Acertijo del dólar perdido

El acertijo del dólar perdido es un acertijo famoso que implica una falacia informal. Data al menos de la década de 1930, aunque acertijos similares son mucho más antiguos.

Declaración

Aunque la redacción y los detalles pueden variar, el enigma sigue estas líneas:

Tres invitados revisan una habitación de hotel. El gerente dice que la factura es de $30, así que cada huésped paga $10. Más tarde el gerente se da cuenta de que la factura sólo debería haber sido $25. Para rectificar esto, da el bellhop $5 como cinco billetes de un dólar para volver a los invitados.

En el camino a la habitación de los huéspedes para devolver el dinero, el bellhop se da cuenta de que no puede dividir por igual los cinco billetes de un dólar entre los tres huéspedes. Como los invitados no son conscientes del total de la factura revisada, el bellhop decide dar a cada huésped $1 de vuelta y mantener $2 como una propina para él, y procede a hacerlo.

Como cada huésped recibió $1 de vuelta, cada huésped sólo pagó $9, trayendo el total pagado a $27. El bellhop mantuvo $2, que cuando se añade a los $27, llega a $29. Así que si los invitados entregaron originalmente $30, ¿qué pasó con el resto de $1?

Parece haber una discrepancia, ya que no puede haber dos respuestas ($29 y $30) para el problema de matemáticas. Por un lado es cierto que los $25 en la caja registradora, los $3 devueltos a los invitados y los $2 que se quedó el botones suman $30, pero por otro lado, los $27 que pagaron los invitados y los $2 que se quedaron el botones suman sólo $29.

Solución

La dirección errónea en este acertijo se encuentra en la segunda mitad de la descripción, donde se suman cantidades no relacionadas y la persona a quien se plantea el acertijo asume que esas cantidades deben sumar 30, y es y luego se sorprenden cuando no lo hacen; de hecho, no hay ninguna razón por la cual la suma (10 ⁠− ⁠1) ⁠× ⁠3 ⁠ + ⁠2 ⁠ = ⁠29 deba sumar 30.

La suma exacta mencionada en el acertijo se calcula como:

SUM = $9 (pago por Invitado 1) +
$9 (pago por Invitado 2) +
$9 (pago por Invitado 3) +
$2 (dinero en el bolsillo de bellhop)

El truco aquí es darse cuenta de que esta no es una suma del dinero que las tres personas pagaron originalmente, ya que tendría que incluir el dinero que tiene el empleado ($25). En cambio, esto es una suma de una cantidad menor que las personas podrían haber pagado ($9 × 3 personas = $27), agregada con el dinero adicional que el empleado no habría necesitado si hubiera pagado esa cantidad menor ($27 pagados - $25 de costo real = $2 ). Otra forma de decir esto es que los $27 ya incluyen la propina del botones. Sumar los $2 a los $27 sería contarlos dos veces. Entonces, los tres invitados & # 39; El costo de la habitación, incluida la propina del botones, es de $27. Cada uno de los 3 invitados tiene $1 en su bolsillo, por un total de $3. Cuando se suma al costo revisado de $27 de la habitación (incluida la propina al botones), el total es de $30.

Para obtener una suma que sume los $30 originales, se debe contabilizar cada dólar, independientemente de su ubicación.

Así, la suma sensible se puede expresar de esta manera:

$30 = $1 (en el bolsillo de invitados) +
$1 (en el bolsillo de huéspedes) +
$1 (en el bolsillo de huéspedes) +
$2 (en el bolsillo del bellhop) +
$25 (registro de caja del hotel)

Esta suma efectivamente asciende a $30.

