simétrico
• Tensor
• Álgebra tensorial, Álgebra libre
• contracción del tensor

También hay un glosario de teoría de tensores.

Aplicaciones

Algunas de las formas en que se aplican los conceptos del álgebra multilineal:

• Tratamiento clásico de los tensores
• tensor diádico
• Notación bra–ket
• álgebra geométrica
• Álgebra de Clifford
• pseudoescalar
• pseudovector
• Espinor
• producto exterior
• número hipercomplejo
• Aprendizaje subespacial multilineal