Aberración óptica

En óptica, la aberración es una propiedad de los sistemas ópticos, como las lentes, que hace que la luz se extienda por alguna región del espacio en lugar de enfocarse en un punto. Las aberraciones hacen que la imagen formada por una lente se vea borrosa o distorsionada, y la naturaleza de la distorsión depende del tipo de aberración. La aberración se puede definir como una desviación del rendimiento de un sistema óptico de las predicciones de la óptica paraxial. En un sistema de imágenes, ocurre cuando la luz de un punto de un objeto no converge (o no diverge) en un solo punto después de la transmisión a través del sistema. Las aberraciones ocurren porque la teoría paraxial simple no es un modelo completamente preciso del efecto de un sistema óptico sobre la luz, y no debido a fallas en los elementos ópticos.

Un sistema óptico de formación de imágenes con aberración producirá una imagen que no es nítida. Los fabricantes de instrumentos ópticos necesitan corregir los sistemas ópticos para compensar la aberración.

La aberración se puede analizar con las técnicas de la óptica geométrica. Los artículos sobre reflexión, refracción y cáusticos discuten las características generales de los rayos reflejados y refractados.

Resumen

Reflexión de un espejo esférico. Los rayos incidentes (rojo) lejos del centro del espejo producen rayos reflejados (verde) que pierden el punto focal, F. Esto se debe a la aberración esférica.

Con una lente ideal, la luz de cualquier punto de un objeto pasaría a través de la lente y se juntaría en un solo punto en el plano de la imagen (o, de manera más general, la imagen superficie). Sin embargo, las lentes reales no enfocan la luz exactamente en un solo punto, incluso cuando están perfectamente hechas. Estas desviaciones del rendimiento idealizado de la lente se denominan aberraciones de la lente.

Las aberraciones se dividen en dos clases: monocromáticas y cromáticas. Las aberraciones monocromáticas son causadas por la geometría de la lente o el espejo y ocurren tanto cuando la luz se refleja como cuando se refracta. Aparecen incluso cuando se utiliza luz monocromática, de ahí el nombre.

Las aberraciones cromáticas son causadas por la dispersión, la variación del índice de refracción de una lente con la longitud de onda. Debido a la dispersión, diferentes longitudes de onda de luz se enfocan en diferentes puntos. La aberración cromática no aparece cuando se usa luz monocromática.

Aberraciones monocromáticas

Las aberraciones monocromáticas más comunes son:

• Defocus
• Aberración esférica
• Coma
• Astigmatismo
• curvatura del campo
• Deformación de imagen

Aunque el desenfoque es técnicamente el orden más bajo de las aberraciones ópticas, por lo general no se considera una aberración de la lente, ya que se puede corregir moviendo la lente (o el plano de la imagen) para llevar el plano de la imagen al foco óptico. de la lente

Además de estas aberraciones, el pistón y la inclinación son efectos que cambian la posición del punto focal. El pistón y la inclinación no son verdaderas aberraciones ópticas, ya que cuando un frente de onda perfecto es alterado por el pistón y la inclinación, aún formará una imagen perfecta y sin aberraciones, solo que se desplazará a una posición diferente.

Aberraciones cromáticas

Comparación de una imagen ideal de un anillo (1) y con sólo axial (2) y sólo transversal (3) aberración cromática

La aberración cromática ocurre cuando diferentes longitudes de onda no se enfocan en el mismo punto. Los tipos de aberración cromática son:

• Aberración cromática axial (o "longitudinal")
• Aberración cromática posterior (o "transversa")

Teoría de la aberración monocromática

En un sistema óptico perfecto en la teoría clásica de la óptica,Cite error: A <ref> falta el </ref> de cierre (consulte la página de ayuda). los rayos de luz que proceden de cualquier punto del objeto se unen en un punto de imagen; y por tanto el espacio objeto se reproduce en un espacio imagen. La introducción de simples términos auxiliares, debido a Gauss, denominados distancias focales y planos focales, permite determinar la imagen de cualquier objeto para cualquier sistema. La teoría de Gauss, sin embargo, sólo es cierta mientras los ángulos formados por todos los rayos con el eje óptico (el eje simétrico del sistema) sean infinitamente pequeños, es decir, con objetos, imágenes y lentes infinitesimales; en la práctica, es posible que estas condiciones no se cumplan, y las imágenes proyectadas por sistemas no corregidos están, en general, mal definidas y, a menudo, borrosas si la apertura o el campo de visión exceden ciertos límites.

Las investigaciones de James Clerk Maxwell y Ernst Abbe demostraron que las propiedades de estas reproducciones, es decir, la posición relativa y la magnitud de las imágenes, no son propiedades especiales de los sistemas ópticos, sino consecuencias necesarias de la suposición (según Abbe) de la reproducción de todos los puntos de un espacio en puntos de imagen, y son independientes de la manera en que se efectúa la reproducción. Estos autores demostraron, sin embargo, que ningún sistema óptico puede justificar estas suposiciones, ya que son contradictorias con las leyes fundamentales de la reflexión y la refracción. En consecuencia, la teoría de Gauss solo proporciona un método conveniente para aproximarse a la realidad; los sistemas ópticos realistas no alcanzan este ideal inalcanzable. Actualmente, todo lo que se puede lograr es la proyección de un solo plano sobre otro plano; pero incluso en esto, siempre ocurren aberraciones y es poco probable que alguna vez se corrijan por completo.

Aberración de puntos axiales (aberración esférica en sentido restringido)

Gráfico 1

Sea S (fig. 1) cualquier sistema óptico, los rayos que proceden de un punto del eje O bajo un ángulo u1 se unirán en el punto del eje O'1; y los que están bajo un ángulo u2 en el punto del eje O'2. Si hay refracción en una superficie esférica colectiva, o a través de una lente positiva delgada, O'2 estará frente a O'1 siempre que el ángulo u2 sea mayor que u1 (bajo corrección); ya la inversa con una superficie dispersiva o lentes (sobrecorrección). La cáustica, en el primer caso, se parece al signo > (mas grande que); en el segundo < (menos que). Si el ángulo u1 es muy pequeño, O'1 es la imagen gaussiana; y O'1 O'2 se denomina aberración longitudinal y O'1R la aberración lateral de los lápices con apertura u2. Si el lápiz con el ángulo u2 es el de la máxima aberración de todos los lápices transmitidos, entonces en un plano perpendicular al eje en O'1 hay un disco de confusión circular de radio O& #39;1R, y en un plano paralelo en O'2 otro de radio O'2R2; entre estos dos se sitúa el disco de menor confusión.