Para ilustrar mejor por qué la suma del acertijo no se relaciona con la suma real, el acertijo se puede modificar para que el descuento en la habitación sea extremadamente grande. Considere el acertijo de esta forma:

Tres personas revisan una habitación de hotel. El empleado dice que la factura es de $30, así que cada huésped paga $10. Más tarde el secretario se da cuenta de que la factura sólo debe ser $10. Para rectificar esto, da el bellhop $20 para volver a los invitados. En el camino a la habitación, el bellhop se da cuenta de que no puede dividir el dinero por igual. Como los invitados no sabían el total de la factura revisada, el bellhop decide dar a cada huésped $6 y mantener $2 como una propina para sí mismo. Cada huésped recibió $6 de vuelta: así que ahora cada huésped sólo pagó $4; llevando el total pagado a $12. El bellhop tiene $2. Y $12 + $2 = $14 así que, si los invitados entregaron originalmente $30, ¿qué pasó con el resto de $16?

Ahora es más obvio que la pregunta es bastante irrazonable. No se puede simplemente sumar un par de pagos y esperar que totalicen la cantidad original de efectivo en circulación.

Desde un punto de vista más económico, el dinero se contabiliza sumando todas las cantidades pagadas (pasivos) con todo el dinero en posesión (activos). Esa fórmula abstracta se mantiene independientemente de las perspectivas relativas de los actores en este intercambio.

• Los huéspedes del hotel pagaron $27, pero también tienen $3 entre sus bolsillos al final de la historia. Sus activos son de $3, y sus pasivos son de $27 (3 = 27 + 3). Así, se contabiliza el total original.
• Desde la perspectiva del empleado del hotel, el hotel tiene $25 en activos y perdió $5 en pasivos (30 = 25 + 5).
• Desde la perspectiva del bellhop, sus activos son de $2, y sus pasivos son de $3 a los huéspedes y $25 al registro en el escritorio (30 = 2 + 3 + 25).

Para ilustrar el problema mediante ecuaciones:

1) 10 + 10 + 10 = 30

2) 10 + 10 + 10 = 25 + 2 + 3

3) 10 + 10 + 10 - 3 = 25 + 2 + 3 - 3 (cerrar -3 a ambos lados de la ecuación para cancelar los +3 en el lado derecho)

4) 10 - 1 + 10 - 1 + 10 - 1 = 25 + 2

5) 9 + 9 + 9 = 25 + 2 (obs: tip to bellhop has already been paid)

6) 27 = 27

Cómo el acertijo es engañoso viene en la línea 7:

7) 9 + 9 + 9 = 25 + 2

8) 9 + 9 + 9 + 2 ل 25 (pushing +2 al otro lado sin invertir el signo)

9) 27 + 2 ل 25

10) 29 ل 25

Cómo debería ser:

7) 9 + 9 + 9 = 25 + 2

8) 9 + 9 + 9 -2 = 25 + 2 -2 (cerrar -2 a ambos lados de la ecuación para cancelar los +2 en el lado derecho, lo que significa que el bellhop devolvió la propina o dio un descuento de $2)

9 + 9 + 9 - 2 = 25

10) 27 - 2 = 25

11) 25 = 25

El rompecabezas debería restar la propina del botones de los $27 en lugar de sumarla.

Historia

Hay muchas variantes del rompecabezas. La Cronología de matemáticas recreativas del profesor David Singmaster sugiere que este tipo de acertijos matemáticos desorientadores descienden de un problema de un libro de aritmética del siglo XVIII, el Tutor' s Assistant que se publicó y volvió a publicar de 1751 a 1860 donde apareció en la página 185, prob. 116 de esta forma, "Si 48 tomado de 120 da 72, y 72 tomado de 91 da 19, y 7 tomado de allí da 12, ¿qué número es ese, del cual, cuando has tomado 48, 72, 19 y 7, ¿dejan 12?" Singmaster añade: "Aunque esto no es lo mismo que los problemas de retiro que aparecen a continuación, la combinación de cantidades restadas y restos me hace pensar que este tipo de problema puede haber sido la base del tipo posterior".

Se da una dirección errónea de 1880 cuando "Barthel ve dos cajas en una joyería, con un precio de 100 y 200. Compra la más barata y se la lleva a casa, donde decide que realmente prefiere la otra". Regresa al joyero y le devuelve la caja y le dice que el joyero ya tiene 100, que junto con la caja devuelta, hacen 200, que es el costo de la otra caja. El joyero acepta y le da a Barthel la otra caja y Barthel sigue su camino. ¿Es esto correcto?"

