El principio de Bernoulli

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Principio relativo a la dinámica de fluidos

Un flujo de aire a través de un medidor de ventilación. La energía cinética aumenta a expensas de la presión del fluido, como lo demuestra la diferencia en la altura de las dos columnas de agua.

Video de un medidor de ventilación utilizado en un experimento de laboratorio

En dinámica de fluidos, el principio de Bernoulli establece que un aumento en la velocidad de un fluido ocurre simultáneamente con una disminución en la presión estática o una disminución en la energía potencial del fluido. El principio lleva el nombre del matemático y físico suizo Daniel Bernoulli, quien lo publicó en su libro Hydrodynamica en 1738. Aunque Bernoulli dedujo que la presión disminuye cuando aumenta la velocidad del flujo, fue Leonhard Euler en 1752 quien derivó Ecuación de Bernoulli en su forma habitual. El principio solo es aplicable para flujos isoentrópicos: cuando los efectos de los procesos irreversibles (como la turbulencia) y los procesos no adiabáticos (por ejemplo, la radiación térmica) son pequeños y pueden despreciarse.

El principio de Bernoulli se puede aplicar a varios tipos de flujo de fluidos, lo que da como resultado varias formas de la ecuación de Bernoulli. La forma simple de la ecuación de Bernoulli es válida para flujos incompresibles (por ejemplo, la mayoría de los flujos de líquidos y gases que se mueven a un número de Mach bajo). Se pueden aplicar formas más avanzadas a flujos compresibles a números de Mach más altos.

El principio de Bernoulli se puede derivar del principio de conservación de la energía. Esta establece que, en un flujo constante, la suma de todas las formas de energía en un fluido es la misma en todos los puntos que están libres de fuerzas viscosas. Esto requiere que la suma de energía cinética, energía potencial y energía interna permanezca constante. Por lo tanto, un aumento en la velocidad del fluido, lo que implica un aumento en su energía cinética (presión dinámica), ocurre con una disminución simultánea en (la suma de) su energía potencial (incluida la presión estática) y energía interna. Si el fluido sale de un reservorio, la suma de todas las formas de energía es la misma porque en un reservorio la energía por unidad de volumen (la suma de la presión y el potencial gravitatorio $ρ g h$ ) es igual en todas partes.

El principio de Bernoulli también se puede derivar directamente de la segunda ley del movimiento de Isaac Newton. Si un pequeño volumen de fluido fluye horizontalmente desde una región de alta presión a una región de baja presión, entonces hay más presión detrás que delante. Esto da una fuerza neta sobre el volumen, acelerándolo a lo largo de la línea de corriente.

Las partículas de fluido están sujetas únicamente a la presión ya su propio peso. Si un fluido fluye horizontalmente ya lo largo de una sección de una línea de corriente, donde la velocidad aumenta solo puede deberse a que el fluido en esa sección se ha movido de una región de mayor presión a una región de menor presión; y si su velocidad disminuye, solo puede deberse a que se ha movido de una región de menor presión a una región de mayor presión. En consecuencia, dentro de un fluido que fluye horizontalmente, la velocidad más alta ocurre donde la presión es más baja y la velocidad más baja ocurre donde la presión es más alta.

Ecuación de flujo incompresible

En la mayoría de los flujos de líquidos y de gases con un número de Mach bajo, la densidad de un paquete de fluido se puede considerar constante, independientemente de las variaciones de presión en el flujo. Por lo tanto, se puede considerar que el fluido es incompresible, y estos flujos se denominan flujos incompresibles. Bernoulli realizó sus experimentos con líquidos, por lo que su ecuación en su forma original es válida solo para flujo incompresible. Una forma común de la ecuación de Bernoulli es:

{displaystyle {frac {v^{2}}{2}}+gz+{frac {p}{rho }}={text{constant}}}

()A)

donde:

$v$ es la velocidad de flujo de fluidos en un punto,
$g$ es la aceleración debido a la gravedad,
$z$ es la elevación del punto sobre un plano de referencia, con el positivo $z$ - la dirección apuntando hacia arriba - así que en la dirección opuesta a la aceleración gravitacional,
$p$ es la presión en el punto elegido, y
$rho$ es la densidad del fluido en todos los puntos del fluido.

La ecuación de Bernoulli y la constante de Bernoulli son aplicables en cualquier región de flujo donde la energía por unidad de masa sea uniforme. La energía por unidad de masa de líquido en un reservorio es uniforme en todo el reservorio, por lo que si el reservorio alimenta líquido a una tubería o a un campo de flujo, la ecuación de Bernoulli y la constante de Bernoulli se pueden usar para analizar el flujo de fluido en todas partes excepto donde existen fuerzas viscosas. y erosionar la energía por unidad de masa.

