Álgebra asociativa

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En matemáticas, un álgebra asociativa A es una estructura algebraica con operaciones compatibles de suma, multiplicación (que se supone asociativa) y una multiplicación escalar por elementos en algún campo. Las operaciones de suma y multiplicación juntas dan a A la estructura de un anillo; las operaciones de suma y multiplicación escalar juntas dan a A la estructura de un espacio vectorial sobre K. En este artículo también usaremos el término K -álgebrapara significar un álgebra asociativa sobre el campo K. Un primer ejemplo estándar de K -álgebra es un anillo de matrices cuadradas sobre un campo K, con la multiplicación de matrices habitual.

Un álgebra conmutativa es un álgebra asociativa que tiene una multiplicación conmutativa o, de manera equivalente, un álgebra asociativa que también es un anillo conmutativo.

En este artículo se supone que las álgebras asociativas tienen una identidad multiplicativa, denotada por 1; a veces se les llama álgebras asociativas unitarias para mayor claridad. En algunas áreas de las matemáticas no se hace esta suposición, y llamaremos a tales estructuras álgebras asociativas no unitarias. También supondremos que todos los anillos son unitarios y que todos los homomorfismos de anillos son unitarios.

Muchos autores consideran el concepto más general de un álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo R, en lugar de un campo: una R - álgebra es un R - módulo con una R -operación binaria bilineal asociativa, que también contiene una identidad multiplicativa. Para ejemplos de este concepto, si S es cualquier anillo con centro C, entonces S es un C -álgebra asociativa.

Definición

Sea R un anillo conmutativo (entonces R podría ser un campo). Un R - álgebra asociativa (o más simplemente, un R - álgebra) es un anillo que también es un R -módulo de tal manera que las dos sumas (la suma del anillo y la suma del módulo) son la misma operación, y la multiplicación escalar satisface $rcdot (xy)=(rcdot x)y=x(rcdot y)$

para todo r en R y x, y en el álgebra. (Esta definición implica que el álgebra es unitaria, ya que se supone que los anillos tienen una identidad multiplicativa).

De manera equivalente, un álgebra asociativa A es un anillo junto con un homomorfismo de anillos desde R hasta el centro de A. Si f es tal homomorfismo, la multiplicación escalar es ${ estilo de visualización (r, x) mapas para f (r) x}$ (aquí la multiplicación es la multiplicación de anillos); si se da la multiplicación escalar, el homomorfismo de anillos viene dado por ${displaystyle rmapsto rcdot 1_{R}}$ (Ver también § De homomorfismos de anillos a continuación).

Cada anillo es un álgebra asociativa $matemáticas {Z}$ , donde $matemáticas {Z}$ denota el anillo de los números enteros.

UNEl álgebra conmutativa es un álgebra asociativa que también es un anillo conmutativo.

Como objeto monoide en la categoría de módulos.

La definición es equivalente a decir que un R -álgebra unitaria asociativa es un objeto monoide en R -Mod (la categoría monoide de R -módulos). Por definición, un anillo es un objeto monoide en la categoría de grupos abelianos; así, la noción de álgebra asociativa se obtiene reemplazando la categoría de grupos abelianos por la categoría de módulos.

Llevando esta idea más allá, algunos autores han introducido un "anillo generalizado" como un objeto monoide en alguna otra categoría que se comporta como la categoría de módulos. De hecho, esta reinterpretación permite evitar hacer una referencia explícita a elementos de un álgebra A. Por ejemplo, la asociatividad se puede expresar de la siguiente manera. Por la propiedad universal de un producto tensorial de módulos, la multiplicación (el R -mapa bilineal) corresponde a un único R -mapa lineal $m:Aotimes_{R}Ato A$ .

La asociatividad entonces se refiere a la identidad: ${displaystyle mcirc ({operatorname {id} }otimes m)=mcirc (motimes operatorname {id}).}$

De homomorfismos de anillos

Un álgebra asociativa equivale a un homomorfismo de anillos cuya imagen se encuentra en el centro. De hecho, comenzando con un anillo A y un homomorfismo de anillos $eta colon Rto A$ cuya imagen se encuentra en el centro de A, podemos hacer de A un R -álgebra definiendo $rcdot x=eta (r)x$

para todo r ∈ R y x ∈ A. Si A es un R - álgebra, tomando x = 1, la misma fórmula define a su vez un homomorfismo de anillos $eta colon Rto A$ cuya imagen se encuentra en el centro.

