Adjunto hermitiano

En matemáticas, específicamente en teoría del operador, cada operador lineal ${displaystyle A}$ en un espacio de producto interior define un Hermitian adjoint (o adjoint) operador ${displaystyle A^{}$ sobre ese espacio según la regla

${displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,A^{*}yrangle}$

Donde ${displaystyle langle cdotcdot rangle }$ es el producto interno en el espacio vectorial.

El adjunto también puede denominarse conjugado hermitiano o simplemente hermitiano en honor a Charles Hermite. A menudo se denota por A^† en campos como la física, especialmente cuando se usa junto con la notación de soporte en cuántica. mecánica. En dimensiones finitas donde los operadores están representados por matrices, el adjunto hermitiano viene dado por la transpuesta conjugada (también conocida como transpuesta hermitiana).

La definición anterior de un operador adjunto extiende verbatim a operadores lineales consolidados en los espacios de Hilbert ${displaystyle H.$. Se ha ampliado la definición para incluirla sin límites densamente definida operadores, cuyo dominio es topológicamente denso, pero no necesariamente igual a, ${displaystyle H.}$

Definición informal

Considerar un mapa lineal ${displaystyle A:H_{1}to H_{2}$ entre espacios de Hilbert. Sin cuidar de ningún detalle, el operador adjunto es el operador lineal (en la mayoría de los casos único) ${displaystyle A^{*}H_{2}to H_{1}$ cumpliendo

${displaystyle leftlangle Ah... ¿Qué? ¿Qué? - ¿Qué?$

Donde ${displaystyle langle cdotcdot rangle ¿Qué? H_{i}}$ es el producto interno en el espacio Hilbert ${displaystyle H_{i}$, que es lineal en la primera coordenadas y antilinear en la segunda coordenadas. Tenga en cuenta el caso especial donde ambos espacios Hilbert son idénticos y ${displaystyle A}$ es un operador en ese espacio de Hilbert.

Cuando se intercambia el producto interior para el doble emparejamiento, se puede definir el adjoint, también llamado la transposición, de un operador ${displaystyle A:Eto F}$, donde ${displaystyle E,F}$ son espacios de Banach con las normas correspondientes ${displaystylefncdot "Primer..." "Perfecto".$. Aquí (de nuevo no considerar ninguna técnica), su operador adjunto se define como ${displaystyle A^{*}:F^{*}to E^{*}$ con

${displaystyle A^{*}f=fcirc A:umapsto f(Au),}$

I.e., ${displaystyle left(A^{*}fright)(u)=f(Au)}$ para ${displaystyle fin F^{*},uin E}$.

La definición anterior en el entorno espacial de Hilbert es realmente sólo una aplicación de la caja espacial de Banach cuando se identifica un espacio de Hilbert con su doble. Entonces es natural que también podamos obtener la unión de un operador ${displaystyle A:Hto E}$, donde ${displaystyle H.$ es un espacio Hilbert y ${displaystyle E}$ es un espacio de Banach. El dual se define entonces como ${displaystyle A^{*}:E^{*}to H.$ con ${displaystyle A^{*}f=h_{f}$ tales que

${displaystyle langle h_{f},hrangle _{H}=f(Ah).}$

Definición de operadores ilimitados entre espacios de Banach

Vamos. ${displaystyle left(E, "Principalmente"$ ser espacios de Banach. Suppose ${displaystyle A:D(A)to F}$ y ${displaystyle D(A)subset E}$Y supongamos que ${displaystyle A}$ es un operador lineal (posiblemente sin límites) que se define densamente (es decir, ${displaystyle D(A)}$ es denso en ${displaystyle E}$). Entonces su operador adjunto ${displaystyle A^{}$ se define como sigue. El dominio es

${displaystyle Dleft(A^{*}right):=left{gin F^{*}:~exists cgeq 0:~{mbox{ for all }uin D(A):~ WordPressg(Au) durableleq ccdot perpetua_{E}right}.}$

Ahora para arbitrario pero fijo ${displaystyle gin D(A^{*})}$ Nos hemos fijado ${displaystyle f:D(A)to mathbb {R}$ con ${displaystyle f(u)=g(Au)}$. Por elección de ${displaystyle g}$ y definición de ${displaystyle D(A^{*}}$, f es (uniformly) continuo en ${displaystyle D(A)}$ como ${displaystyle Silenciof(u) permanezcan insospechados)$. Luego por el teorema Hahn-Banach, o alternativamente por extensión por continuidad, esto produce una extensión de ${displaystyle f}$, llamado ${displaystyle {hat {f}}$, definido en todos ${displaystyle E}$. Esta técnicaidad es necesaria para obtener más adelante ${displaystyle A^{}$ como operador ${displaystyle Dleft(A^{*}right)to E^{*}$ en lugar de ${displaystyle Dleft(A^{*}right)to (D(A))^{*}$ Remark also that this does not mean that ${displaystyle A}$ se puede ampliar en todos los ${displaystyle E}$ pero la extensión sólo funcionó para elementos específicos ${displaystyle gin Dleft(A^{*}right)}$.