La apertura mayor de los lápices, que intervienen en la reproducción de O, es decir, el ángulo u, está generalmente determinada por el margen de una de las lentes o por un agujero en una placa delgada colocada entre, antes o detrás de las lentes del sistema. Este orificio se denomina tope o diafragma; Abbe usó el término tope de apertura tanto para el orificio como para el margen límite de la lente. El componente S1 del sistema, situado entre el tope de apertura y el objeto O, proyecta una imagen del diafragma, denominada por Abbe la pupila de entrada; la pupila de salida es la imagen formada por el componente S2, que se coloca detrás del tope de apertura. Todos los rayos que salen de O y pasan a través del tope de apertura también pasan a través de las pupilas de entrada y salida, ya que estas son imágenes del tope de apertura. Dado que la apertura máxima de los lápices que salen de O es el ángulo u subtendido por la pupila de entrada en este punto, la magnitud de la aberración estará determinada por la posición y el diámetro de la pupila de entrada. Si el sistema está completamente detrás del tope de apertura, entonces este es en sí mismo la pupila de entrada (tope frontal); si está completamente al frente, es la pupila de salida (tope posterior).

Si el punto del objeto está infinitamente distante, todos los rayos recibidos por el primer miembro del sistema son paralelos, y sus intersecciones, después de atravesar el sistema, varían según su altura perpendicular de incidencia, es decir, su distancia al eje. Esta distancia reemplaza al ángulo u en las consideraciones precedentes; y la apertura, es decir, el radio de la pupila de entrada, es su valor máximo.

Aberración de elementos, es decir, objetos más pequeños en ángulo recto con el eje

Si los rayos que salen de O (fig. 1) son concurrentes, no se sigue que los puntos en una porción de un plano perpendicular en O al eje también sean concurrentes, incluso si la parte del plano es muy pequeña. A medida que aumenta el diámetro de la lente (es decir, al aumentar la apertura), se reproducirá el punto vecino N, pero con aberraciones comparables en magnitud a ON. Estas aberraciones se evitan si, según Abbe, la condición del seno, sin u'1/sin u1=sin u'2/sin u2, se cumple para todos los rayos que reproducen el punto O. Si el punto del objeto O está infinitamente distante, u1 y u2 deben reemplazarse por h1 y h2, las alturas perpendiculares de incidencia; la condición senoidal se convierte en sen u'1/h1=sin u'2/h2. Un sistema que cumple esta condición y está libre de aberración esférica se denomina aplanático (del griego a-, privativo, plann, a errante). Esta palabra fue utilizada por primera vez por Robert Blair para caracterizar un acromatismo superior y, posteriormente, por muchos escritores para denotar también la ausencia de aberración esférica.

Dado que la aberración aumenta con la distancia del rayo desde el centro de la lente, la aberración aumenta a medida que aumenta el diámetro de la lente (o, correspondientemente, con el diámetro de la apertura) y, por lo tanto, se puede minimizar reduciendo la apertura, a costa de reducir también la cantidad de luz que llega al plano de la imagen.

Aberración de puntos de objetos laterales (puntos más allá del eje) con lápices estrechos: astigmatismo

Gráfico 2

Un punto O (fig. 2) a una distancia finita del eje (o con un objeto infinitamente distante, un punto que subtiende un ángulo finito en el sistema) es, en general, incluso entonces no reproducido nítidamente si el lápiz de rayos que salen de él y atraviesan el sistema se hace infinitamente estrecho al reducir el tope de apertura; tal lápiz consta de los rayos que pueden pasar desde el punto del objeto a través de la pupila de entrada ahora infinitamente pequeña. Se ve (ignorando casos excepcionales) que el lápiz no se encuentra con la superficie refractora o reflectora en ángulo recto; por lo tanto es astigmático (Gr. a-, privativo, stigmia, un punto). Denominando al rayo central que pasa por la pupila de entrada el eje del lápiz o rayo principal, se puede decir: los rayos del lápiz se cortan, no en un punto, sino en dos líneas focales, que se puede suponer que están en ángulo recto con el rayo principal; de estos, uno se encuentra en el plano que contiene el rayo principal y el eje del sistema, es decir, en la primera sección principal o sección meridional, y el otro formando ángulos rectos con es decir, en la segunda sección principal o sección sagital. Recibimos, por tanto, en ningún plano interceptor único detrás del sistema, como, por ejemplo, una pantalla de enfoque, una imagen del punto del objeto; por otro lado, en cada uno de los dos planos las líneas O' y O" se forman por separado (en planos vecinos se forman elipses), y en un plano entre O' y O" un círculo de mínima confusión. El intervalo O'O', denominado diferencia astigmática, aumenta, en general, con el ángulo W que forma el rayo principal OP con el eje del sistema, es decir, con el campo de visión. Dos superficies de imagen astigmática corresponden a un plano de objeto; y estos están en contacto en el punto del eje; en uno se encuentran las líneas focales del primer tipo, en el otro las del segundo. Los sistemas en los que las dos superficies astigmáticas coinciden se denominan anastigmáticos o estigmáticos.

Sir Isaac Newton fue probablemente el descubridor del astigmatismo; la posición de las líneas de imagen astigmáticas fue determinada por Thomas Young; y la teoría fue desarrollada por Allvar Gullstrand. Se da una bibliografía de P. Culmann en Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten de Moritz von Rohr.

Aberración de puntos de objetos laterales con lápices anchos: coma

Al abrir más el tope, surgen desviaciones similares para los puntos laterales como ya se ha comentado para los puntos axiales; pero en este caso son mucho más complicados. El curso de los rayos en la sección meridional ya no es simétrico al rayo principal del lápiz; y en un plano interceptor aparece, en lugar de un punto luminoso, una mancha de luz, no simétrica alrededor de un punto, y que a menudo exhibe una semejanza a un cometa que tiene su cola dirigida hacia o desde el eje. De esta apariencia toma su nombre. La forma asimétrica del lápiz meridional, anteriormente el único considerado, es coma solo en el sentido más estricto; otros errores de coma han sido tratados por Arthur König y Moritz von Rohr, y más tarde por Allvar Gullstrand.

