Álgebra homológica

El álgebra homológica es la rama de las matemáticas que estudia la homología en un entorno algebraico general. Es una disciplina relativamente joven, cuyos orígenes se remontan a las investigaciones en topología combinatoria (precursora de la topología algebraica) y álgebra abstracta (teoría de módulos y sicigias) a finales del siglo XIX, principalmente por Henri Poincaré y David Hilbert.

El desarrollo del álgebra homológica estuvo estrechamente relacionado con el surgimiento de la teoría de categorías. En general, el álgebra homológica es el estudio de los funtores homológicos y las intrincadas estructuras algebraicas que implican. Un concepto bastante útil y omnipresente en matemáticas es el de complejos de cadenas, que se pueden estudiar tanto a través de su homología como de su cohomología. El álgebra homológica proporciona los medios para extraer la información contenida en estos complejos y presentarla en forma de invariantes homológicos de anillos, módulos, espacios topológicos y otros objetos matemáticos "tangibles". Las secuencias espectrales proporcionan una poderosa herramienta para hacer esto.

Desde sus orígenes, el álgebra homológica ha jugado un papel enorme en la topología algebraica. Su influencia se ha expandido gradualmente y actualmente incluye álgebra conmutativa, geometría algebraica, teoría de números algebraicos, teoría de representación, física matemática, álgebras de operadores, análisis complejo y la teoría de ecuaciones diferenciales parciales. La teoría K es una disciplina independiente que se basa en métodos del álgebra homológica, al igual que la geometría no conmutativa de Alain Connes.

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