Si un anillo es conmutativo, entonces es igual a su centro, por lo que un R -álgebra conmutativa puede definirse simplemente como un anillo A conmutativo junto con un homomorfismo de anillo conmutativo $eta colon Rto A$ .

El homomorfismo de anillos η que aparece en lo anterior a menudo se denomina mapa de estructura. En el caso conmutativo, se puede considerar la categoría cuyos objetos son homomorfismos de anillos R → A; es decir, R -álgebras conmutativas y cuyos morfismos son homomorfismos de anillos A → A ' que están bajo R; es decir, R → A → A ' es R → A ' (es decir, la categoría coslice de la categoría de anillos conmutativos bajo R.) El funtor de espectro primo Spec determina entonces una antiequivalencia de esta categoría con la categoría de esquemas afines sobre Spec R.

Cómo debilitar la suposición de conmutatividad es un tema de la geometría algebraica no conmutativa y, más recientemente, de la geometría algebraica derivada. Ver también: anillo matriz genérico.

Homomorfismos de álgebra

Un homomorfismo entre dos R - álgebras es un homomorfismo de anillo R -lineal. Explícitamente, ${ estilo de visualización varphi: A_ {1} a A_ {2}}$ es un homomorfismo de álgebra asociativa si ${displaystyle {begin{alineado}varphi (rcdot x)&=rcdot varphi (x)\varphi (x+y)&=varphi (x)+varphi (y) \varphi (xy)&=varphi (x)varphi (y)\varphi (1)&=1end{alineado}}}$

La clase de todas las R -álgebras junto con los homomorfismos de álgebra entre ellas forman una categoría, a veces denominada R -Alg.

La subcategoría de R -álgebras conmutativas se puede caracterizar como la categoría coslice R / CRing donde CRing es la categoría de anillos conmutativos.

Ejemplos

El ejemplo más básico es un anillo en sí mismo; es un álgebra sobre su centro o cualquier subanillo que se encuentre en el centro. En particular, cualquier anillo conmutativo es un álgebra sobre cualquiera de sus subanillos. Abundan otros ejemplos tanto del álgebra como de otros campos de las matemáticas.

Álgebra

Cualquier anillo A puede considerarse como un Z -álgebra. El homomorfismo de anillo único de Z a A está determinado por el hecho de que debe enviar 1 a la identidad en A. Por lo tanto, los anillos y Z - álgebras son conceptos equivalentes, de la misma manera que los grupos abelianos y Z -módulos son equivalentes.
Cualquier anillo de característica n es un (Z / n Z)-álgebra de la misma manera.
Dado un R -módulo M, el anillo de endomorfismo de M, denotado End _R (M) es un R -álgebra al definir (r ·φ)(x) = r ·φ(x).
Cualquier anillo de matrices con coeficientes en un anillo conmutativo R forma una R -álgebra bajo la suma y multiplicación de matrices. Esto coincide con el ejemplo anterior cuando M es un módulo R libre generado finitamente.
- En particular, las matrices cuadradas n por n con entradas del campo K forman un álgebra asociativa sobre K.
Los números complejos forman un álgebra conmutativa bidimensional sobre los números reales.
Los cuaterniones forman un álgebra asociativa de 4 dimensiones sobre los reales (pero no un álgebra sobre los números complejos, ya que los números complejos no están en el centro de los cuaterniones).
Los polinomios con coeficientes reales forman un álgebra conmutativa sobre los reales.
Todo anillo polinomial R [ x ₁,..., x _n ] es un R -álgebra conmutativa. De hecho, esta es la R -álgebra conmutativa libre sobre el conjunto { x ₁,..., x _n }.
El R -álgebra libre sobre un conjunto E es un álgebra de "polinomios" con coeficientes en R e indeterminados no conmutantes tomados del conjunto E.
El álgebra tensorial de un módulo R es naturalmente un álgebra R asociativa. Lo mismo es cierto para cocientes como las álgebras exteriores y simétricas. Hablando categóricamente, el funtor que asigna un módulo R a su álgebra tensorial se deja adjunto al funtor que envía un álgebra R a su módulo R subyacente (olvidando la estructura multiplicativa).
El siguiente anillo se utiliza en la teoría de los anillos λ. Dado un anillo conmutativo A, sea ${displaystyle G(A)=1+tA[![t]!],}$ el conjunto de series de potencias formales con término constante 1. Es un grupo abeliano con la operación de grupo que es la multiplicación de series de potencias. Es entonces un anillo con la multiplicación, denotada por $circ$ , tal que ${displaystyle (1+at)circ (1+bt)=1+abt,}$ determinada por esta condición y los axiomas del anillo. La identidad aditiva es 1 y la identidad multiplicativa es ${ estilo de visualización 1 + t}$ . Entonces $UN$ tiene una estructura canónica de un $GEORGIA)$ -álgebra dada por el homomorfismo de anillos0}a_{i}t^{i}mapsto a_{1}end{cases}}}">Por otro lado, si A es un anillo λ, entonces hay un homomorfismo de anillos0}lambda ^{i}(a)t^{i}end{cases} }}">dando $GEORGIA)$ una estructura de un A -álgebra.

