Álgebra diferencial

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En matemáticas, los anillos diferenciales, los cuerpos (campos) diferenciales y las álgebras diferenciales son anillos, cuerpos y estructuras algebraicas equipados con un número finito de derivaciones, que son funciones unarias que son lineales y satisfacen la regla del producto de Leibniz. Un ejemplo natural de un campo diferencial es el campo de funciones racionales en una variable sobre los números complejos ${ estilo de visualización mathbb {C} (t)}$ , donde la derivación es diferenciación con respecto a t.

El álgebra diferencial se refiere también al área de las matemáticas que consiste en el estudio de estos objetos algebraicos y su uso para el estudio algebraico de las ecuaciones diferenciales. El álgebra diferencial fue introducido por Joseph Ritt en 1950.

Anillo diferencial

Un anillo diferencial es un anillo R equipado con una o más derivaciones, que son homomorfismos de grupos aditivos. ${displaystyle parcial dos puntos Rto R,}$

tal que cada derivación ∂ satisface la regla del producto de Leibniz $parcial(r_1 r_2)=(parcial r_1) r_2 + r_1 (parcial r_2),,$

$r_1, r_2 en R$ para cada Tenga en cuenta que el anillo podría no ser conmutativo, por lo que la forma un tanto estándar d(xy) = x d y + y d x de la regla del producto en configuraciones conmutativas puede ser falsa. Si $M:R times R to R$ es una multiplicación en el anillo, la regla del producto es la identidad. $parcial circ M = M circ (parcial times operatorname{id}) + M circ (operatorname{id} times parcial).$

donde $fveces g$ significa la función que asigna un par $(x, y)$ al par $(f(x),g(y))$ .

Tenga en cuenta que un anillo diferencial es un $matemáticas {Z}$ álgebra diferencial (no necesariamente graduada).

Campo diferencial

Un campo diferencial es un campo conmutativo K equipado con derivaciones.

La conocida fórmula para diferenciar fracciones $parcializquierda(frac uvderecha) = frac{parcial(u),v - u,parcial(v)}{v^2}$

se sigue de la regla del producto. De hecho, debemos tener $parcializquierda(frac uv times vright) = parcial(u)$

Por la regla del producto, entonces tenemos $parcializquierda(frac uvderecha) , v + frac uv , parcial (v) = parcial(u)$

Resolviendo con respecto a $parcial (u/v)$ , obtenemos la identidad buscada.

Si K es un campo diferencial entonces el campo de constantes de K es $k = {u in K: parcial(u) = 0}.$

Un álgebra diferencial sobre un campo K es un K - álgebra A en la que la(s) derivación(es) conmuta(n) con la multiplicación escalar. Es decir, por todos $k en k$ y $x en A$ uno tiene $parcial (kx) = k parcial x$

Si ${displaystyle eta colon Kto Z(A)}$ el homomorfismo de anillos al centro de A define la multiplicación escalar en el álgebra, se tiene $parcial circ M circ (eta times operatorname{Id}) = M circ (eta times parcial)$

Como arriba, la derivación debe obedecer la regla de Leibniz sobre la multiplicación del álgebra y debe ser lineal sobre la suma. Así, por todos $a, b en K$ y $x, y en A$ uno tiene $parcial (xy) = (parcial x) y + x(parcial y)$

y $parcial (ax+by) = a,parcial x + b,parcial y.$

Derivación en un álgebra de Lie

Una derivación en un álgebra de Lie ${ matemáticas {g}}$ es un mapa lineal que $D colon mathfrak{g} to mathfrak{g}$ satisface la regla de Leibniz: $D([a,b]) = [a,D(b)] + [D(a),b]$

Para cualquier $a in mathfrak{g}$ , ad(a) es una derivación de ${ matemáticas {g}}$ , que se deriva de la identidad de Jacobi. Cualquier derivación de este tipo se denomina derivación interna. Esta derivación se extiende al álgebra envolvente universal del álgebra de Lie.

Ejemplos

Si A es unitario, entonces ∂(1) = 0 ya que ∂(1) = ∂(1 × 1) = ∂(1) + ∂(1). Por ejemplo, en un campo diferencial de característica cero $k$ , los racionales son siempre un subcampo del campo de constantes de $k$ .

Cualquier anillo es un anillo diferencial con respecto a la derivación trivial que mapea cualquier elemento del anillo a cero.

El campo Q (t) tiene una estructura única como campo diferencial, determinada por el establecimiento de ∂(t) = 1: los axiomas de campo junto con los axiomas para derivaciones aseguran que la derivación es diferenciación con respecto a t. Por ejemplo, por conmutatividad de la multiplicación y la ley de Leibniz se tiene que ∂(u) = u ∂(u) + ∂(u) u = 2 u ∂(u).

El campo diferencial Q (t) no tiene solución a la ecuación diferencial $parcial(u) = u$

pero se expande a un campo diferencial más grande que incluye la función e que tiene una solución para esta ecuación. Un campo diferencial con soluciones para todos los sistemas de ecuaciones diferenciales se denomina campo diferencialmente cerrado. Dichos campos existen, aunque no aparecen como objetos algebraicos o geométricos naturales. Todos los campos diferenciales (de cardinalidad acotada) se incrustan en un gran campo diferencialmente cerrado. Los campos diferenciales son los objetos de estudio en la teoría diferencial de Galois.

Los ejemplos naturales de derivaciones son las derivadas parciales, las derivadas de Lie, la derivada de Pincherle y el conmutador con respecto a un elemento de un álgebra.

Anillo de operadores pseudo-diferenciales

Los anillos diferenciales y las álgebras diferenciales se estudian a menudo por medio del anillo de operadores pseudodiferenciales sobre ellos.

Este es el conjunto de sumas infinitas formales ${displaystyle left{sum _{nll infty }r_{n}xi ^{n}mid r_{n}in Rright},}$

donde ${displaystyle nllinfty}$ significa que la suma se ejecuta en todos los números enteros que no son mayores que un valor fijo (finito).

Este conjunto se hace un anillo con la multiplicación definida extendiendo linealmente la siguiente fórmula para "monomios": ${displaystyle (rxi ^{m})(sxi ^{n})=sum _{k=0}^{infty }r(parcial ^{k}s){m choose k }xi^{m+nk},}$

donde ${displaystyle textstyle {m elegir k}={frac {m(m-1)dots (m-k+1)}{k!}}}$ es el coeficiente binomial. (Si 0,}">la suma es finita, ya que los términos con m}">son todos iguales a cero). En particular, uno tiene ${displaystyle xi ^{-1}s=sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k}(parcial ^{k}s)xi ^{-1-k }.}$

para r = 1, m = –1 y n = 0, y usando la identidad ${displaystyle textstyle {-1 elegir k}=(-1)^{k}}$

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