Se deben cumplir los siguientes supuestos para que se aplique esta ecuación de Bernoulli:

el flujo debe ser constante, es decir, los parámetros de flujo (velocidad, densidad, etc.) en cualquier punto no pueden cambiar con el tiempo,
el flujo debe ser incompresible, aunque la presión varía, la densidad debe permanecer constante a lo largo de una aerodinámica;
la fricción por fuerzas viscosas debe ser insignificante.

Para campos de fuerza conservativos (no limitados al campo gravitatorio), la ecuación de Bernoulli se puede generalizar como:

{displaystyle {frac {v^{2}}{2}}+Psi +{frac {p}{rho }}={text{constant}}}

Ψ

Ψ = gz

Al multiplicar por la densidad del fluido $ρ$ , la ecuación (A) se puede reescribir como:

{displaystyle {tfrac {1}{2}}rho v^{2}+rho gz+p={text{constant}}}

{displaystyle q+rho gh=p_{0}+rho gz={text{constant}}}

$q = 1 / 2 *** 2$ es presión dinámica,
$h = z + p / ρg$ es la cabeza piezométrica o cabeza hidráulica (la suma de la elevación $z$ y la cabeza de presión) y
$p 0 = p + q$ es la presión de estancamiento (la suma de la presión estática $p$ y presión dinámica $q$ ).

La constante en la ecuación de Bernoulli se puede normalizar. Un enfoque común es en términos de cabezal total o cabezal de energía $H$ :

{displaystyle H=z+{frac {p}{rho g}}+{frac {v^{2}}{2g}}=h+{frac {v^{2}}{2g}},}

Las ecuaciones anteriores sugieren que hay una velocidad de flujo a la que la presión es cero y, a velocidades aún más altas, la presión es negativa. La mayoría de las veces, los gases y los líquidos no son capaces de tener una presión absoluta negativa, o incluso una presión cero, por lo que claramente la ecuación de Bernoulli deja de ser válida antes de que se alcance la presión cero. En los líquidos, cuando la presión es demasiado baja, se produce la cavitación. Las ecuaciones anteriores utilizan una relación lineal entre la velocidad del flujo al cuadrado y la presión. A velocidades de flujo más altas en gases, o para ondas de sonido en líquido, los cambios en la densidad de masa se vuelven significativos, por lo que la suposición de densidad constante no es válida.

Forma simplificada

En muchas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, el cambio en el término $ρgz$ es tan pequeño en comparación con el otro términos que se pueden ignorar. Por ejemplo, en el caso de un avión en vuelo, el cambio de altura $z$ es tan pequeño que $ρgz$ . Esto permite que la ecuación anterior se presente en la siguiente forma simplificada:

{displaystyle p+q=p_{0}}

p 0

q

p

p 0

q

Aerodinámica

La forma simplificada de la ecuación de Bernoulli se puede resumir en la siguiente ecuación memorable:

presión estática + presión dinámica = presión total

Cada punto en un fluido que fluye constantemente, independientemente de la velocidad del fluido en ese punto, tiene su propia presión estática única $p$ y presión dinámica $q$ . Su suma $p + q$ se define como la presión total $p 0$ . La importancia del principio de Bernoulli ahora se puede resumir como "la presión total es constante en cualquier región libre de fuerzas viscosas". Si el flujo de fluido se detiene en algún punto, este punto se llama punto de estancamiento, y en este punto la presión estática es igual a la presión de estancamiento.

Si el flujo de fluido es irrotacional, la presión total es uniforme y el principio de Bernoulli se puede resumir como "la presión total es constante en todo el flujo de fluido". Es razonable suponer que el flujo irrotacional existe en cualquier situación en la que una gran masa de fluido fluya a través de un cuerpo sólido. Algunos ejemplos son los aviones en vuelo y los barcos que se mueven en cuerpos de agua abiertos. Sin embargo, es importante destacar que el principio de Bernoulli no se aplica en la capa límite, como en el flujo a través de tuberías largas.

Flujo potencial no estacionario

La ecuación de Bernoulli para el flujo potencial no estacionario se utiliza en la teoría de las ondas y la acústica de la superficie del océano. Para un flujo irrotacional, la velocidad del flujo se puede describir como el gradiente $\nabla φ$ de un potencial de velocidad $φ$ . En ese caso, y para una densidad constante $ρ$ , las ecuaciones de momento de las ecuaciones de Euler se pueden integrar para:

{displaystyle {frac {partial varphi }{partial t}}+{tfrac {1}{2}}v^{2}+{frac {p}{rho }}+gz=f(t),}

que es una ecuación de Bernoulli válida también para flujos inestables o dependientes del tiempo. Aquí $\partial φ / \partial t$ denota la derivada parcial del potencial de velocidad $φ$ con respecto al tiempo $t$ , y $v = | \nabla φ |$ es la velocidad de flujo. La función $f (t)$ depende únicamente del tiempo y no de la posición en el fluido. Como resultado, la ecuación de Bernoulli en algún momento $t$ se aplica en todo el dominio fluido. Esto también es cierto para el caso especial de un flujo irrotacional constante, en cuyo caso $f$ y $\partial φ / \partial t$ son constantes, por lo que la ecuación (A) se puede aplicar en cada punto de el dominio fluido. Más $f (t)$ se puede igualar a cero incorporándolo al potencial de velocidad usando la transformación:

{displaystyle Phi =varphi -int _{t_{0}}^{t}f(tau),mathrm {d} tau}

{displaystyle {frac {partial Phi }{partial t}}+{tfrac {1}{2}}v^{2}+{frac {p}{rho }}+gz=0.}

Tenga en cuenta que la relación del potencial con la velocidad del flujo no se ve afectada por esta transformación: $\nablaΦ = \nabla φ$ .

La ecuación de Bernoulli para el flujo de potencial no estacionario también parece desempeñar un papel central en el principio de variación de Luke, una descripción de variación de los flujos de superficie libre mediante la mecánica de Lagrangian.

Ecuación de flujo comprimible

Bernoulli desarrolló su principio a partir de observaciones en líquidos, y la ecuación de Bernoulli es válida para fluidos ideales: aquellos que son incompresibles, irrotacionales, no viscosos y sujetos a fuerzas conservativas. A veces es válido para el flujo de gases: siempre que no haya transferencia de energía cinética o potencial del flujo de gas a la compresión o expansión del gas. Si tanto la presión como el volumen del gas cambian simultáneamente, entonces el gas realizará un trabajo sobre o por el mismo. En este caso, no se puede suponer que la ecuación de Bernoulli, en su forma de flujo incompresible, sea válida. Sin embargo, si el proceso del gas es completamente isobárico o isocórico, entonces no se realiza trabajo sobre o por el gas (por lo que el balance de energía simple no se altera). Según la ley de los gases, un proceso isobárico o isocórico suele ser la única forma de garantizar una densidad constante en un gas. También la densidad del gas será proporcional a la relación de presión y temperatura absoluta; sin embargo, esta relación variará con la compresión o la expansión, independientemente de la cantidad distinta de cero de calor que se agregue o elimine. La única excepción es si la transferencia neta de calor es cero, como en un ciclo termodinámico completo o en un proceso isoentrópico individual (adiabático sin fricción), e incluso entonces este proceso reversible debe invertirse para restaurar el gas a la presión original y volumen específico., y por lo tanto la densidad. Solo entonces es aplicable la ecuación original de Bernoulli sin modificar. En este caso, la ecuación se puede utilizar si la velocidad de flujo del gas es suficientemente inferior a la velocidad del sonido, de modo que se pueda ignorar la variación en la densidad del gas (debido a este efecto) a lo largo de cada línea de corriente. El flujo adiabático a menos de Mach 0,3 generalmente se considera lo suficientemente lento.

Es posible utilizar los principios fundamentales de la física para desarrollar ecuaciones similares aplicables a fluidos compresibles. Existen numerosas ecuaciones, cada una diseñada para una aplicación particular, pero todas son análogas a la ecuación de Bernoulli y todas se basan únicamente en los principios fundamentales de la física, como las leyes de movimiento de Newton o la primera ley de termodinámica.

Flujo compresible en dinámica de fluidos

Para un fluido compresible, con una ecuación de estado barotrópica, y bajo la acción de fuerzas conservativas,

{displaystyle {frac {v^{2}}{2}}+int _{p_{1}}^{p}{frac {mathrm {d} {tilde {p}}}{rho left({tilde {p}}right)}}+Psi ={text{constant (along a streamline)}}}

$p$ es la presión
$***$ es la densidad y $*** () p)$ indica que es una función de presión
$v$ es la velocidad de flujo
$Ψ$ es el potencial asociado con el campo de fuerza conservador, a menudo el potencial gravitacional

En situaciones de ingeniería, las elevaciones son generalmente pequeñas en comparación con el tamaño de la Tierra, y las escalas de tiempo del flujo de fluidos son lo suficientemente pequeñas como para considerar la ecuación de estado como adiabática. En este caso, la ecuación anterior para un gas ideal se convierte en:

{displaystyle {frac {v^{2}}{2}}+gz+left({frac {gamma }{gamma -1}}right){frac {p}{rho }}={text{constant (along a streamline)}}}

$γ$ es la relación de los calores específicos del fluido
$g$ es la aceleración debido a la gravedad
$z$ es la elevación del punto sobre un plano de referencia