Teoría de la representación

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie es un álgebra asociativa que se puede utilizar para estudiar el álgebra de Lie dada.
Si G es un grupo y R es un anillo conmutativo, el conjunto de todas las funciones de G a R con soporte finito forma una R -álgebra con la convolución como multiplicación. Se llama el álgebra de grupos de G. La construcción es el punto de partida para la aplicación al estudio de grupos (discretos).
Si G es un grupo algebraico (por ejemplo, un grupo de Lie complejo semisimple), entonces el anillo de coordenadas de G es el álgebra de Hopf A correspondiente a G. Muchas estructuras de G se traducen a las de A.
Un álgebra de carcaj (o un álgebra de caminos) de un gráfico dirigido es el álgebra asociativa libre sobre un campo generado por los caminos en el gráfico.

Análisis

Dado cualquier espacio de Banach X, los operadores lineales continuos A: X → X forman un álgebra asociativa (usando la composición de operadores como multiplicación); esto es un álgebra de Banach.
Dado cualquier espacio topológico X, las funciones continuas de valores reales o complejos en X forman un álgebra asociativa real o compleja; aquí las funciones se suman y multiplican por puntos.
El conjunto de semimartingalas definido en el espacio de probabilidad filtrado (Ω, F, (F _t) _{t ≥ 0}, P) forma un anillo bajo integración estocástica.
El álgebra de Weyl
Un álgebra de Azumaya

Geometría y combinatoria

Las álgebras de Clifford, que son útiles en geometría y física.
Las álgebras de incidencia de conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos son álgebras asociativas consideradas en combinatoria.

Construcciones

subálgebrasUna subálgebra de una R -álgebra A es un subconjunto de A que es a la vez un subanillo y un submódulo de A. Es decir, debe estar cerrado bajo suma, multiplicación de anillos, multiplicación escalar y debe contener el elemento de identidad de A.Álgebras de cocientesSea A un R -álgebra. Cualquier ideal de teoría de anillos I en A es automáticamente un módulo R ya que r · x = (r 1 _A) x. Esto le da al cociente anular A / I la estructura de un R -módulo y, de hecho, una R -álgebra. De ello se deduce que cualquier imagen homomórfica de anillos de A es también un R -álgebra.productos directosEl producto directo de una familia de R -álgebras es el producto directo de teoría de anillos. Esto se convierte en un álgebra R con la obvia multiplicación escalar.productos gratisSe puede formar un producto libre de R -álgebras de manera similar al producto libre de grupos. El producto libre es el coproducto en la categoría de R -álgebras.productos tensorialesEl producto tensorial de dos R -álgebras también es un R -álgebra de forma natural. Ver producto tensorial de álgebras para más detalles. Dado un anillo conmutativo R y cualquier anillo A, al producto tensorial R ⊗ _Z A se le puede dar la estructura de un R - álgebra definiendo r · (s ⊗ a) = (rs ⊗ a). El funtor que envía A a R ⊗ _Z A se deja junto al funtor que envía un R-álgebra a su anillo subyacente (olvidando la estructura del módulo). Ver también: Cambio de anillos.

Álgebra separable

Sea A un álgebra sobre un anillo conmutativo R. Entonces el álgebra A es un módulo correcto ${displaystyle A^{e}:=A^{op}otimes_{R}A}$ con la acción ${displaystyle xcdot (aotimes b)=axb}$ . Entonces, por definición, se dice que A es separable si el mapa de multiplicación ${displaystyle Aotimes_{R}Ato A,,xotimes ymapsto xy}$ se divide como un $A ^ e$ mapa -lineal, donde $A veces A$ es un $A ^ e$ -módulo por ${displaystyle (xotimes y)cdot (aotimes b)=axotimes yb}$ . Equivalentemente, es separable si es un módulo proyectivo sobre; así, la dimensión -proyectiva de A, a veces llamada bidimensión de A, mide el fracaso de la separabilidad. $UN$ $A ^ e$ $A ^ e$

Álgebra de dimensión finita

Sea A un álgebra de dimensión finita sobre un campo k. Entonces A es un anillo artiniano.

