Abuso de notación

En matemáticas, el abuso de notación ocurre cuando un autor usa una notación matemática de una manera que no es del todo formalmente correcta, pero que podría ayudar a simplificar la exposición o sugerir la intuición correcta (mientras posiblemente minimiza errores y confusión al mismo tiempo). Sin embargo, dado que el concepto de corrección formal/sintáctica depende tanto del tiempo como del contexto, ciertas notaciones en matemáticas que están marcadas como abuso en un contexto podrían ser formalmente correctas en uno o más contextos. Pueden ocurrir abusos de notación dependientes del tiempo cuando se introducen notaciones nuevas en una teoría algún tiempo antes de que la teoría se formalice por primera vez; estos pueden corregirse formalmente solidificando y/o mejorando la teoría. El abuso de notación debe contrastarse con el mal uso de la notación, que no tiene los beneficios de presentación del primero y debe evitarse (como el mal uso de constantes de integración).

Un concepto conexo es abuso de idioma o abuso de terminología, Donde mandato — en lugar de una notación— se usa indebidamente. El abuso de idioma es una expresión casi sinónimo de abusos que no son anotados por naturaleza. Por ejemplo, mientras que la palabra representación correctamente designa un homomorfismo grupo de un grupo G a GL(V), donde V es un espacio vectorial, es común llamar V "una representación de G". Otro abuso común del lenguaje consiste en identificar dos objetos matemáticos diferentes, pero canónicamente isomorfos. Otros ejemplos incluyen la identificación de una función constante con su valor, la identificación de un grupo con una operación binaria con el nombre de su conjunto subyacente, o la identificación para R3{displaystyle mathbb {R} } {} {}displaystyle mathbb {R} } el espacio euclidiano de dimensión tres equipado con un sistema de coordenadas cartesiano.

Ejemplos

Objetos matemáticos estructurados

Muchos objetos matemáticos consisten en un conjunto, a menudo llamado el conjunto subyacente, equipado con alguna estructura adicional, como una operación matemática o una topología. Es un abuso común de la notación utilizar la misma notación para el conjunto subyacente y el objeto estructurado (un fenómeno conocido como supresión de parámetros). Por ejemplo, Z{displaystyle mathbb {Z} puede denotar el conjunto de los enteros, el grupo de enteros junto con adición, o el anillo de enteros con adición y multiplicación. En general, no hay problema con esto si el objeto bajo referencia es bien entendido, y evitar tal abuso de notación podría incluso hacer los textos matemáticos más pedánticos y más difíciles de leer. Cuando este abuso de notación puede ser confuso, uno puede distinguir entre estas estructuras denotando ()Z,+){displaystyle (mathbb {Z}+)} el grupo de enteros con adición, y ()Z,+,⋅ ⋅ ){displaystyle (mathbb {Z}+,cdot)} el anillo de los enteros.

Del mismo modo, un espacio topológico consiste en un conjunto X (el conjunto subyacente) y una topología T,{displaystyle {Mathcal {}}} que se caracteriza por un conjunto de subconjuntos de X (los juegos abiertos). Con más frecuencia, uno considera sólo una topología en X, por lo que generalmente no hay problema en la referencia X como el conjunto subyacente, y el par consistente en X y su topología T{displaystyle {fnMithcal}} — aunque sean objetos matemáticos técnicamente distintos. Sin embargo, podría ocurrir en algunas ocasiones que dos topologías diferentes se consideran simultáneamente en el mismo conjunto. En cuyo caso, uno debe ejercer cuidado y utilizar notación como ()X,T){displaystyle (X,{mathcal {T})} y ()X,T.){displaystyle (X,{mathcal {T}')} para distinguir entre los diferentes espacios topológicos.