Ahora, podemos definir la unión de ${displaystyle A}$ como

${displaystyle {begin{aligned}A^{*}:F^{*}supset D(A^{*} {*}} {f}g}g}g}g}g}g}g}g}g}g}g} A^{*}g={hat {f}end{aligned}$

La identidad fundamental que define es, por tanto,

${displaystyle g(Au)=left(A^{*}gright)(u)}$ para ${displaystyle uin D(A).}$

Definición de operadores acotados entre espacios de Hilbert

Suppose H es un espacio complejo Hilbert, con producto interior ${displaystyle langle cdotcdot rangle }$. Considere un operador lineal continuo A: H → H (para operadores lineales, la continuidad es equivalente a ser un operador vinculado). Entonces la unión de A es el operador lineal continuo A^Alternativa: H → H satisfacción

${displaystyle langle Ax,yrangle =leftlangle x,A^{*}yrightrangle quad {mbox{for all }x,yin H.}$

La existencia y unicidad de este operador se deriva del teorema de representación de Riesz.

Esto puede verse como una generalización de la matriz adjunta de una matriz cuadrada que tiene una propiedad similar que involucra el producto interno complejo estándar.

Propiedades

Las siguientes propiedades del adjunto hermitiano de operadores acotados son inmediatas:

1. Involutividad: A^Alternativa = A
2. Si A es invertible, entonces lo es A^AlternativaCon ${textstyle left(A^{*}right)^{-1}=left(A^{-1}right)^{*}$
3. Anti-linearidad:
   • ()A + B)^Alternativa = A^Alternativa + B^Alternativa
   • ()λA)^Alternativa = λA^Alternativa, donde λ denota el complejo conjugado del complejo número λ
4. "Anti-distributividad": ()AB)^Alternativa = B^AlternativaA^Alternativa

Si definimos la norma del operador de A por

${displaystyle "Principalmente" left{fnMicrosoft Sans:fnMicrosoft Sans Serif}$

entonces

${displaystyleleftfnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}$

Además,

${displaystyleleftfnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}fnMientras, ¿por qué?$

Se dice que una norma que satisface esta condición se comporta como un "valor más grande", extrapolando del caso de operadores autoadjuntos.

El conjunto de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert complejo H junto con la operación adjunta y la norma del operador forman el prototipo de un álgebra C*.

Conjunto de operadores ilimitados densamente definidos entre espacios de Hilbert

Definición

Dejar el producto interior ${displaystyle langle cdotcdot rangle }$ ser lineal en el primero argumento. Un operador densamente definido A de un espacio complejo Hilbert H a sí mismo es un operador lineal cuyo dominio D()A) es un subespacio lineal denso H y cuyos valores se encuentran H. Por definición, el dominio D()A^Alternativa) de su unión A^Alternativa es el conjunto de todos Sí. ▪ H para el cual hay z ▪ H satisfacción

${displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,zrangle quad {mbox{for all }}xin D(A). }$

Debido a la densidad de ${displaystyle D(A)}$ y el teorema de representación Riesz, ${displaystyle z}$ es una definición única, y, por definición, ${displaystyle A^{*}y=z.}$

Propiedades 1.–5. mantener con cláusulas apropiadas sobre dominios y codominios. Por ejemplo, la última propiedad ahora indica que (AB)^∗ es una extensión de B^∗A^∗ si A, B y AB son operadores densamente definidos.