Caso conmutativo

Como A es artiniano, si es conmutativo, entonces es un producto finito de anillos locales artinianos cuyos campos residuales son álgebras sobre el campo base k. Ahora, un anillo local artiniano reducido es un campo y por lo tanto los siguientes son equivalentes

$UN$ es separable.
${displaystyle Aotimes {overline {k}}}$ se reduce, donde $sobrelínea {k}$ es alguna clausura algebraica de k.
${displaystyle Aotimes {overline {k}}={overline {k}}^{n}}$ para algunos n.
${ estilo de visualización dim _ {k} A}$ es el número de $k$ homomorfismos de álgebra ${displaystyle Ato {overline {k}}}$ .

Caso no conmutativo

Dado que un anillo artiniano simple es un anillo de matriz (completo) sobre un anillo de división, si A es un álgebra simple, entonces A es un álgebra de matriz (completo) sobre un álgebra de división D sobre k; es decir, ${ estilo de visualización A = M_ {n} (D)}$ . De manera más general, si A es un álgebra semisimple, entonces es un producto finito de álgebras de matrices (sobre varias k - álgebras de división), hecho conocido como el teorema de Artin-Wedderburn.

El hecho de que A sea artiniano simplifica la noción de un radical de Jacobson; para un anillo artiniano, el radical de Jacobson de A es la intersección de todos los ideales maximales (bilaterales) (en contraste, en general, un radical de Jacobson es la intersección de todos los ideales maximales izquierdos o la intersección de todos los ideales maximales derechos).

El teorema principal de Wedderburn establece: para un álgebra A de dimensión finita con un ideal nilpotente I, si la dimensión proyectiva de como un módulo es como máximo uno, entonces la sobreyección natural se divide; es decir, contiene una subálgebra tal que es un isomorfismo. Tomando I como el radical de Jacobson, el teorema dice en particular que el radical de Jacobson se complementa con un álgebra semisimple. El teorema es un análogo del teorema de Levi para álgebras de Lie. $AI$ ${ estilo de visualización (A/I) ^ {e}}$ ${displaystyle p:Aa A/I}$ $UN$ $B$ ${displaystyle p|_{B}:B{overset {sim }{to }}A/I}$

Celosias y ordenes

Sea R un dominio integral noetheriano con campo de fracciones K (por ejemplo, pueden ser ${displaystyle mathbb {Z},mathbb {Q} }$ ). Una red L en un espacio vectorial K de dimensión finita V es un submódulo R de V generado finitamente que genera V; en otras palabras, ${displaystyle Lotimes_{R}K=V}$ .

Sea un K ${displaystyle A_{K}}$ -álgebra de dimensión finita. Un orden en es una R -subálgebra que es una red. En general, hay muchos menos órdenes que celosías; por ejemplo, es un retículo pero no un orden (ya que no es un álgebra). ${displaystyle A_{K}}$ ${displaystyle {1 over 2}mathbb {Z} }$ $matemáticas {Q}$

Un orden máximo es un orden que es máximo entre todos los órdenes.

Conceptos relacionados

Coálgebras

Un álgebra asociativa sobre K viene dada por un K -espacio vectorial A dotado de una aplicación bilineal A × A → A que tiene dos entradas (multiplicador y multiplicando) y una salida (producto), así como un morfismo K → A que identifica el escalar múltiplos de la identidad multiplicativa. Si el mapa bilineal A × A → A se reinterpreta como un mapa lineal (es decir, morfismo en la categoría de K -espacios vectoriales) A ⊗ A → A(por la propiedad universal del producto tensorial), entonces podemos ver un álgebra asociativa sobre K como un K -espacio vectorial A dotado de dos morfismos (uno de la forma A ⊗ A → A y uno de la forma K → A) satisfaciendo ciertas condiciones que se reducen a los axiomas del álgebra. Estos dos morfismos se pueden dualizar utilizando la dualidad categorial invirtiendo todas las flechas en los diagramas conmutativos que describen los axiomas del álgebra; esto define la estructura de una coalgebra.

También existe una noción abstracta de F -coalgebra, donde F es un funtor. Esto está vagamente relacionado con la noción de coalgebra discutida anteriormente.