Curvatura del campo de la imagen

Si se eliminan los errores anteriores, se unen las dos superficies astigmáticas y se obtiene una imagen nítida con una apertura amplia, queda la necesidad de corregir la curvatura de la superficie de la imagen, especialmente cuando la imagen se recibe en un plano. superficie, p. en fotografía En la mayoría de los casos, la superficie es cóncava hacia el sistema.

Distorsión de la imagen

Fig. 3a: Distorsión de Barrel

Fig. 3b: Deformación de Pincushion

Incluso si la imagen es nítida, puede estar distorsionada en comparación con la proyección estenopeica ideal. En la proyección estenopeica, la ampliación de un objeto es inversamente proporcional a su distancia a la cámara a lo largo del eje óptico, de modo que una cámara que apunta directamente a una superficie plana reproduce esa superficie plana. Se puede pensar en la distorsión como el estiramiento de la imagen de manera no uniforme o, de manera equivalente, como una variación en la ampliación a través del campo. Mientras que "distorsión" puede incluir la deformación arbitraria de una imagen, los modos de distorsión más pronunciados producidos por la óptica de imagen convencional es la 'distorsión de barril', en la que el centro de la imagen se amplía más que el perímetro (figura 3a). El reverso, en el que el perímetro se amplía más que el centro, se conoce como "distorsión en acerico" (figura 3b). Este efecto se denomina distorsión de la lente o distorsión de la imagen y existen algoritmos para corregirlo.

Los sistemas libres de distorsión se denominan ortoscópicos (orthos, right, skopein to look) o rectilíneos (líneas rectas).

Gráfico 4

Esta aberración es bastante distinta de la nitidez de la reproducción; en la reproducción no nítida, surge la cuestión de la distorsión si sólo se pueden reconocer partes del objeto en la figura. Si, en una imagen poco nítida, una mancha de luz corresponde a un punto del objeto, el centro de gravedad de la mancha se puede considerar como el punto de la imagen, siendo este el punto donde el plano que recibe la imagen, por ejemplo, una pantalla de enfoque, intersecta el rayo que pasa por el medio de la parada. Esta suposición se justifica si una imagen pobre en la pantalla de enfoque permanece estacionaria cuando se reduce la apertura; en la práctica, esto ocurre generalmente. Este rayo, llamado por Abbe un rayo principal (que no debe confundirse con los rayos principales de la teoría de Gauss), pasa por el centro de la pupila de entrada antes de la primera refracción, y el centro de la pupila de salida después de la última refracción. De esto se sigue que la corrección del dibujo depende únicamente de los rayos principales; y es independiente de la nitidez o curvatura del campo de la imagen. Haciendo referencia a la fig. 4, tenemos O'Q'/OQ = a' tan w'/a tan w = 1/N, donde N es la escala o ampliación de la imagen. Para que N sea constante para todos los valores de w, a' tan w'/a tan w también debe ser constante. Si la relación a'/a es lo suficientemente constante, como suele ser el caso, la relación anterior se reduce a la condición de Airy, es decir, tan w'/ tan w= una constante. Esta simple relación (ver Camb. Phil. Trans., 1830, 3, p. 1) se cumple en todos los sistemas que son simétricos con respecto a su diafragma (brevemente llamados objetivos simétricos u holosimétricos), o que consisten en dos componentes iguales, pero de diferente tamaño, colocados desde el diafragma en la proporción de su tamaño, y presentando la misma curvatura (objetivos hemisimétricos); en estos sistemas tan w' / bronceado w = 1.

La constancia de a'/a necesaria para que se mantenga esta relación fue señalada por R. H. Bow (Brit. Journ. Photog., 1861) y Thomas Sutton (Photographic Notes, 1862); ha sido tratado por O. Lummer y por M. von Rohr (Zeit. f. Instrumentenk., 1897, 17 y 1898, 18, p. 4). Requiere que la mitad del tope de apertura se reproduzca en los centros de las pupilas de entrada y salida sin aberración esférica. M. von Rohr demostró que para los sistemas que no cumplen ni la condición de Airy ni la de Bow-Sutton, la relación a' cos w'/a tan w será constante para una distancia del objeto. Esta condición combinada la cumplen exactamente los objetivos holosimétricos que se reproducen con la escala 1, y los hemisimétricos, si la escala de reproducción es igual a la relación de los tamaños de los dos componentes.

Modelo de aberraciones de Zernike

Plano de imagen de un haz plano bajo el efecto de los primeros 21 polinomios Zernike. El haz pasa a través de una abertura del mismo tamaño, que se imagina en este plano por una lente ideal.

Los perfiles de frente de onda circular asociados con las aberraciones se pueden modelar matemáticamente mediante polinomios de Zernike. Desarrollados por Frits Zernike en la década de 1930, los polinomios de Zernike son ortogonales sobre un círculo de radio unitario. Un perfil de frente de onda complejo y aberrado se puede ajustar a la curva con polinomios de Zernike para producir un conjunto de coeficientes de ajuste que representan individualmente diferentes tipos de aberraciones. Estos coeficientes de Zernike son linealmente independientes, por lo que las contribuciones de aberraciones individuales a un frente de onda general pueden aislarse y cuantificarse por separado.

Hay polinomios de Zernike pares e impares. Los polinomios pares de Zernike se definen como

Znm()*** *** ,φ φ )=Rnm()*** *** )#⁡ ⁡ ()mφ φ ){displaystyle ¿Por qué?

y los polinomios impares de Zernike como

Zn− − m()*** *** ,φ φ )=Rnm()*** *** )pecado⁡ ⁡ ()mφ φ ),{displaystyle ¿Por qué?

Donde m y n son enteros no negativos con n≥ ≥ m{displaystyle ngeq m}, Ё es el ángulo azimutal en radians, y ρ es la distancia radial normalizada. Los polinomios radiales Rnm{displaystyle R_{n} {m} no tienen dependencia azimutal, y se definen como

Rnm()*** *** )=.. k=0()n− − m)/2()− − 1)k()n− − k)!k!()()n+m)/2− − k)!()()n− − m)/2− − k)!*** *** n− − 2ksin− − mIncluso{displaystyle ¿Qué? ####################{frac {(-1)^{k},(n-k)}}{k!,(n+m)/2-k)!,(n-m)/2-k)}\;rho ^{n-2,k}quad} {mbox{if}n-m{ is even}

y Rnm()*** *** )=0{displaystyle R_{n} {m}(rho)=0} si n− − m{displaystyle No. Es extraño.