En muchas aplicaciones de flujo comprimible, los cambios en la elevación son insignificantes en comparación con los otros términos, por lo que el término $gz$ puede ser omitido Una forma muy útil de la ecuación es entonces:

{displaystyle {frac {v^{2}}{2}}+left({frac {gamma }{gamma -1}}right){frac {p}{rho }}=left({frac {gamma }{gamma -1}}right){frac {p_{0}}{rho _{0}}}}

donde:

$p 0$ es la presión total
$*** 0$ es la densidad total

Flujo compresible en termodinámica

La forma más general de la ecuación, adecuada para su uso en termodinámica en caso de flujo (casi) estacionario, es:

{displaystyle {frac {v^{2}}{2}}+Psi +w={text{constant}}.}

Aquí $w$ es la entalpía por unidad de masa (también conocida como entalpía específica), que también suele escribirse como $h$ (no debe confundirse con "cabeza" o "altura").

Tenga en cuenta que

{displaystyle w=e+{frac {p}{rho }}~~~left(={frac {gamma }{gamma -1}}{frac {p}{rho }}right)}

e

e

La constante del lado derecho a menudo se denomina constante de Bernoulli y se denota como $b$ . Para un flujo adiabático no viscoso constante sin fuentes adicionales o sumideros de energía, $b$ es constante a lo largo de cualquier línea de corriente dada. De manera más general, cuando $b$ puede variar a lo largo de las líneas de corriente, sigue siendo un parámetro útil, relacionado con la "cabeza" del fluido (ver abajo).

Cuando se puede ignorar el cambio en $Ψ$ , una forma muy útil de esta ecuación es:

{displaystyle {frac {v^{2}}{2}}+w=w_{0}}

w 0

Cuando las ondas de choque están presentes, en un marco de referencia en el que el choque es estacionario y el flujo es constante, muchos de los parámetros de la ecuación de Bernoulli sufren cambios abruptos al atravesar el choque. El parámetro de Bernoulli no se ve afectado. Una excepción a esta regla son los choques radiativos, que violan los supuestos que conducen a la ecuación de Bernoulli, a saber, la falta de sumideros o fuentes de energía adicionales.

Flujo potencial no estacionario

Para un fluido compresible, con una ecuación de estado barotrópica, la ecuación de conservación del momento no estacionario

{displaystyle {frac {partial {vec {v}}}{partial t}}+left({vec {v}}cdot nabla right){vec {v}}=-{vec {g}}-{frac {nabla p}{rho }}}

Con la suposición irrotacional, es decir, la velocidad del flujo se puede describir como el gradiente $\nabla φ$ de un potencial de velocidad $φ$ . La ecuación de conservación del momento no estacionario se convierte en

{displaystyle {frac {partial nabla phi }{partial t}}+nabla left({frac {nabla phi cdot nabla phi }{2}}right)=-nabla Psi -nabla int _{p_{1}}^{p}{frac {d{tilde {p}}}{rho ({tilde {p}})}}}

{displaystyle {frac {partial phi }{partial t}}+{frac {nabla phi cdot nabla phi }{2}}+Psi +int _{p_{1}}^{p}{frac {d{tilde {p}}}{rho ({tilde {p}})}}={text{constant}}}

En este caso, la ecuación anterior para el flujo isoentrópico se convierte en:

{displaystyle {frac {partial phi }{partial t}}+{frac {nabla phi cdot nabla phi }{2}}+Psi +{frac {gamma }{gamma -1}}{frac {p}{rho }}={text{constant}}}

Derivaciones

Bernoulli equation for incompressible fluids

The Bernoulli equation for incompressible fluids can be derived by either integrating Newton's second law of motion or by applying the law of conservation of energy, ignoring viscosity, compressibility, and thermal effects.

Derivation through integrating Newton's Second Law of Motion

The simplest derivation is to first ignore gravity and consider constrictions and expansions in pipes that are otherwise straight, as seen in Venturi effect. Let the $x$ axis be directed down the axis of the pipe.

Define a parcel of fluid moving through a pipe with cross-sectional area $A$ , the length of the parcel is $d x$ , and the volume of the parcel $A d x$ . If mass density is $ρ$ , the mass of the parcel is density multiplied by its volume $m = ρA d x$ . The change in pressure over distance $d x$ is $d p$ and flow velocity $v = d x / d t$ .

Apply Newton's second law of motion (force = mass × acceleration) and recognizing that the effective force on the parcel of fluid is $- A d p$ . If the pressure decreases along the length of the pipe, $d p$ is negative but the force resulting in flow is positive along the $x$ axis.