Representaciones

Una representación de un álgebra A es un homomorfismo de álgebra ρ: A → End(V) de A al álgebra de endomorfismo de algún espacio vectorial (o módulo) V. La propiedad de que ρ sea un homomorfismo algebraico significa que ρ conserva la operación multiplicativa (es decir, ρ (xy) = ρ (x) ρ (y) para todo x e y en A), y que ρ envía la unidad de A a la unidad de Fin(V) (es decir, al endomorfismo identidad de V).

Si A y B son dos álgebras, y ρ: A → End(V) y τ: B → End(W) son dos representaciones, entonces existe una representación (canónica) A B → End(V W) del producto tensorial álgebra A B en el espacio vectorial V W $otimes$ $otimes$ . Sin embargo, no existe una forma natural de definir un producto tensorial de dos representaciones de un álgebra asociativa única de tal manera que el resultado siga siendo una representación de esa misma álgebra (no de su producto tensorial consigo misma), sin imponer de alguna manera condiciones adicionales. Aquí, por producto tensorial de representaciones, se pretende el significado habitual: el resultado debe ser una representación lineal de la misma álgebra en el espacio vectorial del producto. La imposición de tal estructura adicional generalmente conduce a la idea de un álgebra de Hopf o un álgebra de Lie, como se demuestra a continuación.

Motivación para un álgebra de Hopf

Considere, por ejemplo, dos representaciones $sigma:Arightarrow mathrm {Fin} (V)$ y $tau:Arightarrow mathrm {Fin} (W)$ . Se podría tratar de formar una representación del producto tensorial $rho:xmapsto sigma (x)otimes tau (x)$ según cómo actúa sobre el espacio vectorial del producto, de modo que $rho (x)(votimes w)=(sigma (x)(v))otimes (tau (x)(w)).$

Sin embargo, tal mapa no sería lineal, ya que uno tendría $rho (kx)=sigma (kx)otimes tau (kx)=ksigma (x)otimes ktau (x)=k^{2}(sigma (x)otimes tau (x))=k^{2}rho (x)$

para k ∈ K. Se puede rescatar este intento y restaurar la linealidad imponiendo una estructura adicional, definiendo un homomorfismo de álgebra Δ: A → A ⊗ A, y definiendo la representación del producto tensorial como $rho =(sigma otimes tau)circ Delta.$

Tal homomorfismo Δ se llama comultiplicación si satisface ciertos axiomas. La estructura resultante se llama biálgebra. Para ser coherente con las definiciones del álgebra asociativa, la coalgebra debe ser coasociativa y, si el álgebra es unitaria, entonces la co-álgebra también debe ser coasociativa. Un álgebra de Hopf es una biálgebra con una estructura adicional (la llamada antípoda), que permite no solo definir el producto tensorial de dos representaciones, sino también el módulo Hom de dos representaciones (nuevamente, de manera similar a como se hace en la teoría de la representación de los grupos).

Motivación para un álgebra de mentira

Uno puede tratar de ser más inteligente al definir un producto tensorial. Considere, por ejemplo, $xmapstorho (x)=sigma (x)otimes {mbox{Id}}_{W}+{mbox{Id}}_{V}otimes tau (x)$

de modo que la acción sobre el espacio del producto tensorial está dada por $rho (x)(votimes w)=(sigma (x)v)otimes w+votimes (tau (x)w)$ .

Este mapa es claramente lineal en x, por lo que no tiene el problema de la definición anterior. Sin embargo, no logra preservar la multiplicación: $rho (xy)=sigma (x)sigma (y)otimes {mbox{Id}}_{W}+{mbox{Id}}_{V}otimes tau (x)tau (y)$ .

Pero, en general, esto no es igual $rho (x)rho (y)=sigma (x)sigma (y)otimes {mbox{Id}}_{W}+sigma (x)otimes tau (y)+sigma (y)otimes tau (x)+{mbox{Id}}_{V}otimes tau (x)tau (y)$ .

Esto demuestra que esta definición de producto tensorial es demasiado ingenua; la solución obvia es definirlo de tal manera que sea antisimétrico, de modo que los dos términos del medio se cancelen. Esto conduce al concepto de álgebra de Lie.

Álgebras no unitarias

Algunos autores utilizan el término "álgebra asociativa" para referirse a estructuras que no necesariamente tienen una identidad multiplicativa y, por lo tanto, consideran homomorfismos que no son necesariamente unitarios.

Un ejemplo de álgebra asociativa no unitaria está dado por el conjunto de todas las funciones f: R → R cuyo límite cuando x tiende a infinito es cero.

Otro ejemplo es el espacio vectorial de funciones periódicas continuas, junto con el producto de convolución.

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