Los primeros polinomios de Zernike, multiplicados por sus respectivos coeficientes de ajuste, son:

a0× × 1{displaystyle a_{0}times 1}	"Piston", igual al valor medio del frente de onda
a1× × *** *** #⁡ ⁡ ()φ φ ){displaystyle a_{1}times rho cos(phi)}	"X-Tilt", la desviación del haz general en la dirección sagittal
a2× × *** *** pecado⁡ ⁡ ()φ φ ){displaystyle a_{2}times rho sin(phi)}	"Y-Tilt", la desviación del haz general en la dirección tangencial
a3× × ()2*** *** 2− − 1){displaystyle a_{3}times (2rho ^{2}-1)}	"Defocus", un frente de onda parabólica que resulta de estar fuera de foco
a4× × *** *** 2#⁡ ⁡ ()2φ φ ){displaystyle a_{4}times rho ^{2}cos(2phi)}	"0° Astigmatismo", una forma cilíndrica a lo largo del eje X o Y
a5× × *** *** 2pecado⁡ ⁡ ()2φ φ ){displaystyle a_{5}times rho ^{2}sin(2phi)}	"Astigmatismo 45°", una forma cilíndrica orientada a ±45° desde el eje X
a6× × ()3*** *** 2− − 2)*** *** #⁡ ⁡ ()φ φ ){displaystyle a_{6}times (3rho ^{2}-2)rho cos(phi)}	"X-Coma", la imagen comática en la dirección horizontal
a7× × ()3*** *** 2− − 2)*** *** pecado⁡ ⁡ ()φ φ ){displaystyle a_{7}times (3rho ^{2}-2)rho sin(phi)}	"Y-Coma", imagen comática en la dirección vertical
a8× × ()6*** *** 4− − 6*** *** 2+1){displaystyle a_{8}times (6rho ^{4}-6rho ^{2}+1)}	"Tercera orden aberración esférica"

Donde *** *** {displaystyle rho } es el radio de pupila normalizado con 0≤ ≤ *** *** ≤ ≤ 1{displaystyle 0leq rho leq 1}, φ φ {displaystyle phi } es el ángulo azimutal alrededor del alumno con 0≤ ≤ φ φ ≤ ≤ 2π π {displaystyle 0leq phi leq 2pi }, y los coeficientes de ajuste a0,...... ,a8{displaystyle a_{0},ldotsa_{8} son los errores de frente de onda en longitudes de onda.

Al igual que en la síntesis de Fourier que utiliza senos y cosenos, un frente de onda se puede representar perfectamente mediante un número suficientemente grande de polinomios de Zernike de orden superior. Sin embargo, los frentes de onda con gradientes muy pronunciados o una estructura de frecuencia espacial muy alta, como los producidos por la propagación a través de la turbulencia atmosférica o los campos de flujo aerodinámicos, no están bien modelados por los polinomios de Zernike, que tienden a filtrar paso bajo una definición espacial fina en el frente de onda. En este caso, otros métodos de ajuste, como los fractales o la descomposición de valores singulares, pueden producir mejores resultados de ajuste.

Los polinomios circulares fueron introducidos por Frits Zernike para evaluar la imagen puntual de un sistema óptico aberrado teniendo en cuenta los efectos de la difracción. Airy ya había descrito la imagen puntual perfecta en presencia de difracción, ya en 1835. Se necesitaron casi cien años para llegar a una teoría y modelado completos de la imagen puntual de los sistemas aberrados (Zernike y Nijboer). El análisis de Nijboer y Zernike describe la distribución de intensidad cercana al plano focal óptimo. Recientemente se desarrolló una teoría extendida que permite el cálculo de la amplitud e intensidad de la imagen puntual sobre un volumen mucho mayor en la región focal (teoría extendida de Nijboer-Zernike). Esta teoría extendida de Nijboer-Zernike de formación de imágenes puntuales o "función de dispersión de puntos" ha encontrado aplicaciones en la investigación general sobre formación de imágenes, especialmente para sistemas con una apertura numérica alta, y en la caracterización de sistemas ópticos con respecto a sus aberraciones.

Tratamiento analítico de aberraciones

La revisión anterior de los diversos errores de reproducción pertenece a la teoría de las aberraciones de Abbe, en la que las aberraciones definidas se analizan por separado; se adapta bien a las necesidades prácticas, pues en la construcción de un instrumento óptico se busca eliminar ciertos errores, cuya selección está justificada por la experiencia. En el sentido matemático, sin embargo, esta selección es arbitraria; la reproducción de un objeto finito con una apertura finita conlleva, con toda probabilidad, un número infinito de aberraciones. Este número solo es finito si se supone que el objeto y la apertura son infinitamente pequeños de cierto orden; y con cada orden de pequeñez infinita, es decir, con cada grado de aproximación a la realidad (a objetos finitos y aberturas), se asocia un cierto número de aberraciones. Esta conexión sólo la proporcionan las teorías que tratan las aberraciones de forma general y analítica por medio de series indefinidas.

Gráfico 5

Un rayo procedente de un objeto punto O (fig. 5) se puede definir mediante las coordenadas (ξ, η). De este punto O en un objeto plano I, perpendicular al eje, y otras dos coordenadas (x, y), el punto en que el rayo corta la pupila de entrada, es decir, el plano II. De manera similar, el rayo de imagen correspondiente puede estar definido por los puntos (ξ', η') y (x', y'), en los planos I' y II'. Los orígenes de estos cuatro sistemas de coordenadas planas pueden ser colineales con el eje del sistema óptico; y los ejes correspondientes pueden ser paralelos. Cada una de las cuatro coordenadas ξ', η', x', y' son funciones de ξ, η, x, y; y si se supone que el campo de visión y la apertura son infinitamente pequeños, entonces ξ, η, x, y son del mismo orden de infinitesimales; en consecuencia, al expandir ξ', η', x', y' en potencias ascendentes de ξ, η, x, y, se obtienen series en las que sólo hay que considerar las potencias más bajas. Se ve fácilmente que si el sistema óptico es simétrico, los orígenes de los sistemas de coordenadas son colineales con el eje óptico y los ejes correspondientes son paralelos, entonces cambiando los signos de ξ, η, x, y, los valores ξ', η', x', y' deben igualmente cambiar de signo, pero conservando sus valores aritméticos; esto significa que las series están restringidas a potencias impares de las variables no marcadas.