{displaystyle {begin{aligned}m{frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} t}}&=F\rho Amathrm {d} x{frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} t}}&=-Amathrm {d} p\rho {frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} t}}&=-{frac {mathrm {d} p}{mathrm {d} x}}end{aligned}}}

In steady flow the velocity field is constant with respect to time, $v = v (x) = v (x (t))$ , so $v$ itself is not directly a function of time $t$ . It is only when the parcel moves through $x$ that the cross sectional area changes: $v$ depends on $t$ only through the cross-sectional position $x (t)$ .

{displaystyle {frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} t}}={frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} x}}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}={frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} x}}v={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}left({frac {v^{2}}{2}}right).}

With density $ρ$ constant, the equation of motion can be written as

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}left(rho {frac {v^{2}}{2}}+pright)=0}

by integrating with respect to

x

{displaystyle {frac {v^{2}}{2}}+{frac {p}{rho }}=C}

where

C

is a constant, sometimes referred to as the Bernoulli constant. It is not a universal constant, but rather a constant of a particular fluid system. The deduction is: where the speed is large, pressure is low and vice versa.

In the above derivation, no external work–energy principle is invoked. Rather, Bernoulli's principle was derived by a simple manipulation of Newton's second law.

A streamtube of fluid moving to the right. Indicated are pressure, elevation, flow speed, distance (

s

), and cross-sectional area. Note that in this figure elevation is denoted as

h

, contrary to the text where it is given by

z

Derivation by using conservation of energy

Another way to derive Bernoulli's principle for an incompressible flow is by applying conservation of energy. In the form of the work-energy theorem, stating that

the change in the kinetic energy

E kin

of the system equals the net work $W$ done on the system;

{displaystyle W=Delta E_{text{kin}}.}

Therefore,

the work done by the forces in the fluid equals increase in kinetic energy.

The system consists of the volume of fluid, initially between the cross-sections $A 1$ and $A 2$ . In the time interval $Δ t$ fluid elements initially at the inflow cross-section $A 1$ move over a distance $s 1 = v 1 Δ t$ , while at the outflow cross-section the fluid moves away from cross-section $A 2$ over a distance $s 2 = v 2 Δ t$ . The displaced fluid volumes at the inflow and outflow are respectively $A 1 s 1$ and $A 2 s 2$ . The associated displaced fluid masses are – when $ρ$ is the fluid's mass density – equal to density times volume, so $ρA 1 s 1$ and $ρA 2 s 2$ . By mass conservation, these two masses displaced in the time interval $Δ t$ have to be equal, and this displaced mass is denoted by $Δ m$ :

{displaystyle {begin{aligned}rho A_{1}s_{1}&=rho A_{1}v_{1}Delta t=Delta m,\rho A_{2}s_{2}&=rho A_{2}v_{2}Delta t=Delta m.end{aligned}}}

The work done by the forces consists of two parts:

The work done by the pressure acting on the areas $A 1$ and $A 2$ ${displaystyle W_{text{pressure}}=F_{1,{text{pressure}}}s_{1}-F_{2,{text{pressure}}}s_{2}=p_{1}A_{1}s_{1}-p_{2}A_{2}s_{2}=Delta m{frac {p_{1}}{rho }}-Delta m{frac {p_{2}}{rho }}.}$
The work done by gravity: the gravitational potential energy in the volume $A 1 s 1$ is lost, and at the outflow in the volume $A 2 s 2$ is gained. So, the change in gravitational potential energy $Δ E pot,gravity$ in the time interval $Δ t$ is

{displaystyle Delta E_{text{pot,gravity}}=Delta m,gz_{2}-Delta m,gz_{1}.}

Now, the work by the force of gravity is opposite to the change in potential energy,

W gravity = - ΔE pot,gravity

: while the force of gravity is in the negative

z

-direction, the work—gravity force times change in elevation—will be negative for a positive elevation change

Δ z = z 2 - z 1

, while the corresponding potential energy change is positive. So:

{displaystyle W_{text{gravity}}=-Delta E_{text{pot,gravity}}=Delta m,gz_{1}-Delta m,gz_{2}.}

And therefore the total work done in this time interval

Δ t

{displaystyle W=W_{text{pressure}}+W_{text{gravity}}.}

The increase in kinetic energy is

{displaystyle Delta E_{text{kin}}={tfrac {1}{2}}Delta m,v_{2}^{2}-{tfrac {1}{2}}Delta m,v_{1}^{2}.}

Putting these together, the work-kinetic energy theorem

W = Δ E kin

gives:

{displaystyle Delta m{frac {p_{1}}{rho }}-Delta m{frac {p_{2}}{rho }}+Delta m,gz_{1}-Delta m,gz_{2}={tfrac {1}{2}}Delta m,v_{2}^{2}-{tfrac {1}{2}}Delta m,v_{1}^{2}}

