Lista de identidades logarítmicas

Em matemática, existem muitas identidades logarítmicas. O seguinte é uma compilação dos notáveis destes, muitos dos quais são usados para fins computacionais.

Identidades triviais

${displaystyle log _{b}(1)=0}$	porque	$Não. B^{0}=1}$
$(b)=1}$	porque	$Não. B^{1}=b}$

Explicações

Por definição, sabemos que:

${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {green}ycolor {black}=color {red}xcolor} {black}iffcolor {blue}bcolor {black}color {red}^{x}color {black}=color {green}ycolor {black}}$,

Onde? ${displaystyle color {blue}bcolor {black}neq} 0$ ou ${displaystyle color {blue}bcolor {black}neq} 1$.

Configuração ${displaystyle color {red}xcolor {black}=0}$, podemos ver isso: ${displaystyle color {blue}bcolor {black}color {red}^{x}color {black}=color {green}ycolor {black}iffcolor {blue}bcolor {black}color {red}^{(0)}color {black}=color {black}y}ycolor {black}iffcolor {black} {black}=color {black}ycolor {black}y} {black}}}}$. Assim, substituindo esses valores na fórmula, vemos que: ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {green}ycolor {black}=color {red}xcolor} {black}iff} color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {blue}1color {black})=color {red}0color {black}}$O que nos traz a primeira propriedade.

Configuração ${displaystyle color {red}xcolor {black}=1}$, podemos ver isso: ${displaystyle color {blue}bcolor {black}color {red}^{x}color {black}=color {green}ycolor {black}iff color {blue}bcolor {black}color {red}^{(1)}color {black}=color {black}=color {black}ycolor {black} {black}=color {green}ycolor {black}$. Assim, substituindo esses valores na fórmula, vemos que: ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {green}ycolor {black}=color {red}xcolor} {black}iff} color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {blue}bcolor {black})=color {red}1color {black}}$O que nos traz a segunda propriedade.

Muitas identidades matemáticas são chamadas de triviais , apenas porque são relativamente simples (normalmente da perspectiva de um matemático experiente). Isso não quer dizer que chamar uma identidade ou fórmula de trivial significa que não é importante.

Cancelamento de exponenciais

Logaritmos e exponenciais com a mesma base se cancelam. Isso é verdade porque logaritmos e exponenciais são operações inversas – da mesma forma que multiplicação e divisão são operações inversas, e adição e subtração são operações inversas.

${displaystyle b^{log _{b}(x)}=x{text{ porque }}{mbox{antilog}}_{b}(log _{b}(x)=x}$

${displaystyle log _{b}(b^{x})=x{text{ porque }}log _{b}({mbox{antilog}}_{b}(x)=x}$

Ambos os acima são derivados das seguintes duas equações que definem um logaritmo: (note que nesta explicação, as variáveis de ${displaystyle color {red}xcolor {black}}$ e $Não.$ pode não estar se referindo ao mesmo número)

${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {green}ycolor {black}=color {red}xcolor} {black}iffcolor {blue}bcolor {black}color {red}^{x}color {black}=color {green}ycolor {black}}$

Olhando para a equação ${displaystyle color {blue}bcolor {black}color {red}^{x}color {black}=color {green}ycolor {black}}}$, e substituindo o valor para ${displaystyle color {red}xcolor {black}}$ de ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {green}ycolor {black})=color {red}xcolor {black}}$, temos a seguinte equação: ${displaystyle color {blue}bcolor {black}color {red}^{x}color {black}=color {green}ycolor {black}iff color {blue}bcolor {black}color {red}^{log _{b}(y)}color {black}=color {green}ycolor {black}color} {black}iff color {blue}bcolor {black}color {red}^{color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {green}ycolor {black})}color {black}=color {green}ycolor {black}}$O que nos dá a primeira equação. Outra maneira mais áspera de pensar sobre isso é que ${displaystyle color {blue}bcolor {black}color {red}^{text{something}}color {black}=color {green}ycolor {black}}$, e que isso "$(vermelho)$" ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {green}ycolor {black}}}}}$.