La naturaleza de la reproducción consiste en que los rayos que proceden de un punto O se unen en otro punto O'; en general, este no será el caso, para ξ', η' varían si ξ, η son constantes, pero x, y variables. Se puede suponer que los aviones I' y yo' se dibujan donde las imágenes de los planos I y II están formadas por rayos cerca del eje por las reglas ordinarias de Gauss; y por una extensión de estas reglas, pero no correspondiente a la realidad, el punto imagen de Gauss O'₀, con coordenadas ξ'₀, η&# 39;₀, del punto O a cierta distancia del eje. Escribiendo Dξ'=ξ'-ξ'₀ y Dη'=η'-η'₀, entonces Dξ&# 39; y Dη' son las aberraciones pertenecientes a ξ, η y x, y, y son funciones de estas magnitudes que, cuando se expanden en serie, contienen solo potencias impares, por las mismas razones que se dieron arriba. Debido a las aberraciones de todos los rayos que pasan a través de O, se formará en el plano I' un parche de luz, dependiendo en tamaño de las potencias más bajas de ξ, η, x, y que contienen las aberraciones. Estos grados, denominados por J. Petzval los órdenes numéricos de la imagen, son por lo tanto sólo potencias impares; la condición para la formación de una imagen del m-ésimo orden es que en la serie para Dξ' y Dη' los coeficientes de las potencias de 3°, 5°...(m-2)° grados deben desaparecer. Siendo las imágenes de la teoría de Gauss de tercer orden, el siguiente problema es obtener una imagen de 5° orden, o hacer los coeficientes de las potencias de 3° grado cero. Esto requiere el cumplimiento de cinco ecuaciones; en otras palabras, hay cinco alteraciones de tercer orden, cuya desaparición produce una imagen de quinto orden.

La expresión de estos coeficientes en términos de las constantes del sistema óptico, es decir, los radios, espesores, índices de refracción y distancias entre las lentes, fue resuelta por L. Seidel; en 1840, J. Petzval construyó su retrato objetivo, a partir de cálculos similares que nunca han sido publicados. La teoría fue elaborada por S. Finterswalder, quien también publicó un artículo póstumo de Seidel que contenía una breve reseña de su obra; A. Kerber dio una forma más simple. A. Konig y M. von Rohr han representado el método de Kerber y han deducido las fórmulas de Seidel a partir de consideraciones geométricas basadas en el método de Abbe, y han interpretado geométricamente los resultados analíticos.

Las aberraciones también pueden expresarse mediante la función característica del sistema y sus coeficientes diferenciales, en lugar de los radios, &c., de las lentes; estas fórmulas no son inmediatamente aplicables, pero dan, sin embargo, la relación entre el número de aberraciones y el orden. Sir William Rowan Hamilton (British Assoc. Report, 1833, p. 360) derivó así las aberraciones de tercer orden; y en épocas posteriores el método fue seguido por Clerk Maxwell (Proc. London Math. Soc., 1874-1875; (véanse también los tratados de R. S. Heath y L. A. Herman), M. Thiesen (Berlín. Akad. Sitzber., 1890, 35, p. 804), H. Bruns (Leipzig. Math. Phys. Ber., 1895, 21, p. 410), y particularmente exitoso por K. Schwarzschild (Göttingen. Akad. Abhandl., 1905, 4, No. 1), quien descubrió así las aberraciones de quinto orden (de las cuales hay nueve), y posiblemente la prueba más corta de las fórmulas prácticas (Seidel) A. Gullstrand (vide supra, y Ann. d. Phys., 1905, 18, p. 941) fundó su teoría de las aberraciones en la geometría diferencial de superficies

Las aberraciones de tercer orden son: (1) aberración del punto del eje; (2) aberración de puntos cuya distancia desde el eje es muy pequeña, menor que la del tercer orden: la desviación de la condición del seno y la coma aquí caen juntas en una clase; (3) astigmatismo; (4) curvatura del campo; (5) distorsión.

1. La aberración del tercer orden de puntos del eje se trata en todos los libros de texto sobre óptica. Es muy importante en el diseño del telescopio. En los telescopios la abertura se toma generalmente como el diámetro lineal del objetivo. No es lo mismo que la abertura del microscopio que se basa en el alumno de entrada o campo de vista visto desde el objeto y se expresa como una medición angular. Las aberraciones de orden superior en el diseño del telescopio se pueden descuidar en su mayoría. Para los microscopios no se puede descuidar. Para una sola lente de espesor muy pequeño y potencia dada, la aberración depende de la relación del radio r:r', y es un mínimo (pero nunca cero) para un determinado valor de esta relación; varía inversamente con el índice refractivo (el poder de la lente permanece constante). La aberración total de dos o más lentes muy finas en contacto, siendo la suma de las aberraciones individuales, puede ser cero. Esto también es posible si los lentes tienen el mismo signo algebraico. De lentes finos positivos con n=1,5, cuatro son necesarios para corregir la aberración esférica del tercer orden. Sin embargo, estos sistemas no tienen gran importancia práctica. En la mayoría de los casos, se combinan dos lentes delgados, uno de los cuales tiene una aberración positiva tan fuerte (en inglés)incorrecta, vide supra) como el otro negativo; el primero debe ser un lente positivo y el segundo un lente negativo; los poderes, sin embargo: pueden diferir, de modo que se mantenga el efecto deseado de la lente. Es generalmente una ventaja para asegurar un gran efecto refractivo por varios más débiles que por un lente de alta potencia. Por uno, y también por varios, e incluso por un número infinito de lentes delgadas en contacto, no se pueden reproducir más de dos puntos del eje sin aberración del tercer orden. Libertad de aberración para dos puntos del eje, uno de los cuales es infinitamente distante, se conoce como La condición de Herschel. Todas estas reglas son válidas, ya que no se deben tener en cuenta los espesores y distancias de las lentes.
2. La condición para la libertad de coma en el tercer orden es también de importancia para los objetivos del telescopio; se conoce como La condición de Fraunhofer. (4) Después de eliminar la aberración En el eje, coma y astigmatismo, la relación por la flatness del campo en el tercer orden es expresada por el Ecuación petzval, S1/r(n'−n) = 0, donde r es el radio de una superficie refractante, n y n' los índices refractivos de los medios vecinos, y S el signo de la summación para todas las superficies refractantes.