{displaystyle {tfrac {1}{2}}Delta m,v_{1}^{2}+Delta m,gz_{1}+Delta m{frac {p_{1}}{rho }}={tfrac {1}{2}}Delta m,v_{2}^{2}+Delta m,gz_{2}+Delta m{frac {p_{2}}{rho }}.}

After dividing by the mass

Δ m = ρA 1 v 1 Δ t = ρA 2 v 2 Δ t

the result is:

{displaystyle {tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+gz_{1}+{frac {p_{1}}{rho }}={tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+gz_{2}+{frac {p_{2}}{rho }}}

or, as stated in the first paragraph:

{displaystyle {frac {v^{2}}{2}}+gz+{frac {p}{rho }}=C}

(Eqn. 1, Which is also Equation (A))

Further division by $g$ produces the following equation. Note that each term can be described in the length dimension (such as meters). This is the head equation derived from Bernoulli's principle:

{displaystyle {frac {v^{2}}{2g}}+z+{frac {p}{rho g}}=C}

(Eqn. 2a)

The middle term, $z$ , represents the potential energy of the fluid due to its elevation with respect to a reference plane. Now, $z$ is called the elevation head and given the designation $z elevation$ .

A free falling mass from an elevation $z > 0$ (in a vacuum) will reach a speed

{displaystyle v={sqrt {{2g}{z}}},}

when arriving at elevation

z = 0

. Or when rearranged as head:

{displaystyle h_{v}={frac {v^{2}}{2g}}}

The term

v 2 / 2 g

is called the velocity head, expressed as a length measurement. It represents the internal energy of the fluid due to its motion.

The hydrostatic pressure p is defined as

{displaystyle p=p_{0}-rho gz,}

with

p 0

some reference pressure, or when rearranged as head:

{displaystyle psi ={frac {p}{rho g}}.}

The term

p / ρg

is also called the pressure head, expressed as a length measurement. It represents the internal energy of the fluid due to the pressure exerted on the container. The head due to the flow speed and the head due to static pressure combined with the elevation above a reference plane, a simple relationship useful for incompressible fluids using the velocity head, elevation head, and pressure head is obtained.

{displaystyle h_{v}+z_{text{elevation}}+psi =C}

(Eqn. 2b)

If Eqn. 1 is multiplied by the density of the fluid, an equation with three pressure terms is obtained:

{displaystyle {frac {rho v^{2}}{2}}+rho gz+p=C}

(Eqn. 3)

Note that the pressure of the system is constant in this form of the Bernoulli equation. If the static pressure of the system (the third term) increases, and if the pressure due to elevation (the middle term) is constant, then the dynamic pressure (the first term) must have decreased. In other words, if the speed of a fluid decreases and it is not due to an elevation difference, it must be due to an increase in the static pressure that is resisting the flow.

All three equations are merely simplified versions of an energy balance on a system.

Ecuación Bernoulli para líquidos compresibles

La derivación para líquidos compresibles es similar. De nuevo, la derivación depende de (1) conservación de masa, y (2) conservación de energía. La conservación de la masa implica que en la figura anterior, en el intervalo de tiempo $Δ t$ , la cantidad de masa que pasa por el límite definido por el área $A 1$ es igual a la cantidad de masa que pasa por el límite definido por el área $A 2$ :

{displaystyle 0=Delta M_{1}-Delta M_{2}=rho _{1}A_{1}v_{1},Delta t-rho _{2}A_{2}v_{2},Delta t.}

La conservación de la energía se aplica de manera similar: Se supone que el cambio en la energía del volumen del arroyo atado por

A 1

A 2

se debe enteramente a la energía que entra o sale a través de uno o el otro de estos dos límites. Claramente, en una situación más complicada, como un flujo de fluido junto con la radiación, tales condiciones no se cumplen. Sin embargo, asumiendo que este sea el caso y asumiendo que el flujo es estable para que el cambio neto en la energía sea cero,

{displaystyle Delta E_{1}-Delta E_{2}=0}

Donde

Δ E 1

Δ E 2

son la energía que entra

A 1

y salir

A 2

, respectivamente. La energía entrando

A 1

es la suma de la energía cinética que entra, la energía que entra en forma de energía potencial gravitacional del fluido, la energía interna termodinámica del fluido por unidad de masa (

ε 1

) entrando, y la energía entrando en forma de mecánica

p d V

trabajo:

{displaystyle Delta E_{1}=left({tfrac {1}{2}}rho _{1}v_{1}^{2}+Psi _{1}rho _{1}+varepsilon _{1}rho _{1}+p_{1}right)A_{1}v_{1},Delta t}