Cecil B. Read dio un modelo más similar en estilo a la versión moderna en sus Falacias matemáticas de 1933. Su rompecabezas produce un dólar extra: un hombre pone 50 dólares en el banco. Luego, en los días siguientes retira $20, dejando $30; luego $15 dejando $15; luego $9 dejando $6, y finalmente $6 dejando $0. Pero $30 + $15 + $6 = $51. ¿De dónde salió el dólar extra?

La solución real a este acertijo es sumar correctamente (hora correcta, persona correcta y ubicación correcta) desde el punto de vista del banco, que en este caso parece ser el problema:

1. Primer día: $30 en el banco + 20 dueño ya se retiró = $50
2. Segundo día: $15 en el banco + $15 + 20 dueño ya se retiró) = $50
3. Tercer día: $6 en el banco + ($9 + $15 + $20 dueño ya se retiró) = $50

Desde el punto de vista del propietario, la solución correcta es esta:

1. Primer día: el propietario de $20 ya se retiró + $30 en el banco = $50
2. Segundo día: el propietario de $20 ya se retiró + $15 propietario ya se retiró + $15 en el banco = $50
3. Tercer día: ($20 propietario ya se retiró + $15 propietario ya se retiró + $9 propietario ya se retiró) + $6 en el banco = $50

La solución parece muy obvia si el propietario retira cada día sólo 10$ de 50$. Sumar 40 + 30 + 20 + 10 usando el mismo patrón de arriba sería obviamente incorrecto (el resultado sería $100).

La respuesta a la pregunta: "¿De dónde vino el dólar extra?" se puede obtener sumando consecutivamente el resto bancario de tres días diferentes. Esta forma es correcta sólo si el propietario del dinero retira cada día exactamente la mitad del dinero. Entonces se sumará. ($25 + $12,50 + $6,25) + $6,25 = $50

Otra entrada de 1933, Diversions and Pastimes de R. M. Abraham (aún disponible en una versión de Dover) plantea un enfoque ligeramente diferente con este problema desde la página 16 (problema 61). “Un viajero que regresaba a Nueva York descubrió que sólo tenía un giro postal de diez dólares y que su billete de tren era de siete dólares. El empleado del billete se negó a aceptar el giro postal, por lo que el viajero cruzó la calle hasta una casa de empeño y lo empeñó por siete dólares. En el camino de regreso a la estación se encontró con un amigo que, para ahorrarle al viajero la molestia de volver a canjear el giro postal, le compró el billete de empeño por siete dólares. El viajero compró entonces su billete y aún le quedaban siete dólares cuando llegó a Nueva York. ¿Quién sufrió la pérdida?" David Darling en su El libro universal de matemáticas, acredita esto como una versión anterior de los tres hombres en una versión de hotel anterior.

Aún más similar es el inglés, The Black-Out Book de Evelyn August en 1939; ¿Qué pasó con el chelín?, págs. 82 y 82. 213. Tres niñas pagan cinco chelines cada una para compartir habitación. El propietario reembolsa 5 chelines a través del botones, quien les da uno a cada uno y se queda con dos.

Y uno más del mismo tema aparece en una rutina de Abbott y Costello en la que Abbott le pide a Costello un préstamo de cincuenta dólares. Costello muestra cuarenta dólares y dice: "Eso es todo lo que tengo". Abbott responde: "Bien, puedes deberme los otros diez".

El acertijo lo utiliza el psicoterapeuta (Chris Langham) con su cliente matemático (Paul Whitehouse) en el episodio 5 de la serie de comedia de la BBC de 2005 Help.

Una variación, que también involucra chelines y tres hombres en un restaurante a los que se les cobra de más, aparece en el tercer volumen de los libros Call the Midwife de Jennifer Worth, Adiós al Este. Fin (2009). Allí, el reparador Fred se lo plantea a las parteras de Nonnatus House.

Otra variación, reemplazando a los invitados por pastores, el empleado por un troll, los dólares por ovejas y el botones por el hijo del troll, aparece en Dr. No de Percival Everett.