Práctica eliminación de aberraciones

Las estrellas guía láser ayudan en la eliminación de la distorsión atmosférica.

El problema clásico de las imágenes consiste en reproducir perfectamente un plano finito (el objeto) en otro plano (la imagen) a través de una apertura finita. Es imposible hacerlo perfectamente para más de un par de aviones de este tipo (esto fue demostrado con creciente generalidad por Maxwell en 1858, por Bruns en 1895 y por Carathéodory en 1926, ver resumen en Walther, A., J. Opt. Soc. Am. A 6, 415–422 (1989)). Sin embargo, para un solo par de planos (por ejemplo, para un solo enfoque de un objetivo), el problema puede, en principio, resolverse perfectamente. Ejemplos de este sistema teóricamente perfecto incluyen la lente de Luneburg y el ojo de pez de Maxwell.

Los métodos prácticos resuelven este problema con una precisión que en su mayoría es suficiente para el propósito especial de cada tipo de instrumento. El problema de encontrar un sistema que reproduzca un objeto dado en un plano dado con un aumento dado (en la medida en que se deban tener en cuenta las aberraciones) podría abordarse mediante la teoría de la aproximación; en la mayoría de los casos, sin embargo, las dificultades analíticas eran demasiado grandes para los métodos de cálculo más antiguos, pero pueden mejorarse mediante la aplicación de sistemas informáticos modernos. Sin embargo, se han obtenido soluciones en casos especiales. En la actualidad, los constructores casi siempre emplean el método inverso: componen un sistema a partir de ciertas experiencias, a menudo bastante personales, y prueban, mediante el cálculo trigonométrico de las trayectorias de varios rayos, si el sistema da la reproducción deseada (se dan ejemplos en A. Gleichen, Lehrbuch der geometrischen Optik, Leipzig y Berlín, 1902). Los radios, espesores y distancias se modifican continuamente hasta que los errores de la imagen se vuelven lo suficientemente pequeños. Por este método sólo se investigan ciertos errores de reproducción, especialmente los miembros individuales, o todos, de los mencionados anteriormente. La teoría de la aproximación analítica a menudo se emplea provisionalmente, ya que su precisión generalmente no es suficiente.

Para hacer que la aberración esférica y la desviación de la condición sinusoidal sean pequeñas en toda la apertura, se da un rayo con un ángulo finito de apertura u* (anchura objetos infinitamente distantes: con una altura finita de incidencia h*) la misma distancia de intersección y la misma relación sinusoidal que con uno vecino al eje (u* o h* puede no ser mucho más pequeño que la apertura más grande U o H que se utilizará en el sistema). Los rayos con un ángulo de apertura menor que u* no tendrían la misma distancia de intersección y la misma relación sinusoidal; estas desviaciones se denominan zonas y el constructor se esfuerza por reducirlas al mínimo. Lo mismo vale para los errores que dependen del ángulo del campo de visión, w: el astigmatismo, la curvatura de campo y la distorsión se eliminan para un valor definido, w*, zonas de astigmatismo, curvatura de campo y distorsión, asistir a valores más pequeños de w. El óptico práctico nombra tales sistemas: corregidos para el ángulo de apertura u* (la altura de incidencia h*) o el ángulo de campo de visión w*. La aberración esférica y los cambios de las relaciones sinusoidales son a menudo representadas gráficamente como funciones de la apertura, del mismo modo que las desviaciones de dos superficies de imagen astigmáticas del plano de imagen del punto del eje se representan como funciones de los ángulos del campo de visión.

La forma final de un sistema práctico, en consecuencia, se basa en el compromiso; la ampliación de la apertura da como resultado una disminución del campo de visión disponible, y viceversa. Pero la apertura más grande dará la resolución más grande. Lo siguiente puede considerarse como típico:

1. Apertura más grande; las correcciones necesarias son —para el punto del eje, y condición sine; los errores del campo de vista son casi ignorados; ejemplo — objetivos del microscopio de alta potencia.
2. Lente de ángulo ancho; las correcciones necesarias son para el astigmatismo, la curvatura del campo y la distorsión; errores de la abertura sólo ligeramente considerados; ejemplos — objetivos de ángulo más amplios fotográficos y oculares.
   Entre estos ejemplos extremos se encuentra la lente normal: se corregía más con respecto a la abertura; objetivos para grupos más con respecto al campo de visión.
3. Los lentes de enfoque largo tienen pequeños campos de vista y las aberraciones en el eje son muy importantes. Por lo tanto, las zonas se mantendrán lo más pequeñas posible y el diseño debe enfatizar la simplicidad. Debido a esto estos lentes son los mejores para la computación analítica.

Aberración cromática o de color

En los sistemas ópticos compuestos por lentes, la posición, la magnitud y los errores de la imagen dependen de los índices de refracción del vidrio empleado (ver Lente (óptica) y Aberración monocromática, arriba). Dado que el índice de refracción varía con el color o la longitud de onda de la luz (ver dispersión), se deduce que un sistema de lentes (sin corregir) proyecta imágenes de diferentes colores en lugares y tamaños algo diferentes y con diferentes aberraciones; es decir, hay diferencias cromáticas de las distancias de intersección, de aumentos y de aberraciones monocromáticas. Si se emplea luz mixta (por ejemplo, luz blanca) todas estas imágenes se forman y provocan una confusión, denominada aberración cromática; por ejemplo, en lugar de un margen blanco sobre fondo oscuro, se percibe un margen coloreado, o espectro estrecho. La ausencia de este error se denomina acromatismo, y un sistema óptico así corregido se denomina acromático. Se dice que un sistema está subcorregido cromáticamente cuando muestra el mismo tipo de error cromático que una lente positiva delgada; de lo contrario, se dice que está sobrecorregido.