Donde

Ψ = gz

es un potencial de fuerza debido a la gravedad de la Tierra,

g

es la aceleración debido a la gravedad, y

z

es elevación sobre un plano de referencia. Una expresión similar para

Δ E 2

se puede construir fácilmente. Así que ahora

0 = Δ E 1 - Δ E 2

{displaystyle 0=left({tfrac {1}{2}}rho _{1}v_{1}^{2}+Psi _{1}rho _{1}+varepsilon _{1}rho _{1}+p_{1}right)A_{1}v_{1},Delta t-left({tfrac {1}{2}}rho _{2}v_{2}^{2}+Psi _{2}rho _{2}+varepsilon _{2}rho _{2}+p_{2}right)A_{2}v_{2},Delta t}

que puede ser reescrito como:

{displaystyle 0=left({tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+Psi _{1}+varepsilon _{1}+{frac {p_{1}}{rho _{1}}}right)rho _{1}A_{1}v_{1},Delta t-left({tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+Psi _{2}+varepsilon _{2}+{frac {p_{2}}{rho _{2}}}right)rho _{2}A_{2}v_{2},Delta t}

Ahora, utilizando el resultado previamente observado de la conservación de masa, esto puede ser simplificado para obtener

{displaystyle {tfrac {1}{2}}v^{2}+Psi +varepsilon +{frac {p}{rho }}={text{constant}}equiv b}

que es la ecuación Bernoulli para el flujo compresible.

Una expresión equivalente se puede escribir en términos de enthalpy líquido ( $h$ ):

{displaystyle {tfrac {1}{2}}v^{2}+Psi +h={text{constant}}equiv b}

Aplicaciones

Condensación visible sobre la superficie superior de un ala Airbus A340 causada por la caída de temperatura acompañando la caída de la presión.

En la vida cotidiana moderna, hay muchas observaciones que se pueden explicar con éxito mediante la aplicación del principio de Bernoulli, aunque ningún fluido real es totalmente transparente y una pequeña viscosidad a menudo tiene un gran efecto en el flujo.

El principio de Bernoulli se puede utilizar para calcular la fuerza de elevación en una vía aérea, si se conoce el comportamiento del flujo de fluidos en las proximidades de la lámina. Por ejemplo, si el aire que fluye más allá de la superficie superior de una ala de avión se mueve más rápido que el aire que fluye más allá de la superficie inferior, el principio de Bernoulli implica que la presión sobre las superficies de la ala será más baja que abajo. Esta diferencia de presión resulta en una fuerza de elevación ascendente. Cada vez que se conoce la distribución de la velocidad más allá de las superficies superiores e inferiores de una ala, las fuerzas de elevación se pueden calcular (a una buena aproximación) utilizando las ecuaciones de Bernoulli, que fueron establecidas por Bernoulli durante un siglo antes de que las primeras alas hechas por el hombre fueran utilizadas con el propósito del vuelo.

El carburador utilizado en muchos motores de reciprocación contiene un venturi para crear una región de baja presión para atraer combustible en el carburador y mezclarlo a fondo con el aire entrante. La baja presión en la garganta de un venturi puede ser explicada por el principio de Bernoulli; en la garganta estrecha, el aire se mueve a su velocidad más rápida y por lo tanto está a su presión más baja.
Un inyector en una locomotora de vapor o una caldera estática.
El tubo de pitot y el puerto estático en un avión se utilizan para determinar la velocidad del aire del avión. Estos dos dispositivos están conectados al indicador de velocidad de aire, que determina la presión dinámica del flujo de aire que atraviesa el avión. El principio de Bernoulli se utiliza para calibrar el indicador de velocidad de aire para que muestre la velocidad de aire indicada apropiada a la presión dinámica.
Una boquilla De Laval utiliza el principio de Bernoulli para crear una fuerza convirtiendo la energía de presión generada por la combustión de propulsantes en velocidad. Esto genera empuje a través de la tercera ley de movimiento de Newton.
La velocidad de flujo de un fluido se puede medir utilizando un dispositivo como un medidor Venturi o una placa de orificio, que se puede colocar en un oleoducto para reducir el diámetro del flujo. Para un dispositivo horizontal, la ecuación de continuidad muestra que para un fluido incompresible, la reducción del diámetro causará un aumento de la velocidad de flujo de fluidos. Posteriormente, el principio de Bernoulli muestra que debe haber una disminución de la presión en la región de diámetro reducido. Este fenómeno se conoce como el efecto Venturi.
La velocidad máxima posible de drenaje para un tanque con un agujero o grifo en la base se puede calcular directamente desde la ecuación de Bernoulli y se encuentra proporcional a la raíz cuadrada de la altura del fluido en el tanque. Esta es la ley de Torricelli, que es compatible con el principio de Bernoulli. El aumento de la viscosidad reduce esta tasa de drenaje; esto se refleja en el coeficiente de descarga, que es una función del número de Reynolds y la forma del orificio.