Olhando para a equação ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {green}ycolor {black})=color {red}xcolor {black}}$, e substituindo o valor para ${displaystyle color {verde}ycolor (preto)$ de ${displaystyle color {blue}bcolor {black}color {red}^{x}color {black}=color {green}ycolor {black}}}$, temos a seguinte equação: ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {green}ycolor {black}=color {red}xcolor} {black}iff} color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {green}b^{x}color {black})=color {red}xcolor {black}iffcolor {black}log color {blue}_{b}color {black}({color {blue}bcolor {black}color {red}^{x}color {black}}color {black})=color {red}xcolor {black} {black})$O que nos dá a segunda equação. Outra maneira mais áspera de pensar sobre isso é que ${displaystyle color {black}log color {blue}_{b}color {black}(color {green}{text{something}}color {black}=color {red}xcolor {black}}}$, e que algo "${displaystyle color {verde}{text{alguma coisa}}}$" ${displaystyle color {blue}bcolor {black}color {red}^{x}color {black}}}$.

Usando operações mais simples

Os logaritmos podem ser usados para facilitar os cálculos. Por exemplo, dois números podem ser multiplicados apenas usando uma tabela de logaritmos e adicionando. Estas são frequentemente conhecidas como propriedades logarítmicas, que estão documentadas na tabela abaixo. As três primeiras operações abaixo assumem que x = b^c e/ou y = b^d, então que log_b(x) = c e < span class="texhtml">log_b(y) = d. Derivações também usam as definições de log x = b^{log_b (x)} e x = log_b(b^x).

${displaystyle log _{b}(xy)=log _{b}(x)+log _{b}(y)}$	because	${displaystyle b^{c}b^{d}=b^{c+d}}$
${displaystyle log _{b}({tfrac {x}{y}})=log _{b}(x)-log _{b}(y)}$	because	${displaystyle {tfrac {b^{c}}{b^{d}}}=b^{c-d}}$
${displaystyle log _{b}(x^{d})=dlog _{b}(x)}$	because	${displaystyle (b^{c})^{d}=b^{cd}}$
${displaystyle log _{b}left({sqrt[{y}]{x}}right)={frac {log _{b}(x)}{y}}}$	because	${displaystyle {sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}$
${displaystyle x^{log _{b}(y)}=y^{log _{b}(x)}}$	because	${displaystyle x^{log _{b}(y)}=b^{log _{b}(x)log _{b}(y)}=(b^{log _{b}(y)})^{log _{b}(x)}=y^{log _{b}(x)}}$
${displaystyle clog _{b}(x)+dlog _{b}(y)=log _{b}(x^{c}y^{d})}$	because	${displaystyle log _{b}(x^{c}y^{d})=log _{b}(x^{c})+log _{b}(y^{d})}$

Onde? $Não.$, $Não.$e $- Sim.$ são números reais positivos e $Não.$e $Não.$ e $Não.$ são números reais.

As leis resultam do cancelamento de exponenciais e da lei apropriada dos índices. Começando com a primeira lei:

${displaystyle xy=b^{log _{b}(x)}b^{log _{b}(y)}=b^{log _{b}(x)+log _{b}(y)}Rightarrow log _{b}(xy)=log _{b}(b^{log _{b}(x)+log _{b}(y)}=log$

A lei das potências explora outra das leis dos índices:

${displaystyle x^{y}=(b^{log _{b}(x)})^{y}=b^{ylog _{b}(x)}Rightarrow log _{b}(x^{y})=ylog _{b}(x)})}$

A lei relativa aos quocientes é a seguinte:

${displaystyle log _{b}{bigg (}{frac {x}{y}}{bigg)}=log _{b}(xy^{-1})=log _{b}(x)+log _{b}(y^{-1})=log _{b}(x)-log _{b}(y)}$