Si, en primer lugar, se desprecian las aberraciones monocromáticas (en otras palabras, se acepta la teoría gaussiana), entonces cada reproducción está determinada por las posiciones de los planos focales y la magnitud de las distancias focales, o si la focal longitudes, como sucede ordinariamente, ser iguales, por tres constantes de reproducción. Estas constantes vienen determinadas por los datos del sistema (radios, espesores, distancias, índices, etc., de las lentes); por lo tanto, su dependencia del índice de refracción y, en consecuencia, del color, son calculables. Los índices de refracción para diferentes longitudes de onda deben conocerse para cada tipo de vidrio que se utilice. De esta manera se mantienen las condiciones de que cualquier constante de reproducción sea igual para dos colores diferentes, es decir, esta constante se acromatiza. Por ejemplo, es posible, con una lente gruesa en el aire, acromatizar la posición de un plano focal de la magnitud de la distancia focal. Si las tres constantes de reproducción están acromatizadas, entonces la imagen gaussiana para todas las distancias de los objetos es la misma para los dos colores, y se dice que el sistema está en acromatismo estable.

En la práctica es más ventajoso (después de Abbe) determinar la aberración cromática (por ejemplo, la de la distancia de intersección) para una posición fija del objeto, y expresarla mediante una suma en la que cada componente limita la cantidad debido a cada superficie de refracción. En un plano que contiene el punto imagen de un color, otro color produce un disco de confusión; esto es similar a la confusión causada por dos zonas en la aberración esférica. Para objetos infinitamente distantes, el radio del disco cromático de confusión es proporcional a la apertura lineal e independiente de la distancia focal (vide supra, Aberración monocromática del punto del eje); y dado que este disco se vuelve menos dañino con una imagen creciente de un objeto dado, o con una distancia focal creciente, se deduce que el deterioro de la imagen es proporcional a la relación entre la apertura y la distancia focal, es decir, el relativo apertura. (Esto explica las gigantescas distancias focales en boga antes del descubrimiento del acromatismo).

Ejemplos:

Newton no logró percibir la existencia de medios de diferentes poderes dispersivos requeridos por el acromatismo; en consecuencia, construyó grandes reflectores en lugar de refractores. James Gregory y Leonhard Euler llegaron a la visión correcta a partir de una concepción falsa del acromatismo del ojo; esto fue determinado por Chester More Hall en 1728, Klingenstierna en 1754 y por Dollond en 1757, quienes construyeron los célebres telescopios acromáticos. (Ver telescopio).

Cristal con poder dispersivo más débil (verdedor v{displaystyle v}) se llama corona; que con mayor poder dispersivo, vidrio. Para la construcción de un objetivo colectivo acromático (f{displaystyle f} positivo) sigue, por medio de la ecuación (4), que un objetivo colectivo I. de cristal de corona y una lente dispersiva II. de vidrio de peinado debe ser elegido; este último, aunque el más débil, corrige el otro cromáticamente por su mayor poder dispersivo. Para una lente dispersiva acromática se debe adoptar el converso. Este es, en la actualidad, el tipo ordinario, por ejemplo, del objetivo del telescopio; los valores de los cuatro radios deben satisfacer las ecuaciones (2) y (4). Otras dos condiciones también pueden ser postuladas: una es siempre la eliminación de la aberración en el eje; la segunda o la segunda Herschel o Fraunhofer Estado, este último es el mejor vide supra, Monocromático Aberration). En la práctica, sin embargo, a menudo es más útil evitar la segunda condición haciendo que los lentes tengan contacto, es decir, radio igual. Según P. Rudolph (Eder's Jahrb. f. Photog., 1891, 5, p. 225; 1893, 7, p. 221), objetivos cementados de lentes finas permiten la eliminación de la aberración esférica en el eje, si, como arriba, el objetivo colectivo tiene un índice refractivo menor; por otro lado, permiten la eliminación del astigmatismo y si la curvatura del campo colectivo Si el sistema cementado es positivo, entonces el objetivo más poderoso debe ser positivo; y, según (4), el mayor poder pertenece al poder dispersivo más débil (más grande v{displaystyle v}), es decir, cristal de corona; por lo tanto el cristal de corona debe tener el mayor índice refractivo para las imágenes astigmáticas y planas. En todo tipo de vidrio anterior, sin embargo, el poder dispersivo aumentó con el índice refractivo; es decir, v{displaystyle v} disminución n{displaystyle n} aumento; pero algunos de los vasos de Jena por E. Abbe y O. Schott fueron copas coronarias de alto índice refractivo, y sistemas acromáticos de tales copas de corona, con vasos de puntiagudos de menor índice refractivo, se llaman los nuevos cromados, y fueron empleados por P. Rudolph en el primero anastigmats (objetivos fotográficos).

En lugar de hacer df{displaystyle df} desaparecer, se le puede asignar un valor determinado que producirá, mediante la adición de los dos objetivos, cualquier desviación cromática deseada, por ejemplo, suficiente para eliminar un presente en otras partes del sistema. Si las lentes I. y II. ser cementado y tener el mismo índice refractivo para un color, entonces su efecto para ese color es el de una lente de una pieza; por tal descomposición de una lente se puede hacer cromático o acromático a voluntad, sin alterar su efecto esférico. Si su efecto cromático (df/f{displaystyle df/f}) ser mayor que el de la misma lente, que está hecho de la más dispersiva de los dos vasos empleados, se denomina hiper-cromático.

Para dos lentes finos separados por una distancia D{displaystyle D} la condición para el acromatismo es D=v1f1+v2f2{displaystyle D=v_{1}f_{1}+v_{2}f_{2}; si v1=v2{displaystyle v_{1}=v_{2} (por ejemplo, si las lentes están hechas del mismo cristal), esto reduce a D=()f1+f2)/2{displaystyle D=(f_{1}+f_{2}/2}, conocido como condición para los oculares.