Ker A*=(estoy A)⊥

Por todos ${displaystyle yin ker A^{*},}$ el funcional lineal ${displaystyle xmapsto langle Ax,yrangle =langle x,A^{*}yrangle }$ es idéntico cero, y por lo tanto ${displaystyle yin (operatorname {im} A)^{perp }$

Por el contrario, la suposición de que ${displaystyle yin (operatorname {im} A.$ causas funcionales ${displaystyle xmapsto langle Ax,yrangle }$ para ser idéntico cero. Puesto que el funcional está obviamente ligado, la definición ${displaystyle A^{}$ asegura que ${displaystyle yin D(A^{*})}$ El hecho de que, por todos ${displaystyle xin D(A),}$ ${displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,A^{*}yrangle =0}$ muestra que ${displaystyle A^{*}yin D(A)^{perp }={overline {D(A)}{perp }={0}$ dado que ${displaystyle D(A)}$ Es denso.

Esta propiedad muestra que ${displaystyle operatorname {ker} A^{}$ es un subespacio cerrado topológicamente incluso cuando ${displaystyle D(A^{*}}$ No lo es.

Interpretación geométrica

Si ${displaystyle H_{1}$ y ${displaystyle H_{2}$ son espacios Hilbert, entonces ${displaystyle H_{1}oplus H_{2}$ es un espacio Hilbert con el producto interior

${displaystyle {bigl langle }(a,b),(c,d){bigr rangle }_{H_{1}oplus ¿Qué? a,crangle ¿Qué?$

Donde ${displaystyle a,cin H_{1}$ y ${displaystyle b,din H_{2}$

Vamos. ${displaystyle Jcolon Hoplus Hto Hoplus H.$ ser la cartografía simpática, es decir. ${displaystyle J(xieta)=(-etaxi). }$ Entonces el gráfico

${displaystyle G(A^{*})={(x,y)mid xin D(A^{*}), y=A^{*}x}subseteq Hoplus H}$

de ${displaystyle A^{}$ es el complemento ortogonal de ${displaystyle JG(A):}$

${displaystyle G(A^{*})=(JG(A)^{perp }={(x,y)in Hoplus H:{bigllangle }(x,y),(-Axixi){bigr rangle }_{Hoplus H}=0;;forall xi in D(A)}.$

La afirmación se desprende de las equivalencias

${displaystyle {bigl langle }(x,y),(-Axixi){bigr rangle }=0quad Leftrightarrow quad langle Axixrangle =langle xiyrangle}$

y

${displaystyle {Bigl [}forall xi in D(A) \langle Axixrangle =langle xiyrangle {Bigr ]}quad Leftrightarrow quad xin D(A^{*})\\ {*}x.}$

Corolarios

A * está cerrada

Un operador ${displaystyle A}$ es cerrado si el gráfico ${displaystyle G(A)}$ está cerrado topológicamente ${displaystyle Hoplus H.}$ El gráfico ${displaystyle G(A^{*}}$ del operador adjunto ${displaystyle A^{}$ es el complemento ortogonal de un subespacio, y por lo tanto está cerrado.

A* está densamente definido ⇔ A se puede cerrar

Un operador ${displaystyle A}$ es closable si el cierre topológico ${displaystyle G^{text{cl}(A)subseteq Hoplus H}$ del gráfico ${displaystyle G(A)}$ es el gráfico de una función. Desde ${displaystyle G^{text{cl}(A)}$ es un subespacio lineal (cerrado), la palabra "función" puede ser reemplazada por "operador lineal". Por la misma razón, ${displaystyle A}$ es closable si y sólo si ${displaystyle (0,v)notin G^{text{cl}(A)}$ a) ${displaystyle v=0.}$

El adjoint ${displaystyle A^{}$ se define densamente si y sólo si ${displaystyle A}$ es imperdonable. Esto se debe al hecho de que, por cada ${displaystyle vin H,}$

${displaystyle vin D(A^{*}} {perp} Leftrightarrow (0,v)in G^{text{cl}(A),}$

lo cual, a su vez, se prueba a través de la siguiente cadena de equivalencias:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$

A** = Ac

El cierre ${displaystyle A^{text{cl}}$ de un operador ${displaystyle A}$ es el operador cuyo gráfico ${displaystyle G^{text{cl}(A)}$ si este gráfico representa una función. Como arriba, la palabra "función" puede ser reemplazada por "operador". Además, ${displaystyle ¿Qué?$ significa que ${displaystyle G(A^{})=G^{text{cl}(A).}$

Para probar esto, observe que ${displaystyle J.$ i.e. ${displaystyle langle Jx,yrangle ##{Hoplus H}=-langle x,Jyrangle _{Hoplus H}$ para todos ${displaystyle x,yin Hoplus H.}$ De hecho,