${displaystyle log _{b}{bigg (}{frac {1}{y}}{bigg)}=log _{b}(y^{-1})=-log _{b}(y)}$

Da mesma forma, a lei da raiz é derivada reescrevendo a raiz como uma potência recíproca:

${displaystyle log _{b}({sqrt[{y}]{x}}=log _{b}(x^{frac {1}{y}}={frac {1}{y}}log _{b}(x)}$

Derivações de produto, quociente e regras de potência

Estas são as três principais leis/regras/princípios do logaritmo, a partir das quais as outras propriedades listadas acima podem ser provadas. Cada uma dessas propriedades logarítmicas corresponde à sua respectiva lei de expoente, e suas derivações/provas dependerão desses fatos. Existem várias maneiras de derivar/provar cada lei do logaritmo – este é apenas um método possível.

Logaritmo de um produto

Para declarar o logaritmo de uma lei de produto formalmente:

${displaystyle forall bin mathbb {R} _{+},bneq 1,forall x,y,in mathbb {R} _{+},log _{b}(xy)=log _{b}(x)+log _{b}(y)}$

Derivação:

Vamos. ${displaystyle bin mathbb {R} _{+}}$, onde $Não.$, e deixar ${displaystyle x,yin mathbb {R} _{+}}$. Queremos relacionar as expressões $(x)}$ e $(y)}$. Isso pode ser feito mais facilmente por reescrever em termos de exponenciais, cujas propriedades já sabemos. Além disso, já que vamos nos referir a $(x)}$ e $(y)}$ muitas vezes, vamos dar-lhes alguns nomes variáveis para tornar o trabalho com eles mais fácil: Vamos. $(x)}$e deixar ${displaystyle n=log _{b}(y)}$.

Reescrever estes como exponenciais, vemos que ${displaystyle m=log _{b}(x)iff b^{m}=x}$ e ${displaystyle n=log _{b}(y)iff b^{n}=y}}$. A partir daqui, podemos nos relacionar ${displaystyle b^{m}}$ (i.e. $Não.$) e ${displaystyle b^{n}}$ (i.e. $- Sim.$) utilizando leis exponentes como

$(b^{m})(b^{n})=b^{m}cdot b^{n}=b^{m+n}}$

Para recuperar os logaritmos, aplicamos ${displaystyle log _{b}}$ para ambos os lados da igualdade.

${displaystyle log _{b}(xy)=log _{b}(b^{m+n})}$

O lado direito pode ser simplificado usando uma das propriedades de logaritmo de antes: sabemos que $(b^{m+n})=m+n}$, dando

${displaystyle log _{b}(xy)=m+n}$

Agora resubstituímos os valores para $Não.$ e $Não.$ em nossa equação, então nossa expressão final é apenas em termos de $Não.$, $- Sim.$e $Não.$.

${displaystyle log _{b}(xy)=log _{b}(x)+log _{b}(y)}$

Isso completa a derivação.

Logaritmo de um quociente

Para declarar a lei do logaritmo de um quociente formalmente:

${displaystyle forall bin mathbb {R} _{+},bneq 1,forall x,y,in mathbb {R} _{+},log _{b}left({frac {x}{y}}right)=log _{b}(x)-log _{b}(y)}$

Derivação:

Vamos. ${displaystyle bin mathbb {R} _{+}}$, onde $Não.$, e deixar ${displaystyle x,yin mathbb {R} _{+}}$.

Queremos relacionar as expressões $(x)}$ e $(y)}$. Isso pode ser feito mais facilmente por reescrever em termos de exponenciais, cujas propriedades já sabemos. Além disso, já que vamos nos referir a $(x)}$ e $(y)}$ muitas vezes, vamos dar-lhes alguns nomes variáveis para tornar o trabalho com eles mais fácil: Vamos. $(x)}$e deixar ${displaystyle n=log _{b}(y)}$.