Si una constante de reproducción, por ejemplo la longitud focal, se hace igual a dos colores, entonces no es el mismo para otros colores, si se emplean dos vasos diferentes. Por ejemplo, la condición para el acromatismo (4) para dos lentes delgadas en contacto se cumple en sólo una parte del espectro, ya que dn2/dn1{displaystyle Dn_{2}/dn_{1} varía dentro del espectro. Este hecho fue comprobado por primera vez por J. Fraunhofer, quien definió los colores por medio de las líneas oscuras en el espectro solar; y mostró que la proporción de la dispersión de dos vasos varió alrededor del 20% del rojo al violeta (la variación para el vidrio y el agua es alrededor del 50%). Si, por lo tanto, por dos colores, a y b, fa=fb=f{displaystyle F_{a}=f_{b}=f}, entonces por un tercer color, c, la longitud focal es diferente; es decir, si c mentiras entre a y b, entonces <math alttext="{displaystyle f_{c}fc.f{displaystyle f.<img alt="f_{c}, y viceversa; estos resultados algebraicos siguen del hecho de que hacia el rojo la dispersión de los preponderados de cristal de corona positiva, hacia el violeta que del peinado negativo. Estos errores cromáticos de sistemas, que son acromáticos para dos colores, se llaman los espectro secundario y depende de la abertura y la longitud focal de la misma manera que los errores cromáticos primarios.

En la fig. 6, tomado de la Theorie und Geschichte des photographischen Objectivs de M. von Rohr, las abscisas son las longitudes focales y las ordenadas las longitudes de onda. Las líneas de Fraunhofer utilizadas se muestran en la tabla adyacente.

Gráfico 6

Las longitudes focales son iguales a las líneas C y F. En el barrio de 550 nm el tangente a la curva es paralelo al eje de longitudes de onda; y la longitud focal varía menos sobre una amplia gama de color, por lo tanto en este barrio la unión de color es en su mejor momento. Por otra parte, esta región del espectro es la que parece más brillante al ojo humano, y por consiguiente esta curva de la secundaria en el espectro, obtenida por hacer fC=fF{displaystyle F_{C}=f_{F}, es, según los experimentos de Sir G. G. Stokes (Proc. Roy. Soc., 1878), el más adecuado para los instrumentos visuales (acromatismo óptico,). De manera similar, para los sistemas utilizados en la fotografía, el vértice de la curva de color debe colocarse en la posición de la máxima sensibilidad de las placas; esto se supone generalmente que está en G'; y para lograr esto se unen las líneas de mercurio F y violeta. Este artificio es especialmente adoptado en objetivos para la fotografía astronómicapuro acromatismo actinico). Para la fotografía ordinaria, sin embargo, hay esta desventaja: la imagen en la pantalla de enfoque y el ajuste correcto de la placa sensible fotográfica no están en registro; en la fotografía astronómica esta diferencia es constante, pero en otros tipos depende de la distancia de los objetos. En este sentido, las líneas D y G' están unidas para objetivos fotográficos ordinarios; la imagen óptica y actinica es cromáticamente inferior, pero ambos se encuentran en el mismo lugar; y consecuentemente la mejor corrección reside en F (esto se conoce como la mejor corrección corrección actinica o la libertad frente al enfoque químico).

Si hay en dos lentes en contacto con las mismas longitudes focales para tres colores a, b, y c, es decir. fa=fb=fc=f{displaystyle F_{a}=f_{b}=f_{c}=f}, entonces la dispersión parcial relativa ()nc− − nb)()na− − nb){displaystyle (n_{c}-n_{b})(n_{a}-n_{b} debe ser igual para los dos tipos de vidrio empleado. Esto sigue considerando la ecuación (4) para los dos pares de colores ac y bc. Hasta hace poco no se conocían gafas con un grado proporcional de absorción; pero R. Blair (Trans. Edin. Soc., 1791, 3, p. 3), P. Barlow y F. S. Archer superaron la dificultad mediante la construcción de lentes de fluido entre paredes de vidrio. Fraunhofer preparó gafas que redujeron el espectro secundario; pero el éxito permanente sólo se aseguró en la introducción de los vasos Jena por E. Abbe y O. Schott. Al utilizar gafas que no tienen dispersión proporcional, la desviación de un tercer color puede ser eliminada por dos lentes, si se permite un intervalo entre ellos; o por tres lentes en contacto, que pueden no todos consistir en las gafas viejas. En la unidad de tres colores un acromatismo de un orden superior se deriva; todavía hay un residual espectro terciario, pero siempre puede ser descuidado.

La teoría de Gauss es solo una aproximación; todavía se producen aberraciones monocromáticas o esféricas, que serán diferentes para diferentes colores; y si se les compensara por un color, la imagen de otro color resultaría perturbadora. La más importante es la diferencia cromática de aberración del punto del eje, que todavía está presente para perturbar la imagen, después de que los rayos paraxiales de diferentes colores se unen mediante una combinación adecuada de lentes. Si se corrige un sistema colectivo para el punto del eje para una longitud de onda definida, entonces, debido a la mayor dispersión en los componentes negativos, los cristales de pedernal, surgirá una sobrecorrección para las longitudes de onda más cortas (siendo este el error de los componentes negativos)., y subcorrección para las longitudes de onda más largas (el error de las lentes de cristal de corona preponderante en el rojo). Este error fue tratado por Jean le Rond d'Alembert y, en especial detalle, por C. F. Gauss. Aumenta rápidamente con la apertura y es más importante con aperturas medias que el espectro secundario de rayos paraaxiales; en consecuencia, la aberración esférica debe eliminarse para dos colores, y si esto es imposible, entonces debe eliminarse para aquellas longitudes de onda particulares que son más efectivas para el instrumento en cuestión (una representación gráfica de este error se da en M. von Rohr, Theorie und Geschichte des photographischen Objectivs).

La condición para la reproducción de un elemento de superficie en lugar de un punto reproducido nítidamente — la constante de la relación sinusoidal también debe cumplirse con grandes aperturas para varios colores. E. Abbe logró calcular objetivos de microscopio libres de error del punto del eje y satisfaciendo la condición del seno para varios colores, que por lo tanto, según su definición, eran aplanáticos para varios colores; tales sistemas los denominó apocromáticos. Si bien, sin embargo, la ampliación de las zonas individuales es la misma, no es la misma para el rojo que para el azul; y hay una diferencia cromática de aumento. Este es producido en la misma cantidad, pero en sentido contrario, por los oculares, que Abbe utilizó con estos objetivos (oculares compensadores), de forma que queda eliminado en la imagen de todo el microscopio. Los mejores objetivos de telescopio y objetivos fotográficos destinados a trabajos de tres colores también son apocromáticos, incluso si no poseen la misma calidad de corrección que los objetivos de microscopio. Las diferencias cromáticas de otros errores de reproducción rara vez tienen importancia práctica.