Notación de función

Uno puede encontrar, en muchos libros de texto, frases como "Let f()x){displaystyle f(x)} ser una función...". Este es un abuso de notación, ya que el nombre de la función es f,{displaystyle f,} y f()x){displaystyle f(x)} denota el valor de f{displaystyle f} para el elemento x{displaystyle x} de su dominio. Frases más precisamente correctos incluyen "Let f{displaystyle f} ser una función de la variable x{displaystyle x}... x↦ ↦ f()x){displaystyle xmapsto f(x)} ser una función..." Este abuso de notación es ampliamente utilizado, ya que simplifica la formulación, y el uso sistemático de una notación correcta rápidamente se vuelve pedántico.

Un abuso similar de notación ocurre en frases como "Consideremos la función x2+x+1{displaystyle x^{2}+x+1}...", cuando de hecho x2+x+1{displaystyle x^{2}+x+1} es una expresión polinomio, no una función per se. La función que asocia x2+x+1{displaystyle x^{2}+x+1} a x{displaystyle x} se puede denotar x↦ ↦ x2+x+1.{displaystyle xmapsto x^{2}+x+1.} Sin embargo, este abuso de notación es ampliamente utilizado, ya que es más conciso pero generalmente no confuso.

Igualdad vs. isomorfismo

Muchas estructuras matemáticas se definen a través de una propiedad de caracterización (a menudo una propiedad universal). Una vez que se define esta propiedad deseada, puede haber varias formas de construir la estructura, y los resultados correspondientes son objetos formalmente diferentes, pero que tienen exactamente las mismas propiedades (es decir, isomórficos). Como no hay forma de distinguir estos objetos isomórficos a través de sus propiedades, es estándar considerarlos como iguales, incluso si esto es formalmente incorrecto.

Un ejemplo de esto es el producto cartesiano, que a menudo se ve como asociativo:

()E× × F)× × G=E× × ()F× × G)=E× × F× × G{displaystyle (Etimes F)times G=Etimes (Ftimes G)=Etimes Ftimes G}.

Pero esto no es estrictamente cierto: si x▪ ▪ E{displaystyle xin E}, Sí.▪ ▪ F{displaystyle yin F} y z▪ ▪ G{displaystyle zin G}, la identidad ()()x,Sí.),z)=()x,()Sí.,z)){displaystyle (x,y),z)=(x,(y,z)} implicaría que ()x,Sí.)=x{displaystyle (x,y)=x} y z=()Sí.,z){displaystyle z=(y,z)}, y así ()()x,Sí.),z)=()x,Sí.,z){displaystyle (x,y),z)=(x,y,z)} no significaría nada. Sin embargo, estas igualdades pueden ser legitimadas y rigurosas en la teoría de la categoría, utilizando la idea de un isomorfismo natural.

Otro ejemplo de abusos similares ocurre en declaraciones como "hay dos grupos no abelianos de orden 8", que más estrictamente declararon significa "hay dos clases de isomorfismo de grupos no abelianos de orden 8".

Clases de equivalencia

Hacer referencia a una clase de equivalencia de una relación de equivalencia mediante x en lugar de [x] es un abuso de notación. Formalmente, si un conjunto X está dividido por una relación de equivalencia ~, entonces para cada x ∈ X, la clase de equivalencia {y ∈ X | y ~ x} se denota [x]. Pero en la práctica, si el resto de la discusión se centra en las clases de equivalencia en lugar de en los elementos individuales del conjunto subyacente, entonces es común eliminar los corchetes en la discusión.

Por ejemplo, en aritmética modular, se puede formar un grupo finito de orden n dividiendo los números enteros mediante la relación de equivalencia "x ~ y si y sólo si x ≡ y (mod n)". Los elementos de ese grupo serían entonces [0], [1],..., [n − 1], pero en la práctica normalmente se denotan simplemente como 0, 1,..., n − 1.

Otro ejemplo es el espacio de (clases de) funciones mensurables sobre un espacio de medida, o clases de funciones integradoras de Lebesgue, donde la relación de equivalencia es la igualdad "casi en todas partes".

Subjetividad

Los términos "abuso del lenguaje" y "abuso de notación" depende del contexto. Escribiendo "f: A → B" para una función parcial de A a B es casi siempre un abuso de notación, pero no en un contexto teórico de categorías, donde f puede verse como una morfismo en la categoría de conjuntos y funciones parciales.