El agarre Bernoulli se basa en este principio para crear una fuerza adhesiva sin contacto entre una superficie y la agarre.
Durante un partido de cricket, los bolos pulen continuamente un lado de la pelota. Después de algún tiempo, un lado es bastante duro y el otro todavía es suave. Por lo tanto, cuando el balón es bolos y pasa por el aire, la velocidad en un lado de la bola es más rápida que en el otro, y esto resulta en una diferencia de presión entre los lados; esto conduce a la bola girando ("swinging") mientras viaja por el aire, dando ventaja a los bolos.

Concepciones erróneas

Ascensor aerodinámico

Una ilustración de la explicación incorrecta de tiempo de tránsito igual de la elevación de aire.

Una de las explicaciones erróneas más comunes de la sustentación aerodinámica afirma que el aire debe atravesar las superficies superior e inferior de un ala en la misma cantidad de tiempo, lo que implica que dado que la superficie superior presenta una trayectoria más larga, el aire debe moverse más rápido. sobre la parte superior del ala que la parte inferior. Luego se cita el principio de Bernoulli para concluir que la presión debe ser menor en la parte superior del ala que en la parte inferior.

Sin embargo, no existe un principio físico que requiera que el aire atraviese las superficies superior e inferior en la misma cantidad de tiempo. De hecho, la teoría predice y los experimentos confirman que el aire atraviesa la superficie superior en un tiempo más corto que el que atraviesa la superficie inferior, y esta explicación basada en el mismo tiempo de tránsito es falsa. Si bien esta explicación es falsa, no es el principio de Bernoulli el que es falso, porque este principio está bien establecido; La ecuación de Bernoulli se usa correctamente en tratamientos matemáticos comunes de sustentación aerodinámica.

Demostraciones comunes en el aula

Hay varias demostraciones comunes en el salón de clases que a veces se explican incorrectamente usando el principio de Bernoulli. Uno consiste en sostener una hoja de papel horizontalmente para que se incline hacia abajo y luego soplar sobre la parte superior. Cuando el demostrador sopla sobre el papel, el papel se eleva. Luego se afirma que esto se debe a que "el aire que se mueve más rápido tiene una presión más baja".

Un problema con esta explicación se puede ver al soplar a lo largo de la parte inferior del papel: si la deflexión fue causada por el aire que se mueve más rápido, entonces el papel debería desviarse hacia abajo; pero el papel se desvía hacia arriba sin importar si el aire que se mueve más rápido está arriba o abajo. Otro problema es que cuando el aire sale de la boca del demostrador tiene la misma presión que el aire circundante; el aire no tiene menor presión sólo porque se está moviendo; en la demostración, la presión estática del aire que sale de la boca del demostrador es igual a la presión del aire circundante. Un tercer problema es que es falso hacer una conexión entre el flujo en los dos lados del papel usando la ecuación de Bernoulli ya que el aire arriba y abajo son campos de flujo diferentes y Bernoulli&#39. Este principio solo se aplica dentro de un campo de flujo.

Como la redacción del principio puede cambiar sus implicaciones, es importante establecer el principio correctamente. Lo que realmente dice el principio de Bernoulli es que dentro de un flujo de energía constante, cuando el fluido fluye a través de una región de menor presión, se acelera y viceversa. Por lo tanto, el principio de Bernoulli se ocupa de los cambios de velocidad y cambios de presión dentro de un campo de flujo. No se puede utilizar para comparar diferentes campos de flujo.

Una explicación correcta de por qué sube el papel sería observar que la pluma sigue la curva del papel y que una línea de corriente curva desarrollará un gradiente de presión perpendicular a la dirección del flujo, con la presión más baja en el interior de la curva. El principio de Bernoulli predice que la disminución de la presión está asociada con un aumento de la velocidad; en otras palabras, a medida que el aire pasa sobre el papel, se acelera y se mueve más rápido de lo que se movía cuando salió de la boca del manifestante. Pero esto no se desprende de la demostración.

Otras demostraciones comunes en el aula, como soplar entre dos esferas suspendidas, inflar una bolsa grande o suspender una pelota en una corriente de aire, a veces se explican de manera igualmente engañosa diciendo "el aire que se mueve más rápido tiene una presión más baja".

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El principio de Bernoulli

Ecuación de flujo incompresible

Forma simplificada

Flujo potencial no estacionario

Ecuación de flujo comprimible

Flujo compresible en dinámica de fluidos

Flujo compresible en termodinámica

Flujo potencial no estacionario

Derivaciones

Aplicaciones

Concepciones erróneas

Ascensor aerodinámico

Demostraciones comunes en el aula

Velocidad de deriva

Isla de estabilidad

Leo szilard