Reescrevendo estes como exponenciais, vemos que: ${displaystyle m=log _{b}(x)iff b^{m}=x}$ e ${displaystyle n=log _{b}(y)iff b^{n}=y}}$. A partir daqui, podemos nos relacionar ${displaystyle b^{m}}$ (i.e. $Não.$) e ${displaystyle b^{n}}$ (i.e. $- Sim.$) utilizando leis exponentes como

${displaystyle {frac {x}{y}}={frac {(b^{m})}{(b^{n})}}={frac {b^{m}}{b^{n}}}=b^{m-n}}$

Para recuperar os logaritmos, aplicamos ${displaystyle log _{b}}$ para ambos os lados da igualdade.

${displaystyle log _{b}left({frac {x}{y}}right)=log _{b}left(b^{m-n}right)}$

O lado direito pode ser simplificado usando uma das propriedades de logaritmo de antes: sabemos que $(b^{m-n})=m-n}$, dando

${displaystyle log _{b}left({frac {x}{y}}right)=m-n}$

Agora resubstituímos os valores para $Não.$ e $Não.$ em nossa equação, então nossa expressão final é apenas em termos de $Não.$, $- Sim.$e $Não.$.

${displaystyle log _{b}left({frac {x}{y}}right)=log _{b}(x)-log _{b}(y)}$

Isso completa a derivação.

Logaritmo de uma potência

Para declarar o logaritmo de uma lei de potência formalmente,

${displaystyle forall bin mathbb {R} _{+},bneq 1,forall xin mathbb {R} _{+},forall rin mathbb {R}log _{b}(x^{r})=rlog _{b}(x)}$

Derivação:

Vamos. ${displaystyle bin mathbb {R} _{+}}$, onde $Não.$, let ${displaystyle xin mathbb {R} _{+}}$e deixar ${displaystyle rin mathbb Não.$. Para esta derivação, queremos simplificar a expressão $(x^{r})}$. Para fazer isso, começamos com a expressão mais simples $(x)}$. Desde que vamos usar $(x)}$ muitas vezes, vamos defini-lo como uma nova variável: Vamos. $(x)}$.

Para manipular mais facilmente a expressão, reescrevemo-la como exponencial. Por definição, ${displaystyle m=log _{b}(x)iff b^{m}=x}$, então nós temos

$Não. b^{m}=x}$

Semelhante às derivações acima, aproveitamos outra lei exponencial. A fim de ter ${displaystyle x^{r}}$ em nossa expressão final, levantamos ambos os lados da igualdade ao poder de $Não.$:

${displaystyle {begin{aligned}(b^{m})^{r}&=(x)^{r}\b^{mr}&=x^{r}end{aligned}}}$

onde usamos a lei exponencial $(b^{m})^{r}=b^{mr}}$.

Para recuperar os logaritmos, aplicamos ${displaystyle log _{b}}$ para ambos os lados da igualdade.

${displaystyle log _{b}(b^{mr})=log _{b}(x^{r})}$

O lado esquerdo da igualdade pode ser simplificado usando uma lei de logaritmo, que afirma que ${displaystyle log _{b}(b^{mr})=mr}$.

$(x^{r})}$

Substituto no valor original para $Não.$, rearranjo e simplificação dá

${displaystyle {begin{aligned}left(log _{b}(x)right)r&=log _{b}(x^{r})rlog _{b}(x)&=log _{b}(x^{r})\log _{b}(x^{r})&=rlog _{b}(x)end{aligned}}$

Isso completa a derivação.

Mudando a base

Para indicar formalmente a alteração da fórmula do logaritmo base:

$${displaystyle forall a,bin mathbb {R} _{+},a,bneq 1forall xin mathbb {R} _{+},log _{b}(x)={frac {log _{a}(x)}{log _{a}(b)}}}$$

Esta identidade é útil para calcular logaritmos em calculadoras. Por exemplo, a maioria das calculadoras possui botões para ln e para log10, mas nem todas as calculadoras possuem botões para o logaritmo de uma base arbitrária.