${displaystyle {begin{aligned}langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})rangle ¿Por qué? ### {Hoplus H}=langle -x_{2},y_{1}rangle ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ x_{1},y_{2}rangle ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ¿Qué?$

En particular, para todos ${displaystyle yin Hoplus H}$ y cada subespacial ${displaystyle Vsubseteq Hoplus H,}$ ${displaystyle yin (JV)} {perp}$ si ${displaystyle Jyin V^{perp }$ Así, ${displaystyle J[(JV)^{perp]=V^{perp}$ y ${displaystyle [J[(JV)^{perp]]}=V^{text{cl}}$ Sustitución ${displaystyle V=G(A),}$ Obtención ${displaystyle G^{text{cl}(A)=G(A^{}).}$

A* = (Acl)*

Para un operador obstruible ${displaystyle A,}$ ${displaystyle A^{*}=left(A^{text{cl}right)^{*} }$ significa que ${displaystyle G(A^{*})=Gleft(left(A^{text{cl}right)^{*}right).}$ De hecho,

${displaystyle Gleft(left(A^{text{cl}right)^{*}right)=left(JG^{text{cl}}(A)right)^{perp }=left(left(JG(A)right)^{p}}{p} {p}pp}p}ppp}p}cH0}p}p] }=G(A^{*}).}$

Contraejemplo donde el adjunto no está densamente definido

Vamos. ${displaystyle H=L^{2}(mathbb {R}l),}$ Donde ${displaystyle l}$ es la medida lineal. Seleccione una función mensurable, ligada, no identificativamente cero ${displaystyle fnotin L^{2},}$ y elegir ${displaystyle varphi _{0}in L^{2}setminus {0}.$ Define

${displaystyle Avarphi =langle f,varphi rangle varphi _{0}$

De ello se desprende que ${displaystyle D(A)={varphi in L^{2}mid langle f,varphi rangle neq infty }.}$ El subespacio ${displaystyle D(A)}$ contiene todo ${displaystyle L^{2}$ funciones con soporte compacto. Desde ${displaystyle mathbf {1} _{[-n,n]}cdot varphi {stackrel {L^{2}{to }} varphi}$ ${displaystyle A}$ se define densamente. Por todos ${displaystyle varphi in D(A)}$ y ${displaystyle psi in D(A^{*}),}$

${displaystyle langle varphiA^{*}psi rangle =langle Avarphipsi rangle =langle langle f,varphi rangle varphi _{0},psi rangle =langle f,varngulo cdot langle varphi _{0},rphirangle =langle$

Así, ${displaystyle A^{*}psi =langle varphi _{0}, rangle f.}$ La definición de operador adjunto requiere que ${displaystyle mathop {text{Im} A^{*}subseteq H=L^{2}.$ Desde ${displaystyle fnotin L^{2},}$ esto sólo es posible si ${displaystyle langle varphi _{0},psi rangle =0.}$ Por esta razón, ${displaystyle D(A^{*})={varphi.$ Por lo tanto, ${displaystyle A^{}$ no se define densamente y es idénticamente cero ${displaystyle D(A^{*}}$ Como resultado, ${displaystyle A}$ no es closable y no tiene segundo adjoint ${displaystyle A^{**}$

Operadores hermitianos

Un operador acotado A: H → H se llama hermitiano o auto- adjunto si

${displaystyle A=A^{*}$

que es equivalente a

${displaystyle langle Ax,yrangle =langle x, Ayrangle {mbox{ for all }x,yin H.}$

En cierto sentido, estos operadores desempeñan el papel de los números reales (siendo iguales a su propio "conjugado complejo") y forman un espacio vectorial real. Sirven como modelo de observables de valor real en mecánica cuántica. Consulte el artículo sobre operadores autoadjuntos para obtener un tratamiento completo.

Adjuntos de operadores antilineales

Para un operador antilineal, la definición de adjunto debe ajustarse para compensar la conjugación compleja. Un operador adjunto del operador antilineal A en un espacio de Hilbert complejo H es un operador antilineal A^∗: H → H con la propiedad:

${displaystyle langle Ax,yrangle ={overline {leftlangle x,A^{*}yrightrangle }quad {text{for all }}x,yin H.}$

Otros adjuntos

La ecuación

${displaystyle langle Ax,yrangle =leftlangle x,A^{*}yrightrangle }$

es formalmente similar a las propiedades definitorias de pares de functores adjuntos en la teoría de categorías, y de aquí es de donde los functores adjuntos obtuvieron su nombre.