Prova/derivação

Vamos. ${displaystyle a,bin mathbb {R} _{+}}$, onde $- Sim.$ Vamos. ${displaystyle xin mathbb {R} _{+}}$. Toma. $Não.$ e $Não.$ são as duas bases que vamos usar para os logaritmos. Eles não podem ser 1, porque a função logaritmo não é bem definida para a base de 1. O número $Não.$ será o que o logaritmo está avaliando, então deve ser um número positivo. Uma vez que vamos lidar com o termo $(x)}$ com bastante frequência, definimo-lo como uma nova variável: Vamos. $(x)}$.

Para manipular a expressão com mais facilidade, ela pode ser reescrita como uma exponencial.

$$Não. b^{m}=x}$$

Aplicação ${displaystyle log _{a}}$ para ambos os lados da igualdade,

$${displaystyle log _{a}(b^{m})=log _{a}(x)}$$

Agora, usando o logaritmo de uma propriedade de poder, que afirma que ${displaystyle log _{a}(b^{m})=mlog _{a}(b)}$,

$${displaystyle mlog _{a}(b)=log _{a}(x)}$$

Isolamento $Não.$, nós obtemos o seguinte:

$${displaystyle m={frac {log _{a}(x)}{log _{a}(b)}}}$$

Resubstituto $(x)}$ voltar para a equação,

$${displaystyle log _{b}(x)={frac {log _{a}(x)}{log _{a}(b)}}}$$

Isso completa a prova de que ${displaystyle log _{b}(x)={frac {log _{a}(x)}{log _{a}(b)}}}$.

Esta fórmula tem várias consequências:

$${displaystyle log _{b}a={frac {1}$$

$${displaystyle log _{b^{n}}a={log _{b}a over n}}$$

$${displaystyle b^{log _{a}d}=d^{log _{a}b}}$$

$${displaystyle -log _{b}a=log _{b}left({1 over a}right)=log _{1/b}a}$$

$${displaystyle log} _{b_{1}}a_{1},cdots ,log _{b_{n}}a_{n}=log _{b_{pi (1)}}a_{1},cdots ,log _{b_{pi (n)}}a_{n},}$$

Onde? $- Sim.$ é qualquer permutação dos subscritos 1,... n. Por exemplo

$${displaystyle log _{b}wcdot log _{a}xcdot log _{d}ccdot log _{d}z=log _{d}wcdot log _{b}xcdot log _{a}ccdot log _{d}z.}$$

Soma/subtração

A seguinte regra de soma/subtração é especialmente útil na teoria da probabilidade quando se está lidando com uma soma de log-probabilidades:

${displaystyle log _{b}(a+c)=log _{b}a+log _{b}left(1+{frac {c}{a}}right)}$	porque	${displaystyle left(a+cright)=atimes left(1+{frac {c}{a}}right)}$
${displaystyle log _{b}(a-c)=log _{b}a+log _{b}left(1-{frac {c}{a}}right)}$	porque	${displaystyle left(a-cright)=atimes left(1-{frac {c}{a}}right)}$

Note que a identidade de subtração não é definida se $- Sim.$, uma vez que o logaritmo de zero não é definido. Observe também que, quando a programação, $Não.$ e $Não.$ pode ter que ser ligado no lado direito das equações se $Não.$ para evitar perder o "1 +" devido a erros de arredondamento. Muitas linguagens de programação têm um específico log1p(x) função que calcula ${displaystyle log _{e}(1+x)}$ sem subfluxo (quando $Não.$ é pequeno).

De forma mais geral:

$${displaystyle log _{b}sum _{i=0}^{N}a_{i}=log _{b}a_{0}+log _{b}left(1+sum _{i=1}^{N}{frac {a_{i}}{a_{0}}}right)=log _{b}a_{0}+log _{b}left(1+sum _{i=1}^{N}b^{left(log _{b}a_{i}-log _{b}a_{0}right)}right)}$$

Expoentes

Uma identidade útil envolvendo expoentes:

$${displaystyle x^{frac {log(log(x))}{log(x)}}=log(x)}$$

$${displaystyle x^{frac {log(a)}{log(x)}}=a}$$

Outras/identidades resultantes

$${displaystyle {frac {1}{{frac {1}{log _{x}(a)}}+{frac {1}{log _{y}(a)}}}}=log _{xy}(a)}$$

$${displaystyle {frac {1}{{frac {1}{log _{x}(a)}}-{frac {1}{log _{y}(a)}}=log _{frac {x}{y}}(a)}$$

Desigualdades

Com base e

$(x}{1+x}}leq ln(1+x)leq {frac {x(6+x)}{6+4x}}leq x{mbox{ para todos }}{-1}$

${displaystyle {begin{aligned}{frac {2x}{2+x}}&leq 3-{sqrt {frac {27}{3+2x}}}leq {frac {x}{sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\[4pt]&leq ln(1+x)leq {frac {x}{sqrt {1+x}}}leq {frac {x}{2}}{frac {2+x}{1+x}}\[4pt]&{text{ para }}0leq x{text{, reverso para }}{-1}$

Todos são precisos em torno de $- Sim.$, mas não para grandes números.

Identidades de cálculo

Limites

${displaystyle lim _{xto 0^{+}}log _{a}(x)=-infty quad {mbox{if }}a>1}$

${displaystyle lim _{xto 0^{+}}log _{a}(x)=infty quad {mbox{if }}0$

${displaystyle lim _{xto infty }log _{a}(x)=infty quad {mbox{if }}a>1}$

${displaystyle lim _{xto infty }log _{a}(x)=-infty quad {mbox{if }}0$

${displaystyle lim _{xto 0^{+}}x^{b}log _{a}(x)=0quad {mbox{if }}b>0}$

${displaystyle lim _{xto infty }{frac {log _{a}(x)}{x^{b}}}=0quad Sim.$

O último limite geralmente é resumido como "logaritmos crescem mais lentamente do que qualquer potência ou raiz de x".

Derivadas de funções logarítmicas

$(d over dx}ln x={1 over x},x>0}$

${displaystyle {d over dx}ln |x|={1 over x},xneq 0$

${displaystyle {d over dx}log _{a}x={1 over xln a},x>0,a>0,{text{ e }}aneq 1$

Definição integral

${displaystyle ln x=int _{1}^{x}{frac Não.$

Integrais de funções logarítmicas

${displaystyle int ln x,dx=xln x-x+C=x(ln x-1)+C}$

${displaystyle int log _{a}x,dx=xlog _{a}x-{frac {x}{ln a}}+C={frac {x(ln x-1)}{ln a}}+C}$

Para lembrar integrais superiores, é conveniente definir

${displaystyle x^{left[nright]}=x^{n}(log(x)-H_{n})}$

Onde? $Não. H_{n}}$ é o n^{O quê?} número harmônico:

${displaystyle x^{left[0right]}=log x}$

${displaystyle x^{left[1right]}=xlog(x)-x}$

${displaystyle x^{left[2right]}=x^{2}log(x)-{begin{matrix}{frac {3}{2}}end{matrix}}x^{2}}$

${displaystyle x^{left[3right]}=x^{3}log(x)-{begin{matrix}{frac {11}{6}}end{matrix}}x^{3}}$

Então

${displaystyle {frac {d}{dx}},x^{left[nright]}=nx^{left[n-1right]}}$

${displaystyle int x^{left[nright]},dx={frac {x^{left[n+1right]}}{n+1}}+C}$

Aproximando números grandes

As identidades dos logaritmos podem ser usadas para aproximar números grandes. Observe que log_b(a) + log_{b< /sub>(c) = logb(ac)}, onde a , b e c são constantes arbitrárias. Suponha que alguém queira aproximar o 44º primo de Mersenne, 2^32.582.657 −1. Para obter o logaritmo de base 10, multiplicaríamos 32.582.657 por log₁₀(2), obtendo 9.808.357,09543 = 9.808.357 + 0,09543. Podemos então obter 10^9.808.357 × 10^0,09543 ≈ 1,25 × 10^9.808.357.

Da mesma forma, os fatoriais podem ser aproximados pela soma dos logaritmos dos termos.

Identidades logarítmicas complexas

O logaritmo complexo é o análogo do número complexo da função logaritmo. Nenhuma função de valor único no plano complexo pode satisfazer as regras normais para logaritmos. No entanto, uma função multivalorada pode ser definida que satisfaça a maioria das identidades. É comum considerar isso como uma função definida em uma superfície de Riemann. Uma versão de valor único, chamada de valor principal do logaritmo, pode ser definida como descontínua no eixo x negativo e é igual à versão de valores múltiplos em um único corte de ramo.

Definições

No que segue, uma primeira letra maiúscula é usada para o valor principal das funções, e a versão minúscula é usada para a função de valores múltiplos. A versão de valor único de definições e identidades é sempre fornecida primeiro, seguida por uma seção separada para as versões de valor múltiplo.

• In.R) é o logaritmo natural padrão do número real R.
• Arg(zangão.) é o valor principal da função arg; seu valor é restrito a (D, D]. Pode ser computado usando Arg(x + Olá.) = atan2(Sim., x).
• Log(zangão.) é o valor principal da função logaritmo complexa e tem parte imaginária no intervalo (D, D].
• ${displaystyle operatorname {Log} (z)=ln(|z|)+ioperatorname {Arg} (z)}$
• ${displaystyle e^{operatorname O quê?$

A versão de múltiplos valores de log(z) é um conjunto, mas é mais fácil escrevê-lo sem colchetes e usá-lo nas fórmulas a seguir regras óbvias.

• log(zangão.) é o conjunto de números complexos v que satisfazem e^v = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = zangão.
• Arg(zangão.) é o conjunto de valores possíveis da função arg aplicada zangão..

Quando k é qualquer número inteiro:

${displaystyle log(z)=ln(|z|)+iarg(z)}$

${displaystyle log(z)=operatorname {Log} (z)+2pi ik}$

$- Sim.$

Constantes

Formas de valor principais:

${displaystyle operatorname {Log} (1)=0}$

$(e)=1}$

Múltiplos formulários de valor, para qualquer k inteiro:

${displaystyle log(1)=0+2pi ik}$

${displaystyle log(e)=1+2pi ik}$

Soma

Formas de valor principais:

${displaystyle operatorname} {Log} (z_{1})+operatorname {Log} (z_{2})=operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){pmod {2pi i}}}$

${displaystyle operatorname} {Log} (z_{1})+operatorname {Log} (z_{2})=operatorname {Log} (z_{1}z_{2})quad (-pi 0)}$

${displaystyle operatorname} {Log} (z_{1})-operatorname {Log} (z_{2})=operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){pmod {2pi i}}}$

${displaystyle operatorname} {Log} (z_{1})-operatorname {Log} (z_{2})=operatorname {Log} (z_{1}/z_{2})quad (-pi 0)}$

Formulários de vários valores:

${displaystyle log(z_{1})+log(z_{2})=log(z_{1}z_{2})}$

${displaystyle log(z_{1})-log(z_{2})=log(z_{1}/z_{2})}$

Poderes

Uma potência complexa de um número complexo pode ter muitos valores possíveis.

Formulário de valor principal:

$Não. {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}operatorname {Log} (z_{1})}}$

${displaystyle operatorname {Log} {left({z_{1}}^{z_{2}}right)}=z_{2}operatorname {Log} (z_{1}){pmod {2pi i}}}$

Formulários de vários valores:

$Não. {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}log(z_{1})}}$

Onde k₁, k< sub>2 são quaisquer números inteiros:

${displaystyle log {left({z_{1}}^{z_{2}}right)}=z_{2}log(z_{1})+2pi ik_{2}}$

${displaystyle log {left({z_{1}}^{z_{2}}right)}=z_{2}operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2pi ik_{1}+2pi ik_{2}}$